最新高中数学+圆锥曲线中存在点关于直线对称问题知识点分析+新人教A版选修2优秀名师资料.doc
高中数学 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题知识点分析 新人教A版选修2圆锥曲线中存在点关于直线对称问题 在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题:一个圆锥曲线上存在两点A,B关于直线L对称，求方程中参数的范围. 对于此类问题抓住两点A,B关于直线L对称，对称中体现的两要点:垂直(斜率之积为,1或k，k12中一个为0，一个不存在)和两点连线中点C在对称直线L上(也是L与L的交点)， AB分析一:(第一种通法)由于L与圆锥曲线交于两点AB，所以L与圆锥曲线方程联立方程组，得一元二ABAB次方程，?,0求参数的范围，步骤如下: 1(假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程. 2(联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标. 3(把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式. 4(利用联立后方程的?求出其中需求参数的范围. 分析二:(第二种通法)由于中点C为相交弦AB的中点，所以可用点差法，求出参数与中点的关系，又中点C在对称直线L上，故可用参数表示中点的坐标代入不等式，求出参数的范围第二种通法，不过首先说明以下两个问题: 1?弦中点位置问题 y 椭圆 双曲线 抛物线 y y x x x o o o 弦中点在内部 弦中点在?(交点在同一支上) 弦中点在抛物线“内部” 22?范围问题 : 或?(交点不在同一支上) 抛物线:y=2px 2222xyxy椭圆: ， =1 双曲线 : , =1 M(x，y)为中点，则 002222abab2M(x，y)为中点，则 M(x，y)为中点，则 y<2px 00002222xyxy ， <1 , >1(交点AB在同一支上) 2222abab22xy分析: 或 , <0(交点AB在两支上) 22ab步骤如下:1.设出两点和中点坐标(x，y); 2.用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式; 3.联立直线方程，求出交点，即中点; 4.由中点位置及对应范围求出参数取值范围. 22xy例1:已知椭圆C:,试确定m的取值范围，使得对于直线:y=4x，m，椭圆C上有不同两点l，,123关于这条直线对称. 解法一:设存在两点A(x,y)、B(x,y)关于对称，中点为C(x,y)， l11220012522则AB所在直线为y=, x，b.与椭圆联立得:x,bx，2b,6=0， 48，xx4b12? x= = 02251 用心 爱心 专心 ，yy14b24b12y= ×+b= ? C在y=4x，m上, = ,024252525m24b4b2522?= ×4，m, b=.又? ?=b,4× (2b,6)>0, 25258825m2222252522故 b<,即(,)<，解得:,<m<. 88855由上可知: 2222当 ,<m<时,椭圆C上有不同两点关于直线y=4x，m，对称. 55解法二:设存在两点A(x,y)、B(x,y)关于l对称，中点为C(x,y)，则 1122223x，2y=6 113(x，x),y3xy112221203x，2y=6, 得 =,=,=, ,? y=6x. 220 0x,x4212(y，y)2y120m联立y=4 x.，m,解的x.=, y=3m, 0 0 0022m,22222，3m2,?M在椭圆内部，? 即,<m<. ，15523由上可知: 2222当 ,<m<时,椭圆C上有不同两点关于直线y=4x，m，对称. 552y2.例2(已知双曲线x, l:y=k x，4的对称点，求k的取值范围. =1,双曲线存在关于直线31注:对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k?0，因为要用到, . k解法一:由题意k?0:设存在两点A(x,y)、B(x,y)关于l对称，中点为C(x,y)， 1122002y122222则AB所在直线为y=,x，b.代入x, ,1)x，2kb x,(b+3) k=0， =1得:(3k3k，x,kbx11222 显然3k,1?0,即k ? x= = 02233k,12,kb，y3kby121y= = ,×+b= 0222k3k,13k,122,kb3kb3k,122? C在y=k x，4上,?= k ×，4, ?k b=3k,1?b= 2223k,13k,1k222222222222又? ?= 4k b+4×(3k,1) (b+3) k>0, ?k b+3k,1>0?k b+ k b>0? b+ b>0?b>0或b<,1 223k,13k,13311>0或<,1解得: k <,或k>或,<k <0或0<k < 223322kk2 用心 爱心 专心 3311由上可知:当 k <,或k>或,<k <0或0<k <时, 33222y2双曲线x, l:y=k x，4的对称点 =1存在关于直线3解法二:由题意k?0:设存在两点A(x,y)、B(x,y)关于l对称，中点为C(x,y)， 112200223x,y=3 11,y3xy3(x，x)112221203x,y=3, 得 =,? y=,3kx.联立y= k x.，4 220 00 0x,x12kyy，y12022yy12200解得x.=, y=3, ,>1(交点AB在同一支上)或,<0 (交点AB在两支上) xx 0000k3333111122?k< 或k>且 k?0解得: k <,或k>或,<k <0或0<k < 3322433311由上可知:当 k <,或k>或,<k <0或0<k <时, 33222例3(k为何值时，抛物线y=x上总存在两点关于直线l:y=k(x,1)，1对称(同上) 另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法: 2例:在抛物线y= ax,1上存在两点关于直线x，y=0对称，求a的范围. 解:显然a?0. 设存在两点为A(x,y)、B(x,y)， 112222y,y,axax11212 = = a(x，x)=1，即x，x= ， 1212x,xx,xa1212和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.y，y，xx1,a1212x= ，这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中因 ， =0，即x12222a为存在这样的两点， 点关系求出两根之和、两根之积 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。11,a2故方程x, x， =0的?>0，当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两 2aa11,a3即 ,4 >0，a> .点关于直线对称所产生的垂直及，构造方程，利用?求出参数范22aa410.三角函数的应用围. 中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别 1?弦中点位置问题点M为相交弦AB的中点 顶点坐标：（，）2222xyxyy 椭圆 弦中点在内部范围问题 :椭圆: ， =1M(x，y)为中点，则 ， <1 002222abab(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.x o 22xyy 双曲线 弦中点在?(交点在同一支上)或?(交点不在同一支上)双曲线 : , =1 22ab（1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一2222xyxy M(x，y)为中点，则 , >1(交点AB在同一支上)或 , <0 002222abab一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。(交点AB在两支上) x o 3 用心 爱心 专心 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则y 点在圆上 <=> d=r;抛物线 22 弦中点在抛物线“内部” 抛物线:y=2pxM(x，y)为中点，则 y<2px 00x o 1、在现实的情境中理解数学内容，利用学到的数学知识解决自己身边的实际问题，获得成功的体验，增强学好数学的信心。4 用心 爱心 专心
