最新高中数学知识点以及解题方法大全(下载)优秀名师资料.doc

高中数学知识点以及解题方法大全(免费下载)第一章 高中数学解题基本方法 前言 2 一、 配方法 第一章 高中数学解题基本方法 3 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方一、 配方法 3 找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用二、 换元法 7 “裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配三、 待定系数法 14 法”。 四、 定义法 19 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知五、 数学归纳法 23 或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺六、 参数法 28 xy项的二次曲线的平移变换等问题。 22七、 反证法 32 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a，b),a，2ab，八、 消去法 2b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如: 九、 分析与综合法 2222，b,(a，b),2ab,(a,b)，2ab; a十、 特殊与一般法 十一、 类比与归纳法 3b222222a，ab，b,(a，b),ab,(a,b)，3ab,(a，)，(b); 十二、 观察与实验法 22第二章 高中数学常用的数学思想 35 1222222一、 数形结合思想 35 a，b，c，ab，bc，ca,(a，b)，(b，c)，(c，a) 二、 分类讨论思想 41 222222三、 函数与方程思想 47 a，b，c,(a，b，c),2(ab，bc，ca),(a，b,c),2(ab,bc,ca)四、 转化(化归)思想 54 , 第三章 高考热点问题和解题策略 59 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如: 一、 应用问题 59 21，sin2,1，2sincos,(sin，cos); 二、 探索性问题 65 111三、 选择题解答策略 71 222x，,(x，),2,(x,)，2 ; 等等。 2四、 填空题解答策略 77 xxx附录 ?、再现性题组: 一、 高考数学试卷分析 1. 在正项等比数列a中，a,a+2a,a+a,a=25，则 a，an15353735二、 两套高考模拟试卷 ,_。 三、 参考答案 222. 方程x，y,4kx,2y，5k,0表示圆的充要条件是_。 前 言 111美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题 A. <k<1 B. k<或k>1 C. k?R D. k,或k,1 444时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思443. 已知sin，cos,1，则sin，cos的值为_。 想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对 A. 1 B. ,1 C. 1或,1 D. 0 于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学24. 函数y,log (,2x，5x，3)的单调递增区间是_。 1思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数2学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 55155 A. (,?, B. ,+?) C. (, D. ,3) 44244高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: 2? 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆1212法等; 22x+y=4上，则实数a,_。 ? 数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; 2? 数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、【简解】 1小题:利用等比数列性质aa,a，将已知等式左边mp,mp，m归纳和演绎等; 2后配方(a，a)易求。答案是:5。 35? 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化2222归)思想等。 2小题:配方成圆的标准方程形式(x,a)，(y,b),r，解r>0即可，数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学选B。 内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘222223小题:已知等式经配方成(sin，cos),2sincos,1，求出记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，4小题:配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 选D。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化5小题:答案3,。 11与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学?、示范性题组: 基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的一条对角线长为_。 核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常 A. 2 B. C. 5 D. 6 314用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z，则证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常211()xyyzxz，,222用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化( ,而欲求对角线长，将xyz，, 424()xyz，, 其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条aab222，ab，b,0变形得:()，()，1,0 ，解出,【另解】由a211()xyyzxz，,bba棱的长度之和为24”而得:。 ,13iab424()xyz，,999999,后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()，()222ba2长方体所求对角线长为:,xyz，,13i22后，完成后面的运算。此方法用于只是未联想到时进行解题。 ,5 ()()xyzxyyzxz，,，2611,2所以选B。 22假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a，ab，b,0解出:a,【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察,13i和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。 