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计划2014高考数学核心考点09_导数的几何意义以及应用考点9 导数的几何意义以及应用【考点分类】 热点一 导数的几何意义 421.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知曲线在点处切线的斜率为-12，a，yxax,，1，8，( ) a=96-9-6(A) (B) (C) (D) xykxx,，ln1,k2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】若曲线在点处的切线平行于轴,，k,则_. ,3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】若曲线在点(1，2)处的切线经过坐标yxR,(),原点，则= . ,xx4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】设函数在内可导，且则fx()(0,)，,fexe(),，,=_. f(1)5.,2012年高考,课标文,曲线在点(1,1)处的切线方程为_ yxx,，(3ln1)【答案】 430xy,【方法总结】 求曲线的切线方程有两种情况，一是求曲线y,f(x)在点P(x，y)处的切线方程，其方法如下:00(1)求出函数y,f(x)在点x,x处的导数，即曲线y,f(x)在点P(x，f(x)处切线的斜率( 000(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y,y，f(x)(x,x)(如果曲线y,f(x)在点000P(x，f(x)处的切线平行于y轴，由切线定义可知，切线方程为x,x. 000二是求曲线y,f(x)过点P(x，y)的切线方程，其方法如下: 00(1)设切点A(x，f(x)，求切线的斜率k,f(x)，写出切线方程( AAA(2)把P(x，y)的坐标代入切线方程，建立关于x的方程，解得x的值，进而写出切线方程(00AA热点二 导数的几何意义的应用 7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数 f(x),x,alnx(a,R)(1)当a,2时，求曲线在点处的切线方程; y,f(x)A(1,f(1)(2)求函数的极值. f(x)x8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】已知函数. fxx()e,R(?) 若直线y,kx，1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; 2 (?) 设x>0, 讨论曲线y,f (x) 与曲线 公共点的个数. ymxm,(0)fafb()()，fbfa()(), (?) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由. 2ba,22eegxg()(2),()时，两曲线有1m,2个交点;，所以 min4422ee()时，两曲线有2=m1个交点;()时，两曲线没有交点。3m, 44(?) ababbaba,fafbfbfaeeeeee()()()()11，,，,，,a,e()222bababa,baba,()(1)2(1)baee,，,a,e2()ba,？abbat,0令tta teee(1)2(1)，,at，？,，,上式etet(2)2，22tttt令，则恒成立gttetgtte()(2)2'()(3)10,，,，,aaeet，而,？,，,tet？,gtg()(0)00(2)20，tt22fafbfbfa，,()()()()故,.ba,232a,R9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理】已知，函数f(x),x,3x，3ax,3a，3.(?)求曲线在点处的切线方程; (1,f(1)y,f(x)(?)当时，求的最大值. |f(x)|x,0,223340,a,afxf()|(2)|,当时，所以，所以此时;|()|()12(1)1fxfxaa,，,1max13412x0.【2013年全国高考新课标,I,理科】已知函数f(x),x，ax，b，g(x),e(cx，d)，若曲线y,f(x)和曲线y,g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y,4x+2. (?)求a，b，c，d的值 (?)若x?,2时，f(x)?kg(x)，求k的取值范围. 11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】 lnxy,设l为曲线C:在点(1，0)处的切线. x(I)求l的方程; (II)证明:除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方. 解析 利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般式.要证曲线C在直线l的下方，只1a2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】已知函数()1(为自然对数的fxx,，aRe,xe底数) (?)若曲线在点1,()fx处的切线平行于轴，求的值; xayfx,()，(?)求函数的极值; fx()a,1k(?)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值. lykx:1,yfx,()1kx,1 (*) ，xe在上没有实数解( R1k,10,?