最新【高考数学】排列组合与概率原理及解题技巧（共8页）优秀名师资料.doc

【高考数学】排列组合与概率原理及解题技巧（共8页）排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1(加法原理:做一件事有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有m种12不同的方法，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m+m+m种不同n12n的方法。 2(乘法原理:做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m种不同的方法，第2步有m种不同12的方法，第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×m××m种不同的方法。 n12n3(排列与排列数:从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m?n)元素的所有排列个数，叫n!mm做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)(n-m+1)=,其中m,nAAnn(n,m)!?N,m?n, 0n注:一般地=1，0=1，=n!。 AAnnnAn4(N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。 n5(组合与组合数:一般地，从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m?n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组m合数，用表示: Cn,？,，n(n1)(nm1)n!m,C. n,m!m!(nm)!nmn,mmmn,1k,1k6(组合数的基本性质:(1);(2);(3);(4)C,CC,C，CC,Cn,1nnnn,1nnkn01nknkkkk，1kmn,kC，C，？，C,C,2;(5);(6)。 C，C，？，C,CCC,C,nnnnkk,1k，mk，m，1nkn,m,0kn,17(定理1:不定方程x+x+x=r的正整数解的个数为。 C12nr,1证明将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x+x+x=r的正12n整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x,x,x),将x作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,n，便12ni得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于n,1从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。故定理得证。 Cr,1r推论1 不定方程x+x+x=r的非负整数解的个数为 C.12nn，r,1推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其m组合数为 C.n，m,1n0n1n,12n,22rn,rrnn8(二项式定理:若n?N,则(a+b)=.其中第r+1Ca，Cab，Cab，？，Cab，？Cb+nnnnnrn,rrr项T=叫二项式系数。 Cab,Cr+1nn9(随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验m时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记n作p(A),0?p(A)?1. 10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有mm种，那么事件A的概率为p(A)= .n11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A，A，12A彼此互斥，那么A，A，A中至少有一个发生的概率为 n12np(A+A+A)= p(A)+p(A)+p(A). 12n12n(对立事件:事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为12。由定义知p(A)+p()=1. AA13(相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 14(相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(AB)=p(A)p(B).若事件A，A，A相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为12np(AA A)=p(A)p(A) p(A). 12n12n15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,kn-kk这个事件恰好发生k次的概率为p(k)=p(1-p). Cnn17(离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数就是一个随机变量，可以取的值有0,1,2,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量可能取的值为x,x,x,取每一个值x(i=1,2,)的概率p(12ii=x)=p，则称表 ii x x x x 123ip p p p p 123i为随机变量的概率分布，简称的分布列，称E=xp+xp+xp+为的数学期望或平均值、1122nn均值、简称期望，称D=(x-E)2p+(x-E)2p+(x-E)2p+为的均方差，简称方差。D,1122nn叫随机变量的标准差。 18(二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件kkn,k恰好发生k次的概率为p(=k)=, 的分布列为 Cpqn 0 1 x N i00n11n,1kkn,knn CpqCpqCpqCpp nnnn此时称服从二项分布，记作,B(n,p).若,B(n,p)，则E=np,D=npq,以上q=1-p. 19.几何分布:在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量，若1k-1在一次试验中该事件发生的概率为p，则p(=k)=qp(k=1,2,)，的分布服从几何分布，E=，pqD=(q=1-p). 2p二、方法与例题 1(乘法原理。 例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式, 解 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则;这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有 (2n)!(2n-1)×(2n-3)××3×1= .n,2(n!)2(加法原理。 例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种, 2解 断路共分4类:1)一个电阻断路，有1种可能，只能是R;2)有2个电阻断路，有-1=5C443种可能;3)3个电阻断路，有=4种;4)有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可C4能。 3(插空法。 例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式, 6解 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选A6464出4个安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。 