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2014高中数学 第二章 圆锥曲线 椭圆与双曲线的经典性质及法则知识点拨素材 北师大版选修1-12014高中数学 第二章 圆锥曲线 椭圆与双曲线的经典性质及法则知识点拨素材 北师大版选修1-1 椭圆与双曲线的对偶性质-(必背的经典结论) 椭 圆 1. 点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分?PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. x0xy0yx2y2 ?2?1. ?15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222abab x2y2 6. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点ab 弦P1P2的直线方程是x0xy0y?2?1. a2b x2y2 7. 椭圆2?2?1 (a,b,0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点ab ?F1PF2?，则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2tan x2y2 8. 椭圆2?2?1(a,b,0)的焦半径公式: ab?2. |MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF. x2y2 11. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则ab kOM?kABb2?2， a 即KABb2x0?2。 ay0 x2y2 ?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆a2b2 x0xy0yx02y02?2?2?2. 2abab x2y2 ?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab x2y2x0xy0y?2?2. a2b2ab 双曲线 1. 点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的内角. 2. PT平分?PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切: P在左支) x2y2 5. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a,0,b,0)上，则过P0的双曲线的切线方程ab 是x0xy0y?2?1. a2b x2y2 0)外 ，则过Po作双曲线的 6. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a,0,b,两条切ab 线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xy0y?2?1. a2b x2y2 7. 双曲线2?2?1(a,0,b,o)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意ab 一点?F1PF2?，则双曲线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot2?2. x2y2 8. 双曲线2?2?1(a,0,b,o)的焦半径公式:(F1(?c,0) , F2(c,0) ab 当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a 9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF?NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF. x2y2 11. AB是双曲线2?2?1(a,0,b,0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为ABab 的中点，则KOM?KABb2x0b2x0?2，即KAB?2。 ay0ay0 x2y2 12. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a,0,b,0)内，则被Po所平分的中点弦的ab x0xy0yx02y02方程是2?2?2?2. abab x2y2 13. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1(a,0,b,0)内，则过Po的弦中点的轨迹方ab x2y2x0xy0y程是2?2?2?2. abab 椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论) 椭 圆 x2y2 1. 椭圆2?2?1(a,b,o)的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直ab x2y2 线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1. ab x2y2 2. 过椭圆2?2?1 (a,0, b,0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直ab 线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0?2(常数). ay0 x2y2 3. 若P为椭圆2?2?1(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ab ?PF1F2?, ?PF2F1?，则a?c?tancot. a?c22 x2y2 4. 设椭圆2?2?1(a,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上ab 任意一点，在?PF1F2中，记?F1PF2?, ?PF1F2?,?F1F2P?，则有 sin?c?e. sin?sin?a x2y2 5. 若椭圆2?2?1(a,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0 ab 1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x2y2 6. P为椭圆2?2?1(a,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，ab 则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立. (x?x0)2(y?y0)2 ?1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7. 椭圆a2b2 A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2. x2y2 8. 已知椭圆2?2?1(a,b,0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.ab 4a2b2111122?;(1(2)|OP|+|OQ|的最大值为2;(3)S?OPQ|OP|2|OQ|2a2b2a?b2 a2b2 的最小值是2. a?b2 x2y2 9. 过椭圆2?2?1(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦ab MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|e?. |MN|2 x2y2 10. 已知椭圆2?2?1( a,b,0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分ab a2?b2a2?b2 ?x0?线与x轴相交于点P(x0,0), 则?. aa x2y2 11. 设P点是椭圆2?2?1( a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点ab ?2b2 2S?btan|PF|PF|?记?F，则(1).(2) . PF?PF1F2121221?cos? x2y2 12. 设A、B是椭圆2?2?1( a,b,0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，ab ?PAB?, ?PBA?,?BPA?，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2a2b22ab2|cos?|2cot?. (1)|PA|?2.(2) tan?tan?1?e.(3) S?PAB?2222b?aa?ccos? x2y2 13. 已知椭圆2?2?1( a,b,0)的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点Fab 的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 x2y2 1. 双曲线2?2?1(a,0,b,0)的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴ab x2y2 平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1. ab x2y2 2. 过双曲线2?2?1(a,0,b,o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互ab 补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0?2(常数). ay0 x2y2 3. 若P为双曲线2?2?1(a,0,b,0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, ab F 2是焦点, ?PF1F2?, ?PF2F1?，则c?a?taco(或c?a22 c?a?taco). c?a22 x2y2 4. 设双曲线2?2?1(a,0,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)ab 为双曲线上任意一点，在?PF1F2中，记?F1PF2?, ?PF1F2?,?F1F2P?，则有sin?c?e. ?(sin?sin?)a x2y2 5. 若双曲线2?2?1(a,0,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，ab 则当1 1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x2y2 6. P为双曲线2?2?1(a,0,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线ab P和内一定点，则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且 A,F2在y轴同侧时，等号成立. x2y2 7. 双曲线2?2?1(a,0,b,0)与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条ab 件是Aa?Bb?C. 22222 x2y2 8. 已知双曲线2?2?1(b,a ,0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，ab 且OP?OQ. 4a2b2111122?;(1(2)|OP|+|OQ|的最小值为2;(3)S?OPQ|OP|2|OQ|2a2b2b?a2 a2b2 的最小值是2. 2b?a x2y2 9. 过双曲线2?2?1(a,0,b,0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于ab M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|e?. |MN|2 x2y2 10. 已知双曲线2?2?1(a,0,b,0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的ab a2?b2a2?b2 3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0?或x0?. aa x2y2 11. 设P点是双曲线2?2?1(a,0,b,0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2ab 2.正弦：2b2 3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。为其焦点记?F，则(1)|PF1|PF2|?1PF2?1?cos?.(2) S?PF1F2?b2cot?2. x2y2 12. 设A、B是双曲线2?2?1(a,0,b,0)的长轴两端点，P是双曲线上的ab 五、教学目标：一点，?PAB?, ?PBA?,?BPA?，c、e分别是双曲线的半焦距 2ab2|cos?|离心率，则有(1)|PA|?2. |a?c2cos2?| 即;(2) tan?tan?1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?a (3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)x2y2 13. 已知双曲线2?2?1(a,0,b,0)的右准线l与x轴相交于点E，过双曲ab 线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 6 确定圆的条件:数e(离心率). 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