当时，方程(*)可化为，在上没有实数解( Rxe13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 x已知函数. fxx()e,R(?) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; 12 (?) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. yx,，x12ab，fbfa()(),f (?) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由. ,2,ba,【解析】本题涉及函数与导数，为压轴题.本题第一问涉及了求导与指数函数的反函数.属于导函数的基本应用，体现了压轴题的低切入点特征.本题第二问考查曲线与曲线的公共点个数，到了第二问，考查难度平稳提升.第三问比较大小可采用作差构造，再求导，并综合考察基本不等式的应用.第三问考查细致入微，需要思考分析.具有一定的区分度.本题命题常规，难度大. 14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】 32aR,fxx()2,，3(1)6axax知，函数 a,1 (?)若，求曲线在点处的切线方程. yfx,()(2,(2)f(?)若，求在闭区间上的最小值. |1a,fx()0,2|a32fxxxxf()266(2)1624124,，？,，,a,1【答案】(?)当时，所以2,fxxxf()6126(2)242466,，？,，,yfx,()(2,(2)f，所以在处的切线方程是:15.【2013年全国高考新课标(I)文科】 x2已知函数，曲线在点处切线方程为. yfx,()(0,(0)fyx,，44fxeaxbxx()()4,，,(?)求的值; ab,(?)讨论的单调性，并求的极大值. fx()fx()',f(0)4,'xxab,4【答案】(1)，故，解得; f(0)4,fxeaxbaex()()24,，,f(0)4,x2'xxxx,0x,2(2)，;令，所以fxexxx()(44)4,，,fxexexxe()(44)424(2)(42),，,，,1'x,lnln2或，所以当变化时，、变化如下表所示: xfx()fx()2x,2,ln2 (,2),(2,ln2),(ln2,),，,'+ 0 - 0 + fx()单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 fx()4f(2)4,所以极大值. 2e16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】 2 已知函数. fxxxxx()sincos,，ba(?)若曲线yfx,()在点(,()afa处与直线yb,相切，求与的值. b(?)若曲线yfx,()yb,与直线有两个不同的交点，求的取值范围. 13aR,17.,2012年高考,重庆理,设其中,曲线在点处的切线垂直fxaxx()ln1,，yfx,()(1,(1)f22x于轴. y(?) 求的值; a(?) 求函数的极值. fx()lnxk，yfx,()18.,2012年高考,山东文,已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线在点fxk()(,xe(1,(1)f处的切线与x轴平行. (?)求的值; k(?)求的单调区间; fx(),2,(?)设,其中为的导函数.证明:对任意.gxxfx()(),fx()fx()xgx,，0,()1en19.,2012年高考,湖北文,设函数,为正整数,为常数, nab,fxaxxbx()(1)(0),，,曲线在处的切线方程为. yfx,()(1,(1)fxy，,1(1)求的值; ab,(2)求函数的最大值; fx()1fx(),(3)证明:. nenn，1n1n，1所以(),e,即 ,，1nn，(1)nnenn1由(2)知,故所证不等式成立. ,fx()，1n，(1)nne23a,020.,2012年高考,北京文,已知函数(),. fxax()1,，gxxbx(),，(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值; cyfx,()ygx,()ab,k(2)当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围. ab,3,9fxgx()()，,2k23a,021.,2012年高考,北京理,已知函数(),. fxax()1,，gxxbx(),，(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值; cyfx,()ygx,()ab,2ab,4(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值. fxgx()()，(,1,212.,2012年高考,安徽文,设定义在(0,+)上的函数 fxaxba()(0),，,ax(?)求的最小值; fx()3(II)若曲线在点处的切线方程为yx,求的值. yfx,()(1,(1)fab,2113,fxafa()(1), ? 2axa2由?得: ab,2,1【考点剖析】 一(明确要求 1.了解导数概念的实际背景( 2.理解导数的几何意义( 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(4.,理,能求简单的复合函数,仅限于形如f,ax+b,的复合函数,的导数.二(命题方向 1.导数的运算是导数的基本内容在高考中每年必考一般不单独命题而在考查导数应用的同时进行考查( 2.导数的几何意义是高考重点考查的内容常与解析几何知识交汇命题( 3.多以选择题和填空题的形式出现有时也出现在解答题中关键的一步. 