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初高中数学衔接知识教学教案(代数部分)初高中数学衔接知识教学教案(代数部分) 法门高中 姚连省 1.1 数与式的运算 第一课时 1.,.1(绝对值 一、教学目标 1、借助数轴，理解绝对值的意义。 2、给出一个数，能求出它的绝对值。 3、会求用字母表示的数的绝对值，学会分段讨论。 二、重难点:重点:掌握绝对值的几何意义。 难点:学会分段讨论。 三、教学方法:探析交流，讲练结合 四、教学过程 (一)、基础知识复习: 1、绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零(即 aa,0, |0,0,aa,aa,0.,2、绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离( a,b3、两个数的差的绝对值的几何意义:表示在数轴上，数和数b之间的距离( a4、回顾完成填空: 绝对值 |a,1绝对值的代数意义: (即 ( 2绝对值的几何意义: 的距离( ab,3两个数的差的绝对值的几何意义:表示 的距离( |(0)xaa,4两个绝对值不等式:;|(0)xaa,( (二)、例题探析 xx,，,13例:解不等式:,4( x,1,0x,1x,30x,3解法一:由，得;由，得; ,(1)(3)4xxx,1,，24x?若，不等式可变为，即,4，解得x,0， 又x,1，?x,0; (1)(3)4xx,12,x?若，不等式可变为，即1,4， 1 ?不存在满足条件的x; (1)(3)4xx,，,?若，不等式可变为，即,4， 解得x,4( x,324x,又x?3，?x,4(综上所述，原不等式的解为x,0，或x,4( |x,3| x,1解法二:如图1(1,1，表示x轴上坐标为x的点PC A P D B 到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|,|x,1|;|xx x 1 3 4 0 ,3|表示x轴上点P到坐标为2的点 |x,1| 图1(1,1 B之间的距离|PB|，即|PB|,|x,3|( 所以，不等式xx,，,13,4的几何意义即为 |PA|，|PB|,4( 由|AB|,2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧(x,0，或x,4( 42(1),xx,yxxy,，,13,4解法三:令，则， yxx133),，,2(1x,121,24(3)xx,(讲此解法时先介绍分段函数的概念) y 0 1 3 x o x ?x,0，或x,4( (三)、练 习 1(填空: x,5x,4(1)若，则x=_;若，则x=_. a，b,51,c,2a,1(2)如果，且，则b,_;若，则c,_. cc,13或x,5x,4b,4【答案:(1);。(2);】 2(选择题: 下列叙述正确的是 ( D ) ab,ab,ab,ab,(A)若，则 (B)若，则 ab,ab,ab,ab,(C)若，则 (D)若，则 2 3(化简:|x,5|,|2x,13|(x,5)( 1313解析:当时，原式=;当时，原式=。 318x,8,xx,5,x22(四)、小结:1、借助数轴，理解绝对值的意义。2、给出一个数，能求出它的绝对值。3、会求用字母表示的数的绝对值，学会分段讨论。其中重点是掌握绝对值的几何意义。难点是学会分段讨论。 (五)、作业布置:习题1(1 A 组 解不等式: (1) x,13; (2) xx，,327 ; (3) xx,，,116( (1)或 (2),4,x,3 (3)x,3，或x,3 x,4x,2五、教学反思: 3 第二课时 1.1.2. 乘法公式 一、教学目标:使学生理解和掌握立方和与立方差公式，三数和平方公式和两数和立方公式两数差立方公式 并能运用公式进行有关计算。 二、重难点:重点:掌握平方差公式的特点，牢记公式。 难点:具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。 三、教学方法:探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、公式复习、理解记忆 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: 22(1)平方差公式 ; ()()ababab，,222(2)完全平方公式 ( ()2abaabb,，我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2233(1)立方和公式 ; ()()abaabbab，,，,，2233(2)立方差公式 ; ()()abaabbab,，,2222(3)三数和平方公式 ; ()2()abcabcabbcac，,，33223(4)两数和立方公式 ; ()33abaababb，,，33223(5)两数差立方公式 ( ()33abaababb,，,对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明( (二)例题探析: 22例1 计算:( (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,，2222，(1)(1)xxx,，,解法一:原式= ，242 = (1)(1)xxx,，6x,1 =( 