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解三角形知识点总结及典型例题课前复习 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式, sin(+)=sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin. 2两角和与差的余弦公式, cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin 3两角和、差的正切公式 ,，tantan,tantantan1tantan,，, tan(+)= (); ，,1tantan,tan,tan.tantantan1tantan，,，,tan(-)=()( ，,1tantan简单的三角恒等变换 二倍角的正弦、余弦和正切公式: 222?sin22sincos,( ,1,sin2,sin,，cos,2sin,cos,(sin,cos,)2222cos2cossin2cos112sin,? ,221cos2cos,1cos2sin升幂公式 ，,22cos21,，1cos2,22降幂公式， ,cos,sin,222tan,?tan2 ,21tan,默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!1 解三角形知识点总结及典型例题 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 abc ,2(RR为三角形外接圆半径)sinsinsinABC()12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC, (边化角公式)abc ()2sin,sin,sinABC,(角化边公式)222RRRaAaAbBsinsinsin ()3:sin:sin:sinabcABC,(4),bBcCcCsinsinsin2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边 (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知a，b和A，求B时的解的情况: 如果，则B有唯一解;如果，则B有两解; sinA,sinBsinA,sinB,1如果，则B有唯一解;如果，则B无解. sinB,1sinB,13、余弦定理及其推论 222bca，,cosA,2222bcabcbcA,，,2cos222acb，,222 cosB,bacacB,，,2cos2ac222cababC,，,2cos222abc，,cosC,2ab4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角;(2)已知三边. 5、常用的三角形面积公式 1(1); S,，底，高,ABC2111(2)(两边夹一角). S,absinC,bcsinA,casinB,ABC2226、三角形中常用结论 (1); abcbcaacb，,，,，,(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)(2). 在中，即大边对大角，大角对大边),ABCABabABsinsin(sin(A，B),sinCcos(A，B),cosCtan(A，B),tanCA，B，C,(3)在?ABC中，所以;. A，BCA，BCsin,cos,cos,sin . 22222 二、典型例题 题型1 边角互化 例1 在中，若，则角的度数为 ,ABCsinA:sinB:sinC,3:5:7C【解析】由正弦定理可得，,令依次为， a:b:c,3:5:7a、b、c3、5、7222222abc，,357，,1则= cosC,2ab235，22因为，所以 0,C,C,3222222例2 若、是的三边，则函数的图象与轴( ) b,ABCf(x),bx，(b，c,a)x，ccaf(x)xA、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点 222bcabcA，,2cos【解析】由余弦定理得，所以22222222222ccA,cos=，因为1,所以0，因此fxbxbcAxc()2cos,，(cos)cosbxcAccA，,cosA0恒成立，所以其图像与轴没有交点。 ,xfx()题型2 三角形解的个数 例3在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) ,ABCA、，b,14，; B、b,25，c,30，; A,30:C,150:a,7C、b,4，c,5，; D、，。 B,30:B,60:a,6b,3题型3 面积问题 01204例4 ,ABC的一个内角为，并且三边构成公差为的等差数列，则,ABC的面积为 x,4,x,x，4【解析】设?ABC的三边分别:， 2220?C=120?，?由余弦定理得:，解得:x,10， (x，4),(x,4)，x,2x(x,4)cos120?,ABC三边分别为6、10、14， 113？,，,SabCsin610153. ABC222题型4 判断三角形形状 2222例5 在,ABC中，已知,判断该三角形的形状。 ()sin()()sin()abABabAB，,，【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 22方法一: aABABbABABsin()sin()sin()sin(),，,，,22？,2cossin2cossinaABbBA 22sincossinsincossinAABBBA,由正弦定理，即知 ？,sinsin(sincossincos)0ABAABB ？,sin2sin2AB 0,2A,2B,2,22AB,22AB,由，得或, ,ABC即为等腰三角形或直角三角形. 3 222cossin2cossinaABbBA,方法二:同上可得 222222bcaacb，,，,22abba,由正、余弦定理，即得: 22bcac22222222 ？，,，,abcabacb()()22222即 ()()0abcab,222cab,，或, ？,ab即为等腰三角形或直角三角形. ,ABC【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状;(角化边) 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。(边化角) 题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用 12A.B,Csinsinsin()ACpBpR，,例6在中，分别为角的对边，且且 ,ABCabc,acb,45(1)当时，求的值; ac,pb,14B(2)若角为锐角，求的取值范围。 p5111【解析】(1)由题设并由正弦定理，得，解得，或 ac,1,ac,1acac，,44441122222222bacacB,，,2cos(2)由余弦定理，= ()22coscosacacacBpbbbB，,2231322p,0即，因为0,cosB,1，所以，由题设知， p,(,2)pB,，cos2226,p,2所以. 2三、课堂练习: mA,45:a,2,ABC1、满足，的的个数为，则为 . c,6ma2、已知，A,30:，解三角形。 a,5,b,534 3、在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是( ) ,ABCa,4b,xA,60:cmcmx83834,x,A、 B、 C、 4,x,D、x,40,x,4 3312224、在中，若则角 . ,ABCC,S,(a，b,c),4弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)22R5、设是外接圆的半径，且，试求面积的最大值。 ,ABC,ABC2R(sinA,sinC),(2a,b)sinB74.94.15有趣的图形3 P36-4135DsinB,cos，ADC,AD在,ABC中，为边BC上一点，BD,33，求.6、 135aBcosA,B,C,ABC,ABC7、在中，已知分别为角的对边，若，试确定形状。 ,abc,bAcos最值：若a>0，则当x=时，；若a<0，则当x=时，5 cos2cos2ACca,A,B,C8、在中，分别为角的对边，已知 ,ABCabc,cosBbsinC(1)求; sinA（3）当>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：1(2)若求的面积。 ,ABCcos,2,Bb,4（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：四、课后作业 (a，b，c)(b，c,a),3bc1、在中，若，且，则是 ,ABCsinA,2sinBcosC,ABCA、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形 12222、,ABC中若面积S=则角 C,(a，b,c)4tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。ABA3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔，在塔顶处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处,测得点的俯角为，若铁塔的高为，则清源山的高度为 。 Chmm,2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。,hsincoshcossinA、 B、 sin(,)sin(,)3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。,hcoscoshsinsinC、 D、 sin(,)sin(,)BC，A,ABC4、的三个内角为ABC、，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。 cos2cosA，2圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。5、在,ABC中，分别为角ABC、的对边，且满足cAaCsincos, abc,二次方程的两个实数根C(1)求角的大小 ,A,B(2)求3sincos()AB,，的最大值，并求取得最大值时角的大小。 46
