最新【教师推荐+三年经典】-全国高考真题数学（理）考点汇总专讲：第18讲+推理与证明优秀名师资料.doc

【2014教师推荐 三年经典】2011-2013年全国高考真题数学（理）考点汇总专讲：第18讲 推理与证明青山工作室 【考点21】推理与证明 2013年考题 3322b32ab，32abab，1.(2013江苏高考)设?,0,求证:?. 【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。 3322222232(32)3()2()(32)().abababaabbbaabab，,，,，,证明: 22bab,32ab,因为?,0,所以?0，,0， 22(32)()abab,从而?0， 332232ab，32abab，即?. ，aS(,)nSnN,nnn2.(2013山东高考)等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，xybrb,，,(0bbr,1,均在函数且均为常数)的图像上. (1)求r的值; ，banN,，,2(log1)()nn2(11)当b=2时，记 b，1bb，11n12?1,，n，nN,证明:对任意的 ，不等式成立 bbb12nx，(,)nSybrb,，,(0bbr,1,nN,n【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数naSbr,，Sbr,，n,1n,211的图像上.所以得,当时,当nnnnnn,111aaSSbrbrbbbb,，,，,()(1)n时,又因为为等比数列,所nnn,1n,1abb,(1)br,1以,公比为, nnn,11n,1abb,(1)2ban,，,，,2(log1)2(log21)2(2)当b=2时，, nnn22b，1b，1bb，1121n，35721n，nn12?,则,所以 . bbbn2462bn212nnb，1bb，1135721n，n12?1,，n下面用数学归纳法证明不等式成立. bbbn246212n33,2n,12当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 22青山工作室 青山工作室 b，1bb，1135721k，k12?1,，knk,假设当时不等式成立,即成立.则bbbk246212kbb，11bb，113572123kk，kk，112?,nk,，1当时,左边= bbbbkk246222，121kk，2223(23)4(1)4(1)11kkkk，,，,，,，kkk1(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkk，nk,，1所以当时,不等式也成立. . 由?、?可得不等式恒成立. 2012年考题 3*aacaccNc,，,0,1,其中ann，n1、(2012安徽高考)设数列满足为实数 11*c,0,1a,0,1nN,n(?)证明:对任意成立的充分必要条件是; 1n,1*0,cacnN1(3),(?)设，证明:; n3222*12aaannN，,，,1,0,cn12(?)设，证明: ,c133c,0,1aac,0,1a,0,1011剟,c122【解析】(?)必要性:?，又?，?，即. *a,0,1c,0,1nN,n充分性:设，对任意用数学归纳法证明. a,001，n,11当时，. 3ak,0,1(1)acaccc,，,，,111nk,kkk，假设当时，则，且13a,0,1acacc,，,110厖k，1kk，. 1*a,0,1nN,n由数学归纳法知，对任意成立. 10,ca,0n,11(?) 设，当时，结论成立; 3332acac,，,11(1)(1)(1),，acacaaan2nn,nnnnn,当时，?，?. 11111120,ca,0,110,a13，aan,1nn,n?，由(?)知，?且， 113211nn,13(1)(3)(1)(3)(1)(3),acacacac剟剟?， nnn,121n,1acnN13,*,，?. n青山工作室 青山工作室 2120,ca,021n,1(?)设,当时，结论成立; 313,cn,1ac130,，n2当时，由(?)知， n21212(1)1nnnn,acccc,，,1(3)12(3)(3)12(3)?. n2222221n,aaaaanccc，,，,，12(3)(3)(3)? 122nnn21(3),c2,，,，,nn11. 1313,cca,a,1a,2ar,aa,，2n123nn，32、(2012上海高考)已知数列:，(是正整数)，b,b,1b,0b,1b,0bb,n1234nn，4与数列:，(是正整数)( Tbabababa,，nnn112233记( aaaa，,6412312(1)若，求的值; Tn,412n(2)求证:当是正整数时，; TTTr,0121m，122m，1212m，(3)已知，且存在正整数，使得在，中有4项为100(求的值，并指出哪4项为100( aaaa，.12312【解析】(1) ,，12342564786rrrr， ,，484.r .2分 48464,4.，,？,rr? .4分 ，nZTn,时,4.12n(2)用数学归纳法证明:当 Taaaaaa,，,，,4,121357911当n=1时，等式成立.6分 Tk,4,12k假设n=k时等式成立，即 nk,，1那么当时， TTaaaaaa,，,，,，,211kkkkkkk，121k，8分 ,，,，,，,，481884858488kkkrkkkrk， ,，4441,kk，等式也成立. 青山工作室 青山工作室 ，nZTn,时,4.12n根据?和?可以断定:当.10分 Tmm,41.，12m (3) 当时，nmmTm,，,，121,12241;n当时，nmmTmr,，,，,123,12441;n当时，nmmTmr,，,，,125,12645;n当时，nmmTmr,，,127,1284;n 当时，nmmTm,，,，129,121044;当时nmmTm,，,1211,1212,44.nn.13分 ,，,41,4,44mrmrm? 