22解法二:原式= (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,，,，33 = (1)(1)xx，,6x,1 =( 222abc，abc，,4abbcac，,4例2 已知，求的值( 2222解: ( abcabcabbcac，,，,，,()2()8(三)、练习 1(填空: 4 111122 (1)( ); abba,，()942322(4m，) (2) ; )164(,，mm2222) (3 ) ( (2)4(abcabc，,，2(选择题: 12(1)若是一个完全平方式，则等于 ( ) kxmxk，21112222m(A) (B) (C) (D) mmm341622abab，,，248(2)不论，为何实数，的值 ( ) ba(A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数 1111【答案:1(1) (2) (3) 2(1)D (2)A】 424abacbc,ab,243236393、计算:(1)(x-1)(x+x+1)(x+1); 22(2)(x，1)(x-1)(x，x+1)(x-x+1); 2222(3)(x+2y) (x-2xy，4y)。 9918解:(1)原式=(x-1)(x+1)=x-1; 222222242(2)原式=(x，1)(x-1)(x+1)+x(x+1)-x,(x-1)(x+1)-x=(x-1)(x+x+1) 6=x-1; 2233或原式=(x+1)(x-x+1)(x-1)(x+x+1)交换律、结合律)=(x+1)(x-1) 6(立方和与立方差公式),x-1;(平方差公式) 2223328336(3)原式=(x+2y)(x-2xy+4y)指数运算律(二)=(x，8y)(立方和公式)=x，16xy+64y (完全平方公式) (四)、课堂小结 1、本节课你学到了什么,是否还有不明白的地方, 2、注意:一定要记住公式的特点。 3、(1)立方和与立方差公式的推导，是由同学们自己完成的，必须掌握; 5 (2)立方和与立方差公式的特征要牢牢记住，解题时，一定要仔细观察有关因式的特征，不可粗心大意。 (五)、作业布置:习题1.1A 组 33xy，,1,(已知，求的值(【答案:1】 xyxy，31819填空:(1),_;【答案:】 (23)(23)，,23,2补充题:计算:(1)(3+2y)(9-6y，4y); 2(3)(2x+1)(4x，2x，1) 333(1)解:原式=3，(2y),27，8y; 32232(3)解:原式=8x，4x，4x，2x，2x+1=8x+8x，4x+1 五、教后反思: 6 第三课时 1.1.3(二次根式 一、教学目标:1(使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式;2(会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。 最简二次根式的定义。 二、教学重点:教学难点:一个二次根式化成最简二次根式的方法。 三、教学方法:探析归纳，讲练结合 (一)、二次根式的概念与运算:一般地，形如的代数式叫做二次根式(根号下含有字aa(0),222母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而32aabb，ab，2222221xx，等是有理式( axxyy，221(分母(子)有理化:把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化(为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，3aa36，36,22与，等等( 一般地，与，axby，与axby,，2332,2332，axxaxb，与互为有理化因式( axb,分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有ababab,(0,0)理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式( aa,0,222(二次根式的意义 aaa,aa,0.,(二)、例题探究: 624(0)xyx,aba(0),例1、将下列式子化为最简二次根式:(1); (2); (3)( 12b2解: (1);(2); 1223bb,abababa,(0)633(3)422(0)xyxyxyx,( 例2 计算:3(33),( 333，3(31)，31，33(33),，解法一: 3(33),( 93,2633,(33)(33),，7 31，3331，解法二: ,( 3(33),233,3(31),(31)(31),，例3 试比较下列各组数的大小: 2(1)和; (2)和. 1110,226,1211,64，1211(1211)(1211)1,，解: (1)?， 1211,112111211，1110(1110)(1110)1,， ， 1110,111101110，又，?,( 12111110，,，1110,1211,226(226)(226)2,+(2)?又 4,22， 226,1226226+2 ?6，4,6，22，?,. 226,64，20042005例4 化简:( (32)(32)，,4解:, (32)(32)，,(32)(32)(32)，,20042004，,(32)(32)(32)，,( 1(32),32,，12xx，,2(01)945,例 5 化简:(1); (2)( 2x222,，5454解:(1)原式( ,52,，(5)2252,(25),2511112()x,x (2)原式=，?01,x，?