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第二章 函数2.1 函数有关的概念课标要求1了解函数的含义及要素，了解映射的概念，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解分段函数并会简单应用；2会求一些简单函数的定义域；3会求一些简单函数的值域。课标解读突破方法 关于函数的基本概念在应用时应注意把重点放在构成它们的几个要素上，做到概念清楚、思路清晰。知识点一、函数的基本概念、映射 1函数的概念（传统定义、现代定义） 传统定义：设在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，其本质是描述变量之间的依赖关系。 现代定义：一般地，设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对于关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xA。其中x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做函数的值域，显然f(x)xAB。 现代定义与传统对应的本质是一样的，只是在不同的知识基础上给出的不同的定义方法，其中现代定义更符合我们的需求。 注意：（1）对于两个非空集合之间的对应是否可以构成函数，关键要看是否满足函数定义中强调的三性：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应！这三性只要有一个不满足便不能构成函数。（2）判断两个变量之间是否存在函数关系，只要求检验：定义域与对应法则是否确定；对于给定的对应法则，自变量x在其定义域内的每一个值是否只有唯一的一个y值与之对应。2函数的三要素 函数的三要素，即定义域、值域、对应法则；定义域是自变量的取值范围，是构成函数不可或缺的，对应法则是函数关系的本质，是连接函数定义域与值域的桥梁，值域是函数的值的取值范围。由函数的定义域与对应法则是可以确定函数的值域，并且是唯一确定的，但是由定义域和值域求解对应法则或者值域和对应法则求解定义域是不一定唯一的。 函数的三要素是构成函数的基础，所有关于函数的题目都是围绕着这三个要素展开的。3函数的表示方法 函数最常用的表示方法有三种：列表法、图象法、解析法。通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法。列表法具有简单明了、具体易用的特点，缺点是不够全面。用函数的图象表示两个变量之间关系的方法叫做图象法。图象法的优点是能够直观形象地表示出函数的变化情况。缺点是只能近似地表示出自变量的值和函数值。把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫做解析式（又称函数关系式）。如果在函数y=f(x)(xA)中，f(x)是用代数式（或解析式）表达的，那么这种表达函数的方法叫做解析法。解析法的优点有：一是简明、全面地概括了变量间的关系，二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值。 对于函数的三种表示方法，其中列表法是使用最少的，图象法和解析法大多数时候都是结合在一起进行使用的。4映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对A中任一元素x，在B中有且只有一个元素y与x对应，则称f是集合A到B的映射。这时称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象。映射f也可记作f：A。其中叫做映射的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)。特别地，如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。 对比映射和函数的概念，我们不难看出函数是数集到数集的映射，即映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。5映射的特点 对于映射f：AB：1.A中每个元素在B中必有唯一的象；2.对于A中的不同元素，在B中可以有相同的象；3.允许B中的元素没有原象；4.A中元素与B中元素的对应关系可以是：一对一、多对一。但是不能是一对多。6映射个数公式 对于映射f：AB来说，A中有M个元素，B中有N个元素，那么从集合A到集合B可能的映射个数为NM7两个函数成为同一个函数的条件判断两个函数是不是同一个函数即是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同。这里需要注意的是函数关系式的未知数不同不能决定两个函数不是同一个函数，即对于函数y=f(x)与函数m=f(n)来说，字母不同不能说它们就不是同一函数。8区间的概念 区间的产生是为了更方便的表示数范围的概念，毕竟对于一些复杂的集合表示起来是很麻烦的。区间的基本原理是数轴上的点与实数是一一对应的，因此可以使用数轴上的点的刻度来表示数集。 设a、b是两个实数，ab，我们规定：1.满足全体实数axb的集合，叫做闭区间，记作a，b；2.满足全体实数a<x<b的集合，叫做开区间，记作(a，b)；3.满足全体实数ax<b的集合，叫做半开半闭区间，记作a，b）；4.满足全体实数a<xb的集合，叫做半开半闭区间，记作(a，b；其实实数a、b叫做相应区间的端点，为了区别开闭的端点，我们规定用实心点表示包括区间在内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。定义名称符号数轴表示xaxb闭区间a，bxa<x<b开区间(a，b)xax<b前闭后开区间a，b）xa<xb前开后闭区间(a，b 注意：（1）区间的左端点必须小于右端点，有时我们称b-a为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如； （2）对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示； （3）由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立。