三(规律总结 一个区别 曲线y,f(x)“在”点P(xy)处的切线与“过”点P(xy)的切线的区别:0000曲线y,f(x)在点P(xy)处的切线是指P为切点若切线斜率存在时切线斜率为k00,f(x)是唯一的一条切线,曲线y,f(x)过点P(xy)的切线是指切线经过P点000点P可以是切点也可以不是切点而且这样的直线可能有多条(两种法则 (1)导数的四则运算法则( (2)复合函数的求导法则( 三个防范 1(利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号防止与乘法公式混淆(2(要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别(3(正确分解复合函数的结构由外向内逐层求导做到不重不漏(【考点模拟】 一(扎实基础 x,1yx,lg1. 【湖南师大附中2013届高三第六次月考】曲线在处的切线的斜率是( ) 11ln10A. B. C. D( ,lge,ln10lge2CC2. 【广东省惠州市2013届四月高三第一次模拟考试】设为曲线:上的点，且曲线在点处PPyxx,，23,，切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 ( ) P0,4，11，A( B( C( D( ,1,00,1,1,1,22，3. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】曲线y,x(x,1)(x,2),3lnx在点(1,0)处的切线方程为( ) (A)4x,y,4,04x，y,4,0 (B) 3x,y,3,03x，y,3,0 (C) (D) 132y,24. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】已知曲线与在 yxxx,，212xxx,x处切线的斜率的乘积为3，则的值为( ) 001 A(-2 B(2 C( D(1 22(1,(1)f5. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】经过曲线fxxx()(2)1,，上点 处的切线方程为( ) A( B( C( D( xy，,210210xy，,xy,，,10xy，,101xx,06. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】曲线在点处的切线方程是( ) y,()2A( B. x，yln2,ln2,0xln2，y,1,0 C. D. x,y，1,0x，y,1,0 x27. 【山 西 省20122013年度高三第二次诊断考试】曲线处的切线与坐标轴所围成的三角形yee,在点(2,)的面积为( ) 2e222e2e4e A( B( C( D( 2【答案】D '2x222kyee,【解析】?点在曲线上，?切线的斜率，?切线的方程为，即(2,)eyeex,(2),xx2221e2222Se,，,1，与两坐标轴的交点坐标为，? (1,0)exye,0(0,),e22312y,x，x,8. 【北京东城区普通校20122013学年高三第一学期联考】若曲线的某一切线与直线y,4x，322平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ( myxm,，2yxx,ln9. 【广州市2013届高三年级1月调研测试】若直线是曲线的切线，则实数的值为 . x10. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】函数的图像在点处的切线方程Af(0,(0)fxex()cos,是 . 二(能力拔高 ,11. 【2013年“江南十校”高三学生第二次联考(二模)测试】若曲线在点(,1)，处的切线与yxx,，sin122直线互相垂直，则实数m=( ) mxy，,210,2,1A( B( C(2 D(1 12. 【河北省保定市2013年高三第一次模拟考试】设函数f(x),sinx,的图象与直线y,kx(k,0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则等于( ) ,A.,cos B. tan C. sin D. ,13. 【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】若是在内的一个fxxxx()sincos,(0,2),零点，则对下列不等式恒成立的是( ) ,x(0,2),sinsinx,sinx3,coscosxx,2cosA( B. C. , D. 2xx,14,314. 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三y,x，x1，,33,角形面积为( ) 2112 A. B. C. D. 9933【答案】B 15. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】( 某厂将原油精炼为汽油，需对 原油进行冷却和加热，如果第小时,原油温度(单位:?)为 x132f(x),x,x，8(0,x,5),，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为( ) 320A(8 B( C(-1 D(-8 32x,116. 【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】已知函数是偶函数，且在处fx()fxxmxm()(1)2,，的切线方程为，则常数mn,的积等于_. (2)30nxy,4PPy,17. 【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】已知点在曲线上，,为曲线在点处xe，1的切线的倾斜角，则,的取值范围是_. 