，所以，原式,( ,1x,xxxxx3232,，22例 6 已知，求的值 ( 353xxyy,，xy,3232，,3232,，22解: ?， xy，,，,，,(32)(32)103232，,3232,，2222，?( 3533()1131011289xxyyxyxy,，,，,，,xy,13232，,(三)、练习 13,1(填空:(1),_ _; 13，8 2(5)(3)(3)5,xxxx(2)若，则的取值范围是_ _ _; x(3)_ _; 4246543962150,，,5xxxx，,，,1111x,(4)若，则_ _( ，,2xxxx，,，,1111xx2(选择题:等式成立的条件是 ( ) ,x,2x,2(B) (C) (D) (A)x,2x,0x,202,x22aa,，,11b,3(若，求的值( ab，a，14(比较大小:2,3 5,4(填“,”，或“,”)( 【答案:1(1) (2) (3) (4)(2(C 3(1 4(,】 35,x32,865(四)、小结:本节课学习了最简二次根式的定义及化简二次根式的方法。同学们掌握用最简二次根式的定义判断一个根式是否为最简二次根式，要根据积的算术平方根和商的算术平方根的性质把一个根式化成最简二次根式，特别注意当被开方数为多项式时要进行因式分解，被开方数为两个分数的和则要先通分，再化简。 (五)、作业布置:习题1(1A 组 3(填空: 22(1)(1)2,，,aa(2)若，则的取值范围是_;【答案:-1,1】 a11111，,(3)_(【答案:】 61,1223344556，y11xB 组2(已知:，求的值(【答案:5】 xy,23xyxy,，C 组1(选择题: ,ababba2(1)若，则 ( ) ab,ab,ab,0ba,0(A) (B) (C) (D) 1a,(2)计算等于 ( ) a(A) (B) (C) (D) ,aa,a,a五、教后反思: 9 第四课时 1.1.,(分式 一、教学目标:(1)了解分式的意义及分式的基本性质;(2)会利用分式的基本性质进行约分和通分;(3)会进行简单的分式加、减、乘、除运算;(4)会解可化为一元一次方程的分式方程;(5)能够根据具体问题中的数量关系，用可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题。 二、重难点:重点:分式的有关概念与运算法则。 难点:分式的基本性质的应用与分式变形技巧。 三、教学方法:探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)分式的意义、基本性质、运算 1(分式的意义 AAA形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式(当M?0时，分式具有下列性质:B,0BBBAAM，AAM,; (上述性质被称为分式的基本性质( ,BBM,BBM，2(繁分式 amnp，b像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式( 2mcd，np，、理解和掌握 3(1)(分式的约分;(2)(分式的通分;(3)(分式的乘除;(4)(分式的混合运算;(5)(零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算。 1p,0a)零指数 ，b)负整数指数 ，c)注意正整数幂的运a,1(a,0)a,(a,0,p为正整数).pamnmn，a,a,a,mnmn,算性质 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整a,a,a(a,0),mnmn(a),a,nnn(ab),ab数( (二)、例题探析 54xAB，AB,，例1 若，求常数的值( xxxx(2)2，AB，,5,ABAxBxABxAx(2)()254，,，,解: ?，? ,xxxxxxxx，2(2)(2)(2)24,A,AB,2,3 解得 ( 10 111111例2 (1)试证:,(其中n是正整数);(2)计算:; ，nnnn(1)1，1223910，1111(3)证明:对任意大于1的正整数n， 有，,( 2334(1)2，nn11(1)1nn，,111,(1)证明:?,， ?(其中n是正整数)成nnnn(1)1，nnnnnn，1(1)(1)立( 1111111119(2)解:由(1)可知,( ,1，,，,，,(1)()()10101223910，22391011111111111，(3)证明:?,， ,()()(),，,，,2334(1)，nn21n，23341nn，11111，又n?2，且n是正整数，?, ( 一定为正数，?n，122334(1)，nnc22例3 设，且e,1，2c,5ac，2a,0，求e的值( e,a12222解:在2,5，2,0两边同除以，得2,5，2,0，?