二、函数的定义域 函数的定义域主要分为三种基本情况，即给定函数定义域、使函数解析式有意义和实际问题中的函数定义域。 我们通常要注意的是第二种情况，使函数解析式有意义，那么常见的类型有： (1)若f(x)是整式，则定义域为R； (2) 若f(x)是分式，则其定义域为使分母不等于0的实数集；(3) 若f(x)为偶次根式，则其定义域是使得根号内的式子大于等于0 的实数的集合；(4) 若f(x)是对数式，则其定义域是使得对数的真数大于0，底数大于0且不等于1的实数的集合；(5) 若f(x)是指数式，则其定义域是使得指数的底数大于0且不等于1的实数的集合； （6）0次幂的底数不为0； (7) 若f(x)中含有正切（余切）函数，那么其定义域是 （）； （8）另外，对于实际问题的函数的定义域要考虑实际问题的具体条件。三、函数的值域1. 观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函 数的值域。2图像法 对于常见的基本初等函数，或者由其经简单变换所得的函数，或用导数研究极值点及单调区间后，可通过画示意图、截取、观察得值域，这是值域中的重点内容3单调性法利用函数的单调性求函数的值域，一般是已知基本函数的单调性。4复合函数 对于复合函数的定义域的求解分为两种情况，首先我们要知道函数f(g(x)定义域是指表达式中x的取值范围，所以：（1）已知f(x)的定义域为D，求f(g(x)的定义域，只需令g(x)D,解得x的集合即为定义域；（2）已知f(g(x)的定义域为D，求f(x)的定义域，只需要求g(x)在xD上的值域即可。5换元法 常见的换元有两种：一是代数换元。形如，可设，转化为二次函数求值域。二是三角换元。形如。6利用式子或变量的有界性 常见的如三角函数的有界性；平方式、根式等的有界性等，都是考察这一内容。7几何法 这是一种很特殊的求解函数值域的方法，通常用于求解分式函数的值域或者可以转化为求距离等图形的函数的值域。8均值不等式法 利用均值不等式，使用这一方法时必须满足“一正、二定、三相等”的条件，如果条件不满足，尤其是“相等”的条件无法满足时，可以考虑使用函数单调性来求解。9导数法 对于非基本函数，常见的如高次整式函数，可以通过求函数导数的方法来求解函数的值域。10反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。11配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。12判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例如求函数y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域13.分离常数法 若函数解析式为分子，且分子，分母是关于自变量的一次因式或同角三角函数关系式时，常采用分离常数法。四、分段函数 解决分段函数的基本原则是分段进行。对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式。对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大值就是整个函数的最大值，其中的最小值就是整个函数的最小值。疑难点1函数f(x)与函数值f(a)的含义2求定义域，要辨明自变量3使用换元法后要注意“新元”的取值范围4函数的值域是集合B的子集5求定义域是使用交集；定义域用集合或区间表示6函数的三种表示法7函数解析式化简要等价2.2 函数的基本性质课标要求1理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义，会运用图象理解和研究函数性质；2了解函数的奇偶性及其图象的对称性，会判断函数的奇偶性；3理解周期函数及最小正周期的意义；4能综合研究函数性质。课标解读突破方法1、讨论单调性要在函数定义域内2、根据定义证明函数单调性的一般步骤3、判别单调性可用导数解决4、讨论复合函数单调性的根据，复合函数单调性的判断方法5、抽象函数的单调性及最值6、判别函数奇偶性的方法、一般步骤定义法图像法7、分段函数的奇偶性8、抽象函数的奇偶性9、奇偶性和周期性都具有将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题的功能知识点1 函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。由函数单调性的概念可知，函数单调性满足三个性质：（1）任意性，即证明单调性时不可以以两个特殊值进行证明（2）证明单调性所选的两个数必须同属于一个单调区间（3）必须先设定所取的两个数的大小关系。虽然我们说函数的单调性可以从函数图象上直观的看出来，但是函数图象的局限性决定了我们必须系统研究在整个函数定义域的单调性。2 判断函数单调性的常用方法（6种）(1)定义法:利用定义严格判断.(2)利用函数的运算性质: 如若f(x)、g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数. 为减函数(f(x)0). 为增函数(f(x)0). f(x)·g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0). -f(x)为减函数.(3)利用复合函数关系判断单调性.法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.(4)图象法.(5)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(6)导数法若f(x)在某个区间内可导,当f(x)>0时，f(x)为增函数;当f(x)<0时,f(x)为减函数.若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时,则f(x) 0;当f(x)在该区间上递减时,则f(x)0.总结函数单调性的证明方法是对高考来说的，在同步学习中对于（6）的使用是比较少的，对于不同题目证明方法的选择是根据题目的特点来选取的。3 一些重要函数的单调性（1）函数的单调性：在上单调递增；在上单调递减。（2）函数的单调性：在和上单调递增；在和上单调递减。对于这两个函数的单调性可以自己完成证明过程，在解选择题和填空题时可以应用结论，但是在解答题中必须给出证明过程。