2pq用棣莫佛定理完成最后的计算。 222例2. 设方程x，kx，2=0的两实根为p、q，若()+()?7成立，?、巩固性题组: qp221. 函数y,(x,a)，(x,b) (a、b为常数)的最小值为_。 求实数k的取值范围。 2222，ab()ab,A. 8 B. C. D.最小值不存在 【解】方程x，kx，2=0的两实根为p、q，由韦达定理得:p，q,k，pq,2 , 222222244pq()pqpq，,2pq，22222()+(),2. 、是方程x,2ax，a，6,0的两实根，则(-1) +(-1)的最22qp()pq()pq小值是_。 49222222A. , B. 8 C. 18 D.不存在 ()pqpqpq，,22()k,484,?7， 解得k2，xy()pq3. 已知x、y?R，且满足x，3y,1,0，则函数t,2，8有_。 42A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值22?,或k? 。 1010222又 ?p、q为方程x，kx，2=0的两实根， ? ?,k,8?0即k?222 或k?,2 222224. 椭圆x,2ax，3y，a,6,0的一个焦点在直线x，y，4,0上，则a综合起来，k的取值范围是:,?k?, 或者 ?k?102222,_。 。 10A. 2 B. ,6 C. ,2或,6 D. 2或6 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”;已知方程，的结果是_。 5. 化简:218,sin228，cos有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p，q、pq后，观察已知不等A. 2sin4 B. 2sin4,4cos4 C. ,2sin4 D. 4cos4,式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p，q与pq的组合式。假如本题不对“?”2sin4 讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“?”的讨论，但解答是不严22x6. 设F和F为双曲线,y,1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 124a221998例3. 设非零复数a、b满足a，ab，b=0，求()，FPF,90?，则?FPF的面积是_。 1212ab，217. 若x>,1，则f(x),x，2x，的最小值为_。 b1998x，1() 。 ,3312ab，8. 已知<，cos(-),，sin(+),，求sin251324aaa2【分析】 对已知式可以联想:变形为()，()，1,0，则, (的值。(92年高考题) bbb2229. 设二次函数f(x),Ax，Bx，C，给定m、n(m<n),且满足A(m+n)+ 2为1的立方虚根);或配方为(a，b),ab 。则代入所求式即得。 2222mn，2AB(m+n),Cmn，B，C,0 。 aa222? 解不等式f(x)>0; 【解】由a，ab，b=0变形得:()，()，1,0 ， bb? 是否存在一个实数t，使当t?(m+t,n-t)时，f(x)<0 ,若不存在，说出理由;a1b若存在，指出t的取值范围。 2设,，则，1,0，可知为1的立方虚根，所以:,，4410. 设s>1，t>1，m?R，x,logt，logs，y,logt，logs，ba,stst3322,1。 ,m(logt，logs), st222? 将y表示为x的函数y,f(x)，并求出f(x)的定义域; 又由a，ab，b=0变形得:(a，b),ab ， 22? 若关于x的方程f(x),0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 abba19981998999999二、换元法 所以 ()，(),()，()ababab，ab，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到ab简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，999999999999,()，(),，,2 。 ,目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标ba准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 2222换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联,5xy，4y,5 ( ?式) ，设S,x，y，求例1. 实数x、y满足4x系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把11复杂的计算和推证简化。 ，的值。(93年全国高中数学联赛题) SS它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，maxmin2222在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 【分析】 由S,x，y联想到cos，sin,1,于是进行三角换元，设换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是,xS,cos,在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然代入?式求S和S的值。 ,xxxminmax有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4，2,2?0，先变形为设2,t,yS,sin,(t>0)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 ,三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中xS,cos,【解】设代入?式得: 4S,5S?sincos,5 ,，的值域时，易发与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y,x1,x,yS,sin,2现x?0,1，设x,sin ，?0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。10解得 S, ; 2852,sin为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、2221010y适合条件x，y,r(r>0)时，则可作三角代换x,rcos、y,rsin化为三? -1?sin2?1 ? 3?8,5sin2?13 ? ?角问题。 13,85,sinSS10均值换元，如遇到x，y,S形式时，设x,，t，y,t等等。 ? 223我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新11313168变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。? ，,，, SS1010105maxmin,如上几例中的t>0和?0,。 