(21)(,2),0，?, ,1，cacaaeee,ee2舍去;或e,2( ?e,2( (三)、练习 1111,1(填空题:对任意的正整数n， ();【答案:】 ,nn(2)，2nn，222xy,x,2(选择题:若，则,( )【答案:B】 yxy，3546 (A), (B) (C) (D) 455xy,223(正数xy,满足，求的值(【答案:】 xyxy,2525,xy，1111994(计算(【答案:】 ，.10012233499100，(四)、小结:(1)、会利用分式的基本性质进行约分和通分;(3)会进行简单的分式加、减、乘、除运算;(4)会解可化为一元一次方程的分式方程;(5)能够根据具体问题中的数量关系，用可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题。 (五)、作业布置:1.1C组2、3、4 五、教后反思: 11 第五课时 1(2 分解因式 一、教学目标:理解和掌握因式分解的主要方法，并能在具体问题中熟练应用。 二、重难点:理解和掌握因式分解的主要方法。 三、教学方法:讲练结合，以练为主。 (一)、因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法( (二)、分类例题探析: 1(十字相乘法 22例1 分解因式:(1)x,3x，2; (2)x，4x,12; 22xyxy,，,1(3); (4)( xabxyaby,，()2 解:(1)如图1(2,1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成,1与,2的2乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为,3x，就是x,3x，2中的一次项，所以，有 2,3，2,(,1)(,2)(xxxx 1 x x 1 ,2 ,1 ,ay ,1 x 1 x ,2 1 6 ,by ,2 图1(2,3 图1(2,1 图1(2,4 图1(2,2 说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1(2,1中的两个x用1来表示(如图1(2,2所示)( 2(2)由图1(2,3，得x，4x,12,(x,2)(x，6)( (3)由图1(2,4，得 22x ,1 ()()xayxby, xabxyaby,，()y 1 xyxy,，,1(4),xy，(x,y),1 图1(2,5 ,(x,1) (y+1) (如图1(2,5所示)( 2(提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式: 3222xxx，933(1); (2)( 2456xxyyxy，,，,323222xxx，933解: (1)=( xxx(3)3(3)，(3)(3)xx，(3)(39)xxx，3232333xxx，933或, (331)8xxx，(1)8x，(1)2x，222,( (1)2(1)(1)22xxx，,，(3)(3)xx，12 2222(2)= 2456xxyyxy，,，,2(4)56xyxyy，,，,2(22)(3)xyxy,，,=(或 =2(4)(2)(3)xyxyy，,2222(2)()(45)6xyxyxy,，,= 2456xxyyxy，,，,(2)(45)6xxyyxy，,(22)(3)xyxy,，,=( 23(关于x的二次三项式ax+bx+c(a?0)的因式分解( 22若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式axbxca，,0(0)xxaxbxca，,(0)12就可分解为. axxxx()(),12例3 把下列关于x的二次多项式分解因式: 222xx，,21(1); (2)( xxyy，,442xx，,21x,，12x,12解: (1)令=0，则解得， 122，xx，,21 ?=( (12)(12)xx，,，xx,，,(12)(12)，22(2)令xy,，(222)xy,(222)=0，则解得， xxyy，,441122?=( 2(12)2(12)xyxy，,，xxyy，,44(三)、练习 221(选择题:多项式的一个因式为 ( )【答案:B】 215xxyy,25xy,xy,3xy，3xy,5(A) (B) (C) (D) 2(分解因式: 233(1)x，6x，8; (2)8a,b; 24(1)(2)xyyyx,，,(3)x,2x,1; (4)( (四)、小结:因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法(重点是十字相乘法、分组分解法。 (五)、作业布置:习题1(2 1(分解因式: 342a，14139xx,， (1) ; (2); 2222bcabacbc，222(3); (4)( 35294xxyyxy，,，,2(在实数范围内因式分解: 13 22xx,，53(1) ; (2); xx,22322222(3); (4)( 34xxyy，,(2)7(2)12xxxx,，222abcabbcca，,，(三边，满足，试判定的形状( 课外练习题:3,ABC,ABCbac224(分解因式:，,(,)( xxaa2aaa，,，11【答案:1(1) (2) 232311xxxx，,，,，(3)bcbca，2 (4)3421yyxy,，, ，,513513，,2(1)xx,; (2); xx,，2525,，,22,2727,，xxxx,，,，3(1)(15)(15) (3)3xyxy，; (4)( ，,33,3(等边三角形 (1)()xaxa,，4(】 五、教后反思: 14 第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 第六课时 2.1.1根的判别式 一、教学目标:(1)知识能力目标:通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式。