4m+1是奇数，均为负数， ? 这些项均不可能取到100. .15分 TTTT,293294297298此时，为100. 18分 22,a，a,1,a(n,N)aa,0a,0nnnnn13、(2012浙江高考)已知数列，(记，1，1111T,，？，nS,a，a，？，a1，a(1，a)(1，a)(1，a)(1，a)？(1，a)n12n11212n( ,n,N求证:当时， a,ann，1(?); S,n,2n(?); T,3n(?)。 【解析】(?)证明:用数学归纳法证明( 2aaa,n,1xx，,10212?当时，因为是方程的正根，所以( *aa,nkk,()Nkk，1?假设当时， 2222,，()(1)aaaaaa,，,，,(1)(1)aaaa，kkkk，kkkk，2121因为， kk12211aa,aa,nk,，1kk，12kk，12所以(即当时，也成立( *aa,n,Nnn，1根据?和?，可知对任何都成立( 22aaa，,1kn,121，n?2kkk，(?)证明:由，()，得1122aaaana，,()(1)nn( 231青山工作室 青山工作室 222a,0aa,a,1Sna,1aaa,，,1211nnnn，1nnn，n因为，所以(由及得， 所11Sn,2n以( a1k，1?，?,(2313)knn22aaaa，,，12?kkkk，(?)证明:由，得 1112aakk，1a1n?(3)a,2n，所以， 342(1)(1)(1)2aaaanaa11nn?,(3)n,2222nnn，于是， 2322(1)(1)(1)2()22aaaaan11T,，,113n,2nTTT,T,3n?3123n故当时，又因为， 所以( 22|a|baba，nnnnn，14、(2012辽宁高考)数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，*bab，n,Nnnn，11成等比数列() |a|bnn(?)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论; 1115，,ababab，1122nn(?)证明:( 1222baaabb,，,，nnnnnn，【解析】(?)由条件得 111ababab,6912162025，223344由此可得(猜测2annbn,，,，(1)(1)，nn( 用数学归纳法证明: ?当n=1时，由上可得结论成立( 2akkbk,，,，(1)(1)，kk?假设当n=k时，结论成立，即， 那么当n=k+1时，2ak，222,，,，,，,，22(1)(1)(1)(2)(2)，abakkkkkbkkkkk，11( bk所以当n=k+1时，结论也成立( 2annbn,，,，(1)(1)，nn由?，可知对一切正整数都成立( 115,11(?)( ab，612青山工作室 青山工作室 abnnnn，,，,，(1)(21)2(1)nnn?2时，由(?)知( ,11111111，,，,abababnn，1122nn,故 622334(1),，,，,，,，,，, 6223341nn，62216412n，,综上，原不等式成立( 5、(2012湖南高考) nn,22满足,，,1,2,(1cos)sin,1,2,3,.,aaaaannnn，122 数列 22a,aa,n34 (?)求并求数列的通项公式; a21n,1,，,.bSbbbnS,时，62.nnn12n (?)设证明:当 an2n,22aaa,，,，,(1cos)sin12,aa,1,2,31112 【解析】(?)因为所以 2222aaa,，,(1cos)sin24., 422(21)21kk,22*aa,，1cossin,kk，,2121nkk,21(N)一般地，当时， 22a，1aa,1.21k,2121kk，,，即 a,ak,.21k,21k,所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 22kk,22,，,*aaa(1cos)sin2.kkk，2222nkk,2(N)当时， 22ka,a,2.2k2所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 kn，1,*,21(N),nkk,2na,n,a,n,故数列的通项公式为 *22,2(N).nkk,an21n,123n,bS,，,nn23nn2(?)由(?)知， ? a2n2222青山工作室 青山工作室 1123n,，Sn2341，n ? 2222211111n,，,S.n231，nn-?得， ?222222112,1()nn122nnn，,1.111222, 1212nn，S,22.n,1nnn 所以 2221nn(2)，S,2,1nnn,6n,6 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. n26(62)483，,16 方法一: (1)当n = 6时，成立. 2644kk(2)，,1.knkk,(6) (2)假设当时不等式成立，即 2(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)kkkkkkkk，,，,1.kk，1则当n=k+1时， 222(2)(2)2kkkk，nn(1)，1S,12.nn 由(1)、(2)所述，当n?6时，.即当n?6时， n22(1)(3)(2)3nnnnn，,nn(2)，cc,0.cn,(6)nn，n2nn，1121 方法二:令，则 2222，683cc,1.n6cc,n,6n,6nn，1 所以当时，.因此当时， 644nn(2)，,1.nn,6于是当时， 21S,2.nn,6综上所述，当时， n2011年考题 ,A,a,a,a,？,a(k,2)a,Z(i,1,2,？,k)123kiA1.