810S,2此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2,的有界性而?、再现性题组: S1.y,sinx?cosx，sinx+cosx的最大值是_。 810S,24|?1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 求，即解不等式:|2.设f(x，1),log(4,x) (a>1)，则f(x)的值域是_。 aS3.已知数列a中，a,1，a?a,a,a，则数列通项a,SSSSn1n，1nn，1nn2222【另解】 由S,x，y，设x,，t，y,t，t?,， _。 222224.设实数x、y满足x，2xy,1,0，则x，y的取值范围是_。 22SS,x2213，,则xy,?代入?式得:4S?5=5， tt5.方程,3的解是_。 44x13，22移项平方整理得 100t+39S,160S，100,0 。 xx，16.不等式log(2,1) ?log(2,2)2的解集是_。 22101022? 39S,160S，100?0 解得:?S? t1133【简解】1小题:设sinx+cosx,t?,，则y,，t,，222211313168? ，,，, 1SS1010105对称轴t,1，当t,，y,，; 22maxminmax222【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S,x，y222小题:设x，1,t (t?1)，则f(t),log-(t-1)，4，所以值域为(,22a与三角公式cos，sin,1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为?,log4; 22a三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S,x，y而按11122SS照均值换元的思路，设x,，t、y,t，减少了元的个数，问题且容易求3小题:已知变形为,1,设b,，则b,1,b,n1n22aaan，1nn解。另外，还用到了求值域的几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。 1和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，,1，(n,1)(-1),n，所以a,; n可以设x,a，b，y,a,b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题n2254小题:设x，y,k，则x,2kx，1,0, ?,4k,4?0,所以k?1或k?,1; 222设x,a，b，y,a,b，代入?式整理得3a，13b,5 ，求得a?0,，所13x25小题:设3,y，则3y，2y,1,0,解得y,，所以x,1; 10201010322222以S,(a,b)，(a，b),2(a，b),，a?,，再求x13131336小题:设log(2,1),y，则y(y，1)<2，解得,2<y<1，所以x?2115，的值。 (log,log3)。 22SS4maxmin?、示范性题组: 1111例2( ?ABC的三个内角A、B、C满足:A，C,2B，,，,2”【注】 本题两种解法由“A，C,120?”、“2cosAcosAcosCcosC分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值2AC,，求cos的值。(96年全国理) 换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运cosB211【分析】 由已知“A，C,2B”和“三角形内角和等于180?”的性质，可得 算直接解出:由A，C,2B，得A，C,120?，B,60?。所以，,cosAcosC,AC，,120?2;由“A，C,120?”进行均值换元，则设,2，即cosA，cosC,2cosAcosC，和积互化得: 22B,?60,cosB,A,?60，AC，AC,AC,AC,2coscos,cos(A+C)，cos(A-C)，即cos2 ，再代入可求cos即cos。 ,2222C,?,60,22AC,2,AC，,120?,cos(A-C),(2cos,1)，整理得:22C,2B，可得 , 【解】由?ABC中已知A，222,B,?60,AC,AC,24cos，2cos,3,0, 22,A,?60，22由A，C,120?，设，代入已知等式得: ,2AC,C,?,60,解得:cos, 2211112，,，,例3. 设a>0，求f(x),2a(sinx，cosx),sinx?cosx,2a的最大值和最小值。 ,cosAcosCcos()60:，cos()60:,【解】 设sinx，cosx,t，则t?11 y 2-,，由(sinx，cosx),1，,22 , , 13132 x ,t,122,，cossincossin，2sinx?cosx得:sinx?cosx, 22222cos,cos,1,2, 2? f(x),g(t),(t,1332222,coscossin,444122a)， (a>0)，t?-, 2222AC,2解得:cos,， 即:cos,。 22212t,-时，取最小值:,2a,2a, 22112【另解】由A，C,2B，得A，C,120?，B,60?。所以，cosAcosC12当2a?时，t,，取最大值:,2a，2a, ; 22222, cosB1当0<2a?时，t,2a，取最大值: 。 2112,2，设,，m，,m ， 222cosAcosC12? f(x)的最小值为,2a,2a,，最大值为2112所以cosA,，cosC,，两式分别相加、相减得: ,，2m,2m,12(),a0,22AC，AC,AC,22cosA，cosC,2coscos,cos,， 。 2,m,222212,2,，,aaa()222AC，AC,AC,22,cosA,cosC,2sinsin,sin,3222【注】 此题属于局部换元法，设sinx，cosx,t后，抓住sinx，cosx与sinx?cosx2m的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易， 2m,2求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t?-,)与sinx，cosx22对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由2m22AC,即:sin,，,，代入对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。 22m,2232()m,一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx?cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元AC,AC,2242sin，cos,1整理得:3m,16m,12,0,解出m,6，的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 22222AC,代入cos,。 22m,22241()a，2axsincos2例4. 设对所于有实数x，不等式xlog，2x log【另解】 由,tg，将等式?两边同时除以，222aa，1ycosx2()a，11042，log>0恒成立，求a的取值范围。