00135180,. 18. 【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】(本小题共13分) aa,R已知，函数( fxx()ln1,，,xa,1(?)当时，求曲线在点处的切线方程; yfx,()(2,(2)f(?)求在区间上的最小值( 0,efx()，,19.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】(本小题满分14分) 2xgxfxaxbx()(),，已知函数fxx()ln,，函数gx()的图象在点(1,(1)g处的切线平行于轴(1)确定与的关系; abgx()(2)试讨论函数的单调性; ni,1*(3)证明:对任意，都有成立( nN,ln1，,n，,2i,1i20. 【北京市东城区普通校2012-2013学年第二学期联考试卷】 12f(x),x,ax，(a,1)lnx已知函数 2a,2(?)若，求函数在(1，)处的切线方程; f(x)f(1)(?)讨论函数的单调区间 f(x)12a,2f(x),x,2x，lnx解:(1)当时， 2三(提升自我 21. 【2013年安徽省安庆市高三模拟考试(三模)】 32已知函数的图像都过点P(2,0)，且它们在点P处有公共切线. f(x),ax,8x与g(x),bx，cx(1)求函数和的表达式及在点P处的公切线方程; f(x)g(x)mg(x)F(x),，ln(x,1)，其中m,R，求F(x)(2)设的单调区间. 8x3解: (1)?过点P(2,0),f(x),ax,8x 22. 【吉林市普通高中20122013学年度高中毕业班下学期期末复习检测】 ,ax(,)6ex,(a,0)已知定义在的函数，在处的切线斜率为fxex()tan, 224af(x)(?)求及的单调区间; ,x,0,)f(x),mxm (?)当时，恒成立，求的取值范围. 2,'m,1k,(0，)则对于任意，必存在，使得 g(k),02'(0,x)x,(0,k)必存在使得则g'(x)在为负数， g(x),000023. 【四川省成都高新区高2013届第4学月统一检测】 x已知函数，(其中a,0，b,0)，且函数的图象在点处的切线与函数fxaxb()ln(),，fx()Af(0,(0)gxa()e1,的图象在点处的切线重合( gx()Bg(0,(0)(?)求实数a，b的值; xm,0(?)若，满足，求实数的取值范围; ,xm，x00gx()1，0(?)若，试探究与的大小，并说明你的理由( xx,0fxfx()(),gxx(),21212124. 【江西省南昌市2013届二模考试】 2 已知函数g(x),2aln(x，1)，x,2xa,0(1)当时，讨论函数的单调性: g(x)(2)若函数的图像上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为P(x,y)，使得在点Q(x,f(x)处的f(x)f(x)0000ll切线与直线AB平行或重合，则说函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”.试判f(x)f(x)断函数是否是“中值平衡函数”,若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数;若不是，说明理由.g(x)g(x)25. 【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】(本小题满分14分) 2xaR,已知函数，其中是自然对数的底数，( efxaxxe()(1),，,a,1(1)若，求曲线在点处的切线方程; f(x)(1,f(1)a,0(2)若，求的单调区间; fx()tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。1132a,1()gx,x，x，mm(3)若，函数f(x)的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.322x(3)由(2)知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，(,1,1,00,，,)fxxxe()(1),，,3x,1x,0f(,1), 所以在处取得极小值，在处取得极大值. fx()f(0),1e定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;10分 11322,()gx,x，x，m 由，得. g(x),x，x32（1) 与圆相关的概念：（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.【考点预测】 1.设函数f(x)在R上是可导的偶函数，且满足f (x,1),f (x，1)，则曲线y=f (x)在点x=10处的切线的斜率为( ) A.,1 B. 0 C. 1 D. 2 (2)两锐角的关系：AB=90°；即切线1yx,，1(1)方程为， 2112yx,， 即为，将改写成， xy,yx,2211yx,， 将xy,12改写成 2211112321Syydyyyy,，,，,(12)()()|11 因此. 0,0333六、教学措施：第一章 直角三角形边的关系324.已知函数 ()ab,Rfxxaxbx(),，的图象如下图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影 1部分)的面积为，则a的值为 ( 12156.46.10总复习4 P84-90同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。