AA，A7674(映射法。 例4 如果从1，2，14中，按从小到大的顺序取出a,a,a使同时满足:a-a?3,a-a?3，1232132那么所有符合要求的不同取法有多少种, 解 设S=1,2,14，=1，2，10;T=(a,a,a)| a,a,a?S,a-a?3,a-a?S'1231232132''''''''''''T'3,=()?,若，令a,a,aS'|a,a,a,S',a,a,a(a,a,a),T'123123123123'''，则(a,a,a)?T,这样就建立了从到T的映射，它显然是单射，其次T'a,a,a,a，2,a,a，4123112233''''''若(a,a,a)?T,令，则，从而此映射也是满射，因此是一a,a,a,a,2,a,a,4(a,a,a),T'1231122331233一映射，所以|T|=120，所以不同取法有120种。 |T'|,C105(贡献法。 例5 已知集合A=1，2，3，10，求A的所有非空子集的元素个数之和。 99解 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有2个，所以a对x的贡献为2，9又|A|=10。所以x=10×2. k另解 A的k元子集共有个，k=1,2,10，因此，A的子集的元素个数之和为C109121001910×2。 C，2C，？，10C,10(C，C，？，C),1010109996(容斥原理。 例6 由数字1，2，3组成n位数(n?3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问:这样的n位数有多少个, n123解 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3，用A，A，A分别表示不含1，不含2，n不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则|A|=|A|=|A|=2，|AA|=|AA|=|AA|=1。:123122313|AAA|=0。 :1233n所以由容斥原理|AAA|=3×2-3.所以满足条件的n位:|A|,|A:A|，|A:A:A|123,iij123i,i,j1nn-|A数有|I|AA|=3-3×2+3个。 :1237(递推方法。 例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问:能构造出多少个这样的n位数, 解 设能构造a个符合要求的n位数，则a=3，由乘法原理知a=3×3-1=8.当n?3时:1)如n12果n位数的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2a;2)如果n位数的第一个数字是1，那么n-1第二位只能是2或3，这样的n位数有2a，所以a=2(a+a)(n?3).这里数列a的特征方程为n-2nn-1n-2n2nnx=2x+2，它的两根为x=1+,x=1-,故a=c(1+)+ c(1+),由a=3,a=8得333312n121223321，,n，2n，2,，所以a,(1，3),(1,3). c,c,12n2323438(算两次。 r0r1r,12r,2r0例8 m,n,r?N，证明: ? C,CC，CC，CC，？，CC.+n，mnmnmnmnmr证明 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种;另一方面，从这n+m人中选出k位C，nmkr,k太太与r-k位先生的方法有种，k=0,1,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有CCnm0r1r,1r0种。综合两个方面，即得?式。 CC，CC，？，CCnmnmnm9(母函数。 例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，10，另有大、小王各一张，k编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值:每张编号为k的牌计为2分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。 022解 对于n?1,2,2004,用a表示分值之和为n的牌组的数目，则a等于函数f(x)=(1+)xnn10110133n2222(1+)(1+)的展开式中x的系数(约定|x|<1)，由于f(x)= (1+)(1+)xxxx1，x1111101133 3222(1+)=。 x(1,x)(1,x)322(1,x)(1,x)(1，x)(1,x)111n?2004<2而0，所以a等于的展开式中x的系数， n22(1,x)(1,x)1112322k2k又由于=(1+x+x+x2k+)1+2x+3x+(2k+1)x+,所以x22221,x(1,x)(1,x)(1,x)2在展开式中的系数为a=1+3+5+(2k+1)=(k+1),k=1,2,从而，所求的“好牌”组的个数为2k2a=1003=1006009. 2004k10(组合数的性质。 Cnk例10 证明:是奇数(k?1). Cm2,1mmmmmm,k，,k(21)(22)？(211)21222tki证明 =令i=p(1?i?k)，2C,？im2,1,kk12？12tmtm,iimpp2,22,i2,kiip为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，因是整数，所以它只C,im2,1tiipp2ii能是若干奇数的积，即为奇数。 nnn例11 对n?2,证明: 2,C,4.2n22kk2k证明 1)当n=2时，2<=6<4;2)假设n=k时，有2<<4,当n=k+1时，因为CC24k2(k，1)!2，(2k，1)!2(2k，1)k1k，C,C. 2(k1)2k，(k，1)!(k，1)!(k，1)!,k!k，12(2k，1)k+1kk，1kk，1又<4，所以2<. 2,2C,C,4C,42k2(k，1)2kk，1所以结论对一切n?2成立。 11(二项式定理的应用。 n1,例12 若n?N, n?2，求证: 2,1，,3.,n,n1111,012nCCC？C证明 首先 1，,，,，,，,2,nnnn2nnnnn,n1n(n,1)(n,k，1)1111？1,k其次因为，所以 C,(k,2)1，,nkknk!k(k,1)k,1knn,k!,1111111112n2+得证。 C,，？，C,2，,，,，？，,3,3.nn2n1223n,1nnnnnm,hhm，1例13 证明: C,C,C(h,m,n).,n,kkn，1k,0n-km,h证明 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是(1+x)Cn,km-hkkn-kkhm,hh的展开式中x的系数。是(1+y)的展开式中y的系数。从而就是(1+x)(1+y)的展开CCCkkn,km-hh式中xy的系数。 nnnm-hh,mhhnkknkk于是，就是展开式中xy的系数。另一方面， C,C(1，x)(1，y)(1，x)(1，y),nkk,0,0,0kkkn，1n，1kkkkCx,Cy,kkn，1n，1n，1n，1n，1n，1x,y(1，x),(1，y)k-1k-2k-1kkkk,0k,0= =(x+xy+y)，上式,CxC,n，1n，1x,y(1，x),(1，y)x,yk,0k,0m-hhm，1中，xy项的系数恰为。 Cn，1nm,hhm，1所以C,C,C. ,n,kkn，1k,012(概率问题的解法。 例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问:恰好有k件是次品的概率是多少, n解 把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)(即所有的可能结果)。