(87年全国理) 再表示成含tg的式子:1，tg,()1，tg,224a131()，2241()a，()a，12atg,【分析】不等式中log、 log、log2222aa，14a10222tg，设tg,t，则3t10t，3,0， 三项有何联系,进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 341()a，2a81()a，x3【解】 设log,t，则log,log,1222?t,3或， 解得,?或?。 3aa，12ay332()a，1a，12a3，log,3,log,3,t，log,sincos2222a，14a2a【注】 第一种解法由,而进行等量代换，进行换元，减xya，12log,2t， 2xsin2a少了变量的个数。第二种解法将已知变形为,，不难发现进行结果为2ycosx，2tx,2t>0，它对一切实数x恒成立，所以: 代入后原不等式简化为(3,t)tg，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用30,tt,3,，解得 ? t<0即了换元法使方程次数降低。 ,2tt,06或,，,4830ttt()22,()x,1()y，1例6. 实数x、y满足，,1，若x，y,k>0恒成立，2a916log<0 2a，1求k的范围。 222a()x,1()y，1220<<1，解得0<a<1。 【分析】由已知条件，,1，可以发现它与a，ba，1916【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元,1有相似之处，于是实施三角换元。 41()a，2a22x,1()x,1()y，1y，1及如何设元，关键是发现已知不等式中log、 log、22【解】由，,1，设,cos，,aa，1916342()a，1sin， log三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。224a,x,，13cos即: 代入不等式x，y,k>0得: 另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能,y,，14sin,使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。 3cos，4sin,k>0，即k<3cos，4sin,5sin(+) 22 所以k<-5时不等式恒成立。 sincossincos例5. 已知,，且，,【注】本题进行三角换元，将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角22yxyx不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、x10 (?式)，求的值。 椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 22y()xy，3本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系，不等式sincosax，by，c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax，by，c,0所分平面成两部分中含x轴正2【解】 设,k，则sin,kx，cos,ky，且sin方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终位于平面上x，xyy 2222kxky2222 x ，cos,k(x+y),1,代入?式得: ，,22 yx222x1010ky10 x，y,k>0 , 即:，, 2222 k 平面区域 y33()xy，3x 2xx1110y,k>0的区域。即当直线x，y,k,0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆设,t，则t，, , 解得:t,3或 ?,?或3222y3ty3,16191144()()xy,，,相切时，方程组有相等的一组实数解，,3xyk，,0,? 3消元后由?,0可求得k,3,所以k<-3时原不等式恒成立。 ?、巩固性题组: 31. 已知f(x),lgx (x>0)，则f(4)的值为_。 3105122)(1，x)的展开式中，x的系数是_。 3. 在(1,xA. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 333A. ,297 B.,252 C. 297 D. 207 42. 函数y,(x，1)，2的单调增区间是_。 314. 函数y,a,bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为,，则y,A. -2,+?) B. -1,+?) D. (-?,+?) C. (-?,-1 2213. 设等差数列a的公差d,，且S,145，则a，a，a，4asin3bx的最小正周期是_。 n10013525. 与直线L:2x，3y，5,0平行且过点A(1,-4)的直线L的方程是，a的值为_。 99_。 2A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 y2226. 与双曲线x,1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是4. 已知x，4y,4x，则x，y的范围是_。 4115. 已知a?0，b?0，a，b,1，则，的范围是_。 a，b，22x,1_。 【简解】1小题:由f(x),，m求出f(x),2x,2m，比较系数易求，选C; 236. 不等式>ax，的解集是(4,b)，则a,_，b,_。 x1111222小题:由不等式解集(,)，可知,、是方程ax，bx，2,0的两根，7. 函数y,2x，的值域是_。 x，133228. 在等比数列a中，a，a，a,2，a，a，a,代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a，b，选D; n1210111230555212，求a，a，a。 3小题:分析x的系数由C与(,1)C两项组成，相加后得x的系数，选D; 313260101029. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx，2mcosx，4m,1<0恒成立。 22 y D C 10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x，y,2 (x>0,y>0)上移动，A B 且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。 三、待定系数法 O x 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式,f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值，都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就2,4小题:由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案; 是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，3要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定5小题:设直线L方程2x，3y，c,0，点A(1,-4)代入求得C,10，即得2x，3y，10的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列22xy求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达2,0;6小题:设双曲线方程x,，点(2,2)代入求得,3，即得方程形式，所以都可以用待定系数法求解。 