4函数的最值（最大值、最小值） (1)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,满足: 对于任意的xA,都有. 存在x0A,使得. 则称M是f(x)的最大值. (2)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数M,满足: 对于任意的xA,都有. 存在x0A,使得. 则称M是f(x)的最小值.对于函数最值我们应该首先认识到函数最值属于函数值域，即定义中的“存在”。函数最值与函数的单调性是密切相关的，根据函数的单调性就可以得出函数的最值。5函数最值的几何意义 函数最值的几何要结合函数图象来分析，总的来说可以总结为两句话： 最大值：Y轴上的最高点，如果在此处画一条水平线，整个函数曲线其他地方都在这个水平线下方(或者相交)最小值：Y轴上的最低点，如果在此处画一条水平线，整个函数曲线其他地方都在这个水平线上方(或者相交)6。函数最值的常用求法（1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程的函数。再由且求y的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元得取值范围；（5）数形结合法：对于图形教容易画出的函数的最值问题可借助函数图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值。（1）求函数的最值问题本质上是求函数值域的问题，因此求函数最值的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异。（2）无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此。7函数的奇偶性 偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数。 函数要是奇函数或偶函数，那么函数的定义域在数轴上所表示的区间必定关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数没有奇偶性，即为非奇非偶函数。8奇偶函数的图像特点；奇偶函数的四则运算结果的奇偶性；有关定义的等价形式 A、图像特点:如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，那么这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。理解函数的奇偶性的几何特征可以帮助我们更好的使用这一知识，要理解奇函数与偶函数的区别我们必须首先知道中心对称图形与轴对称图形的区别。 B、奇偶函数的四则运算结果的奇偶性 在定义域的公共部分内，两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数之和为偶函数；两个奇函数之积（商）为偶函数；两个偶函数之积（商）也是偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（注意：取商时应使分母不为0）。判断由简单函数经过四则运算所得复杂函数的奇偶性时要注意条件，即必须在两个函数的公共定义域内才有意义。同时当涉及商的运算时作为分母的函数的值必须非0. C、有关定义的等价形式 对于函数奇偶性的等价形式，在解题时是可以直接加以应用的，但是在应用证明时要注意证明函数值不等于0.9任意一个定义域关于原点对称的函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和的形式 任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和的形式，则。这种方法可以应用于构造函数，即如果已知函数的定义域关于原点对称，那么在证明函数的奇偶性时可以试用这种方法。10若是奇函数且0是定义域内的值，则根据奇函数的定义我们不难理解这一点。11若是偶函数，则12若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数。13一些重要类型的奇偶函数（1）函数为偶函数，函数为奇函数；（2）函数为奇函数；（3）函数为奇函数；（4）函数为奇函数。14既奇又偶的函数首先我们要认识到什么样的函数是既奇又偶函数，根据奇函数、偶函数的特点，我们不难看出要是既奇又偶函数那么该函数的图象既要关于原点对称，也要关于y轴对称，由此可知既奇又偶函数是常数函数f(x)=0。注意：函数f(x)=0随着定义域的不同表示不同的函数，所以说f(x)=0表示的是一大类函数。15周期性（周期函数表现形式）函数的周期性体现的是函数的波动性，最典型的代表就是三角函数。根据函数图象的特点，我们可以分析出常见的周期函数是满足一些基本形式的，常见的有4种：设a为非0常数，那么满足以下（1）（2）（3）（4）的函数就是周期函数。函数图象的对称性：若在定义域上恒成立，则f(x)的图象关于直线对称，特别地，若，则函数f(x)关于直线对称，a=0时，f(x)为偶函数。16、函数周期性与对称性之间的区别与联系区别：若函数f(x)满足，则函数f(x)的图象关于直线对称；若函数f(x)满足，则函数f(x)的周期为2a。联系：（1）的图象关于直线及对称，则的周期为； （2）的图象关于直线及点对称，则的周期为； （3）的图象关于点及点对称，则的周期为。疑难点1回答函数单调性必须写出增减区间2单调增（减）区间一般为单个的区间，不能是区间的并集3函数单调区间开闭性4奇偶性是一个整体性质，必须在定义域上研究5一个周期函数不一定有最小正周期（如常数函数）6周期性与对称性的区别与联系考试研究本节在高考试题中主要考查以下两个方面：1.求函数的单调区间及单调性的应用，如应用单调性求值域、比较大小、解（或证明）不等式等运用定义或导数判断或证明函数的单调性等函数的单调性是高考的热点问题；2.函数的奇偶性、周期性常和函数其他性质（如单调性）综合，奇偶性与单调性结合的题目常通过画示意图解决，周期性与三角函数相结合，以客观题型为主，一般为容易题，对综合性解答题，常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶性等，全面了解函数图象的变化趋势，画出函数的示意图，从而研究函数的最值、极值、单调区间等，是解决函数最值、不等式恒成立等问题的基本思路。