设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件kknk,Cabkn-kkn总数为ab，故所求的概率为p(A)= C.nna，b()例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 解 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为15-kkk22314(1-p)(k=0,1,2,5)，由题设，且0<p<1，化简得，所以恰好有CpCp(1,p),Cp(1,p)p,5553321240,33次正面朝上的概率为 C，,.,533343,例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问:在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大, 解 (1)如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜:A2:0(甲净胜二局)，A2:1211(前二局甲一胜一负，第三局甲胜). p(A)=0.6×0.6=0.36,p(A)=×0.6×0.4×0.6=0.288. C212因为A与A互斥，所以甲胜概率为p(A+A)=0.648. 12122(2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜:B3:0(甲净胜3局)，B3:1(前31局甲2胜1负，第四局甲胜)，B3:2(前四局各胜2局，第五局甲胜)。因为B，B，B互斥，所以3122322222甲胜概率为p(B+B+B)=p(B)+p(B)+p(B)=0.6+×0.6×0.4×0.6+×0.6×0.4×CC123123340.6=0.68256. 由(1)，(2)可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2;B袋中有例17 7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求:(1)取出3张卡片都写0的概率;(2)取出的3张卡片数字之积是4的概率;(3)取出的3张卡片数字之积的数学期望。 1211112C,C，C,C,CC,C412231214解(1);(2);(3)记为取出的3张卡片的数p,p,12122163C,CC,C6767字之积，则的分布为 0 2 4 8 37124 p 424263633724132所以 E,0，2，4，8，,.4263634263三、基础训练题 1(三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_个。 2(在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_。 3(用1，2，3，9这九个数字可组成_个数字不重复且8和9不相邻的七位数。 4(10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_种分组方法。 5(以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_。 10006(今天是星期二，再过10天是星期_。 10037(由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_项。 (3x，2)8(如果凸n边形(n?4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_个交点。 9(袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球(不放回)，第k(1?k?a+b)次取到黑球的概率为_。 10(一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_。 11(某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_。 12(马路上有编号为1，2，3，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_。 13(a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_种安排方式。 nmiiii14(已知i,m,n是正整数，且1<i?m?n。证明:(1);(2)(1+m)>(1+n). nA,mAmn15.一项“过关游戏”规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大n于2，则算过关。问:(1)某人在这项游戏中最多能过几关,(2)他连过前三关的概率是多少,(注:骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体) 条件概率练习题 姓名 311(已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=( ) 1051323A( B. C( D. 223502(由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=( ) 1111A. B. C. D. 23484213(某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，151510说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：刮风的概率为( ) >0 <=> 抛物线与x轴有2个交点；1383A. B. C. D. 2842254(设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 . 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。,(一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则 tan1(1)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率, 8、加强作业指导、抓质量。(2)先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率, 31,(某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6000小时42未坏，求它能用到10000小时的概率 1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。7(某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表 4.二次函数的应用： 几何方面(1)求这个代表恰好在第一小组内的概率 (2)求这个代表恰好是团员代表的概率 (3)求这个代表恰好是第一小组内团员的概率 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。(4)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率 定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;8(市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70,，乙厂占30,，甲厂产品合格率是95,，乙厂合格率是80,，则(1)市场上灯泡的合格率是多少, (2)市场上合格品中甲厂占百分之几,(保留两位有效数字) 抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。9(一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率,(每个小孩是男孩和女孩的概率相等) 10(在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少,