在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况;根据根的情况，探求所需的条件。(2)情感目标:学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力，通过观察、分析、感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。 二、教学重点:(1)发现根的判别式。(2)用根的判别式解决实际问题。 教学难点:根的判别式的发现 三、教法:启导、探究。学法:合作学习与探究学习。教学模式:引导发现式 、教学过程 四(一)、一元二次方程的求根公式和判别式: 2我们知道，对于一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)，用配方法可以将其变形为 2bbac,42 ()x，,( ? 224aa2因为a?0，所以，4a,0(于是 2(1)当b,4ac,0时，方程?的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 2,bbac4 x,; 1，22ab2(2)当b,4ac,0时，方程?的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x,x,; 122ab22(3)当b,4ac,0时，方程?的右端是一个负数，而方程?的左边一定大于或等于零，()x，2a因此，原方程没有实数根( 222由此可知，一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)的根的情况可以由b,4ac来判定，我们把b,4ac2叫做一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)的根的判别式，通常用符号“”来表示( 2综上所述，对于一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)，有 2,bbac4(1) 当,0时，方程有两个不相等的实数根x,; 1，22ab(2)当,0时，方程有两个相等的实数根 x,x,; 122a(3)当,0时，方程没有实数根( (二)、例题探析: 15 例1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根( 22(1)x,3x，3,0; (2)x,ax,1,0; 22(3) x,ax，(a,1),0; (4)x,2x，a,0( 2解:(1)?,3,4×1×3,3,0，?方程没有实数根( 22(2)该方程的根的判别式,a,4×1×(,1),a，4,0，所以方程一定有两个不等的实数根 22aa，4aa,，4x,x,， ( 2122222(3)由于该方程的根的判别式为,a,4×1×(a,1),a,4a，4,(a,2)， 所以，?当a,2时，,0，所以方程有两个相等的实数根x,x,1; 12?当a?2时，,0， 所以方程有两个不相等的实数根x,1，x,a,1( 122(3)由于该方程的根的判别式为,2,4×1×a,4,4a,4(1,a)， 所以?当,0，即4(1,a) ,0，即a,1时，方程有两个不相等的实数根 xa,，,11xa,11 ， ; 12?当,0，即a,1时，方程有两个相等的实数根 x,x,1; 12?当,0，即a,1时，方程没有实数根( 说明:在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论(分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题( (三)、练习:1、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。 22xx,60bac,4(1) =_ =_ =_ xx1222xx,21bac,4(2) =_ =_ =_ xx1222xx,，,220bac,4(3) =_ =_ =_ xx1222、当m取什么值时，关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根,并求xmxm,，,(2)20出方程的根。 2m3、证明不论m取什么值时，关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=,都有两个不相等的实根。 (四)、小结:(1)今天我们学习了根的判别式及其的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。 (2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别:一般当已知?值的符号时，使用定理;当已知方程根的情况时，使用逆定理。 