最新高考高中数学解题方法谈：函数学习中的数学思想优秀名师资料.doc
2010年高考高中数学解题方法谈：函数学习中的数学思想一些重要的数学思想在函数学习中有着广泛的应用，在学习时要注意归纳总结 1数形结合的思想 函数的图象能直观地显示函数的性质，借助于图象来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题 例1 已知，下列不等式中成立的是（ ） c,0c1,c c,2 c,2,cc11,cc 2,2,22,x1, 解析：在同一坐标系中分别作出 ，y,yx,2,xc11,xxcy,2的图象，如右图所示，显然x,0时，即c,0时， 22x,c,22,2分类讨论的思想 在函数这一部分经常涉及到分类讨论的情形，特别是在研究含参数的二次函数在部分区间上的最值问题及在研究函数的单调性等问题时，一般需用分类讨论的思想方法 3，2 例2 已知函数,，2afxaxax()(21)3,，,在区间上的最大值为1，求实数的,2，值 3， 解：当,，2a,0时，在上不能取得，故a,0 fxx()3,fx(),2，12,a2 ?fxaxaxa()(21)3(0),，,x,的对称轴方程为 02a103233,， （1）令f,1a,x,，2，解得，此时， ,0,2,3202，3, ?f,1fx()a,0，?最大，?不合题意； ,02,313， （2）令x,，2a,f(2)1,，解得，此时， 0,32，43 ?a,0f(2)1,，?为最大值； 41 （3）令，解得， fx()1,a,(322)021 验证后知只有符合题意 a,(322)231 综上所述，a,，或 a,(322)423转化与化归的思想 在解恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函数、二次函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题 (三)实践活动2xxa，2 例3 已知函数fx(),，若对任意，恒x,，,1)，x,，,1)，fx()0,x=0 <=> 抛物线与x轴有1个交点；成立，试求实数a的取值范围 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.2xxa，22 解：在区间fx()0,，,xxa20上，恒成立恒成立 1)，,x2 设yxxa,，2， x,，,1)，23.53.11加与减（一）4 P4-1222 ?yxxaxa,，,，,2(1)1在上递增， x,，,1)，?当ya,，3ya,，,30x,1时，即当时，函数恒成立，故a,3 fx()0,minmin例4 设函数定义在上，则函数与的图象关于yfx,()yfx,(1)yfx,(1)R（ ） 直线对称 直线x,0对称 y,0直线y,1对称 直线x,1对称 互余关系sinA=cos(90°A)、cosA=sin(90°A)222 解析：使抽象问题具体化，取fxx(),fxx(1)(1),fxx(1)(1),，则，此时，两函数的图象重合，且关于直线x,1对称，故选（） 4换元思想 例5 求函数yxx,12的值域 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。21,t 解析：令x,txt,12(0)?，则， 23、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。211,t2 ?ytt,，(1)1， 22（2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)1 ?t?0t,0，?当时，的最大值为 y2定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，1,，,， ?函数的值域为 ,2,，5函数与方程的思想 函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的组合），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解 函数与方程思想是中学数学的基本思想方法，是一种重要的数学观念，它不仅仅是一种具体的解题方法，而且是解题思维的导航器 例6 设，且它们的绝对值都不大于，求证 abc，,Rabbcca，10?分析：构造函数a，是关于的一次函数，由于，faabbcca()1,，fa()a,11，只要证明且，就能证明 f(1)0,?f(1)0?fa()0?证明：设a，是关于的一次函数，?， fabcabc()()1,，fa()abc，,11?， fbcbcbccbc(1)1(1)(1)(1)(1)0,，,，,，?(1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)， fbcbcbccbc(1)1(1)(1)(1)(1)0,，,，,? 在上非负，?abbcca，10? fa()11,，评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数，fa()从而由一次函数的图象性质，使问题得到解决