43使用待定系数法，它解题的基本步骤是: 2y第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式; ,1。?、示范性题组: 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程; 12第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 2mxxn，43如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析: 例1. 已知函数y,的最大值为7，最小值为,1，2x，1? 利用对应系数相等列方程; 求此函数式。 ? 由恒等的概念用数值代入法列方程; 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值;已知最大值、最小? 利用定义本身的属性列方程; 值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到? 利用几何条件列方程。 “判别式法”。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的2形式，其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;【解】 函数式变形为: (y,m)x,4x，(y,n),0， x?R, 由已知得3最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形y,m?0 式，得到所求圆锥曲线的方程。 22? ?,(,4),4(y,m)(y,n)?0 即: y,(m，n)y，(mn,12)?3?、再现性题组: 0 ? x,121. 设f(x),，m，f(x)的反函数f(x),nx,5，那么m、n的值依次为不等式?的解集为(-1,7)，则,1、7是方程y,(m，n)y，(mn,12),0的两2根， _。 1120，,()mnmn,5555代入两根得: 解得:,A. , ,2 B. , ， 2 C. , 2 D. , ，497120,，,()mnmn,2222,2 m,5m,1,或 ,112n,1n,52. 二次不等式ax，bx，2>0的解集是(,)，则a，b的值是_。 ,32A. 10 B. ,10 C. 14 D. ,14 22nn()，15431xx，xx，4352222，2?3，n(n，1),(3n于是对n,1、2、3，等式1?2? y,或者y, 2212x，1x，12，11n，10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立: 此题也可由解集(-1,7)而设(y，1)(y,7)?0,即y,6y,7?0，然后与不等式222假设对n,k时等式成立，即1?2，2?3，k(k，1),mn，,6,kk()，1?比较系数而得:，解出m、n而求得函数式y。 ,2(3k，11k，10); mn,127,12【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函2222当n,k，1时，1?2，2?3，k(k，1)，(k，1)(k，2),数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求kk()，1kk()，122参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解;二(3k，11k，10) ，(k，1)(k，2),(k，2)(3k，5)是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求1212对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y()()kk，1222,(3k，5k，12k，24),，(k，1)(k，2)视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用?0,建12立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以()()kk，12将函数化成一个一元二次方程。 23(k，1)，11(k，1)，10， 例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点12与长轴较近的端点距离是,，求椭圆的方程。 也就是说，等式对n,k，1也成立。 105综上所述，当a,8、b,11、c,10时，题设的等式对一切自然数n都成立。 【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与也体现了方程思想和特殊 y B 长轴较近端点的距离转化为a,c的值后列出第二个方程。 值法。对于是否存在性问 x 【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF|,a 题待定系数时，可以按照 222,，abc先试值、再猜想、最后归 A F O F A ,a,10,222纳证明的步骤进行。本题 ? 解得: ，,()2aab,如果记得两个特殊数列, B b,5,3332,105ac,1，2，n、12222，2，n求和的公xy ? 所求椭圆方程是:，,1 式，也可以抓住通项的拆105开，运用数列求和公式而也可有垂直关系推证出等腰Rt?BBF后，由其性质推证出等腰Rt?BOF，再232222直接求解:由n(n，1),n，2n，n得S,1?2，2?3，n(n，1),nbc,333222(1，2，n)，2(1，2，n)，(1，2，n),进行如下列式: ，更容易求出a、b的值。 ac,10522,nn()，1nnn()()，121nn()，1,222，2?，,abc,，,462【注】 圆锥曲线中，参数(a、b、c、e、p)的确定，是待定系数法的生动体现;nn()，12(3n，11n，10)，综上所述，当a,8、b,11、c,10时，题设的等式如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据(a、b、12c、e)不变，本题就利用了这一特征，列出关于a,c的等式。 对一切自然数n都成立。 一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是:设例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四方程(或几何数据)?几何条件转换成方程?求解?已知系数代入。 个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，222例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1?2，2?3，n(n，1),最大容积是多少, nn()，1【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建2(an，bn，c)对一切自然数n都