1、插值与曲线拟合插值与曲线拟合第一节第一节:插值插值插值的目的插值的目的已知三角函数表已知三角函数表x901290189024sinx0.1599 0.1616 0.1633查查 9020求函数近似表达式及近似值求函数近似表达式及近似值一、拉格朗日型插值一、拉格朗日型插值1 1、线性插值、线性插值已知数据表已知数据表xx0 x1f(x)y0y1 x0，x1称为插值节点，线性插值多项式（称为插值节点，线性插值多项式（线线性插值函数性插值函数）为）为插值函数要满足：插值函数要满足：L1(x0)=y0;L1(x1)=y1其中其中线性插值基函数线性插值基函数满足满足:f(x)L1(x)例例1 1、已知数
2、据表、已知数据表解：解：基函数为基函数为x12f(x)0.950.82写出写出 f(x)的线性插值函数的线性插值函数 ,并求并求 f(1.5)的近似值。的近似值。线性插值函数为线性插值函数为且且 f(1.5)L1(1.5)=0.885。二次插值多项式（二次插值多项式（插值函数插值函数）为）为二次插值基函数二次插值基函数2 2、二次插值、二次插值已知数据表已知数据表xx0 x1x2f(x)y0y1y2满足满足二次插值函数仍要满足：二次插值函数仍要满足：L2(xi)=yi ,i=0,1,2于是，易得：于是，易得：n次插值多项式（次插值多项式（插值函数插值函数）为）为3 3、n 次插值次插值 已知已
3、知 y=f(x)在在 n+1 个节点个节点 x0,x1,xn 处的处的函函数数 y0,y1,yn 。其中：其中：n次插值基函数次插值基函数满足满足1、差商：、差商：二、牛顿型插值二、牛顿型插值称为函数称为函数 f(x)关关于点于点 x0，x1 的差商。的差商。称为函数称为函数 f(x)关关于点于点 x0，x1，x2 二阶差商。二阶差商。n 阶差商：阶差商：n-1 阶差商的差商阶差商的差商各阶差商的计算各阶差商的计算xif(xi)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商x0f(x0)f x0,x1x1f(x1)f x0,x1,x2f x1,x2f x0,x1,x2,x3x2f(x2)f
4、x1,x2,x3f x2,x3x3f(x3)差商表差商表2、牛顿型插值多项式、牛顿型插值多项式牛顿型插值多项式为牛顿型插值多项式为 已知已知 y=f(x)在在 n+1 个节点个节点 x0,x1,xn 处的处的函函数数 f(x0),f(x1),f(xn)。则。则第二节第二节:曲线拟合曲线拟合一、最小二乘法一、最小二乘法 已知已知 f(x)的一组数据的一组数据(xj,yj)(j=1,2,n),要求要求构造一个函数构造一个函数,用用来逼近来逼近 f(x)。不要。不要求求通过所有数据点通过所有数据点(xj,yj),数据一般有观测误差数据一般有观测误差,因此因此,曲线通过所有点，会使曲线保留全部观测误差
5、曲线通过所有点，会使曲线保留全部观测误差。求求？设设称称为残差。为残差。记记 确定确定的原则的原则,使使 Q 取得最小值。取得最小值。求求？曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法二、拟合函数二、拟合函数给定给定 f(x)的数据的数据(xj,yj)(j=1,2,n),用用来拟合函数来拟合函数 f(x),其其中中为已知的为已知的线性无关的函数，求系数线性无关的函数，求系数,使使在该点处取得最小值在该点处取得最小值,称称 为拟合函数为拟合函数 或经验公式。或经验公式。为为求拟合函数求拟合函数,由于由于点点的最小点的最小点,则则应满足应满足:即即 亦即亦即引入记号引入记号:对于对于h(x)与与 g
6、x),记记称为称为h 与与 g 的内积的内积且且 则则(*)可写成可写成:(*)通过求解方程通过求解方程(*),求求出出。三、曲线拟合的步骤三、曲线拟合的步骤1、确定拟合函数的形式、确定拟合函数的形式（1）作出散点图（或进行机理分析）；）作出散点图（或进行机理分析）；（2）确定出拟合函数的形式。）确定出拟合函数的形式。2、根据、根据(*)式式,求出拟合函数求出拟合函数(即求出即求出a0,a1,am）3、检验（修正、检验（修正,重新拟合）重新拟合）四、多项式拟合四、多项式拟合当取当取时时,即即此时此时,多项式拟合多项式拟合因此因此,(*)为为注：当注：当 m=1 时时,直线拟合直线拟合;当当
7、m=2 时时,抛物拟合抛物拟合。（*）直线拟合直线拟合：拟合函数：拟合函数a0,a1 满足满足:抛物拟合抛物拟合：拟合函数：拟合函数a0,a1,a2 满足满足:例例1、已知、已知解解：数据点描绘：数据点描绘令令j1234xj2468yj2112840则则解之得解之得故故例例2、已知、已知解解：数据点描绘：数据点描绘令令则则解之得解之得故故xj1345678910yj1054211234五、其它形式拟合五、其它形式拟合ln p=ln A+M x例例3、用形如、用形如 p(x)=AeM x 的函数拟合下列数据的函数拟合下列数据记记：y=ln p,a0=lnA,a1=M,则则有有xj1234pj71
8、11727解：由解：由 p(x)=AeM x 得得且且xj1234yj=ln pj1.9452.398 2.8333.296于是于是,由由解得：解得：a0=1.496,a1=0.4488。于是。于是,因此因此 p(x)=4.464 e0.4488 x例例4、已知、已知解解：数据点描绘：数据点描绘tj123456789yj4.006.408.008.809.229.509.709.8610.001011121314151610.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60(1)令令记记tj1234Xj1.000.500.330.25yj4.006.408.008.80Yj0.
9、2500.1560.1250.114,则则。解得：解得：a=0.0847,b=0.1319。即。即(2)令令记记tj1234Xj1.000.500.330.25yj4.006.408.008.80Yj1.3861.8562.0792.175则则则则解得：解得：A=2.4297,B=-1.0706。即。即于是于是则则 y=a0+a1 x例例5、用形如、用形如 W=C t 的函数拟合下列数据的函数拟合下列数据解得解得：a0=lnC=1.468,a1=-0.1038,则有则有tj1248163264Wj4.22 4.02 3.853.593.443.022.59解解:lnW=lnC+lnt,记记 y=lnW,a0=lnC,a1=,x=lnt则则例例6、已知、已知xx1x2xnyy1y2yn解解:试用试用来拟合以上数据来拟合以上数据于是于是从中解出：从中解出：a0,a1,a2。