(2011北京高考)已知集合其中，由青山工作室 青山工作室 ,，S,a,ba,A,b,A,a，b,A中的元素构成两个相应的集合，,，T,a,ba,A,b,A,a,b,A，a,bS和T，其中是有序实数对，集合的元素个数分别m,n为. a,A，总有,a,A若对于任意的，则称集合具有性质. ,0,1,2,3,1,2,3(?)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的S和T集合; kk,1，n,2(?)对任何具有性质的集合，证明:; m和n)判断的大小关系，并证明你的结论. (?,0,1,2,3,1,2,3S和T【解析】(?)集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是 ,，,S,1,3,3.,1,T,2,1,2,3; 2kA(?)首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为aAaaT,，(i,1,2,？,k)ij, ，a,a,T时，a,a,T(i,1,2,？,k)a,A时，,a,Aijji又因为当，所以当，于是集合kk,111，2n,，n,k,k,kk,12中的元素的个数最多为，即. 22m,n(?)，证明如下: ，a,b,Sa,A,b,A，则a，b,A，从而a，b,b,T?对于，根据定义 ，a,b与c,da,c与b,dS如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是 ，a，b,bc，d,da，b,c，db,d与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见 Sm,n中的元素个数不多于中的元素个数，即; ，a,b,Ta,A,b,A，则a,b,A，从而a,b,b,S?对于，根据定义 ，a,b与c,da,c与b,d如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是 青山工作室 青山工作室 ，a,b,bc,d,da,b,c,db,dS与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见 m,nSn,m中的元素个数不多于中的元素个数，即.由?可知. 2.(2011湖北高考)已知m，n为正整数. (?)用数学归纳法证明:当x>-1时，(1+x)m?1+mx; nnm11m1,1,1,n，32n，32,(?)对于n?6，已知，求证，m=1,2，n; (?)求出满足等式3n+4n+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n. 【解析】(?)证:当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明: 当x>-1，且x?0时，m?2,(1+x)m?1+mx. ?1 (1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.(i)当m=2时，左边,1+2x+x2,右边,1+2x，因为x?0,所以x2>0，即左边>右边，不等式?成立; 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”(ii)假设当m=k(k?2)时，不等式?成立，即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0. 3. 圆的对称性:又因为x?0,k?2,所以kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。(1+x)k?(1+x) >(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当m,k+1时，不等式?也成立.综上所述，所证不等式成立. 1mm(1,),1,nmn,6,时，n，3n，3(?)当由(?)得>0,于是 9、向40分钟要质量，提高课堂效率。mnm111，nmnm(1)(1)(1)(),(m=1,2，n)., nnn，3332，nnnn0000n,6使等式3，4，？，(n，2),(n，3)000(?)假设存在正整数成立， n3n，nn004200，？，()()n，3n，n，00033即有()+,1. ? n30n，30又由(?)可得()分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:nnnnnnn0004，2,10000()，？，(),(1,)，(1,)，？nnnn0000，3，3，3，3+ 11111000nnn,1？(1,),()，()，,1,1,0nn，32222+与?式矛盾， 0故当n?6时，不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形; 当n=1时，3?4，等式不成立; 43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-23青山工作室 3、观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的，学生将经历从立体图形到平面图形的过程,认识长方形、正方形、三角形、圆等平面图形，初步体会面在体上，进一步发展空间观念。青山工作室 当n=2时，32+42,52，等式成立; 当n=3时，33+43+53,63，等式成立; 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64?74,等式不成立; (1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的n只有n=2,3. 锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。青山工作室