判别式的情况 根 的 情 况 定 理 与 逆 定 理 ?,0 ?,0 ?,0 (五)、作业:习题2.1A 组 21(选择题:(1)已知关于x的方程x，kx,2,0的一个根是1，则它的另一个根是( C ) (A),3 (B)3 (C),2 (D)2 22(3)关于x的一元二次方程ax,5x，a，a,0的一个根是0，则a的值是( B ) 16 (A)0 (B)1 (C),1 (D)0，或,1 222(试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程mx,(2m，1) x，1,0有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根, 3、已知关于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式是9，求m的值及方程的根 五、教学反思: 17 第七课时 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 一、教学目标:1(掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数;2(通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和(通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物推理论证的能力;3的规律。 二、重难点:1(教学重点:根与系数的关系及其推导。2(教学难点:正确理解根与系数的关系。 三、教学方法:启导、探究 四、教学过程 (一)、探究根与系数关系 2一元二次方程若一元二次方程，,0(?0)有两个实数根 axbxca22,，,bbac4,bbac4x,x, ， 122a2a则有 22,，,bbacbbacbb442xx，,，, ; 12222aaaa2222,，,bbacbbacbbacacc44(4)4xx, ( 12222244aaaaa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: bc2如果ax，bx，c,0(a?0)的两根分别是x，x，那么x，x,，x?x,(这一关系也被,121212aa称为韦达定理( 2特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x，px，q,0，若x，x是其两根，由韦达定理可知 12x，x,p，x?x,q，即 p,(x，x)，q,x?x， 12121212222所以，方程x，px，q,0可化为 x,(x，x)x，x?x,0，由于x，x是一元二次方程x，px，q1212122,0的两根，所以，x，x也是一元二次方程x,(x，x)x，x?x,0(因此有 1212122以两个数x，x为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x,(x，x)x，x?x,0( 121212(二)、例题探析: 2560xkx，,例1 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值( k分析:由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根(但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值( 2解法一:?2是方程的一个根，?5×2，k×2,6,0，?k,7( 18 332所以，方程就为5x,7x,6,0，解得x,2，x,(所以，方程的另一个根为,，k的值为1255,7( 633k解法二:设方程的另一个根为x，则 2x,，?x,(由 (,)，2,，得 k11155553,7(所以，方程的另一个根为,，k的值为,7( 522例2 已知关于x的方程x，2(m,2)x，m，4,0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求的值( m分析: 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于的方程，从而m解得的值(但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式m应大于零( 2解:设x，x是方程的两根，由韦达定理，得 x，x,2(m,2)，x?x,m，4( 12121222222?x，x,x?x,21，?(x，x),3 x?x,21即 ,2(m,2),3(m，4),21， 121212122化简，得 m,16m,17,0， 解得 m,1，或m,17( 2当m,1时，方程为x，6x，5,0，,0，满足题意; 22当m,17时，方程为x，30x，293,0，,30,4×1×293,0，不合题意，舍去( 综上，m,17( 说明:(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可( (2)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零(因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根( 例3 已知两个数的和为4，积为,12，求这两个数( 分析:我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数(也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解( 解法一:设这两个数分别是x，y，则 x，y,4， ? xy,12( ? 由?，得 y,4,x， 代入?，得x(4,x),12， x,2,x,6,122即 x,4x,12,0，?x,2，x,6( ? 或 12,y,2.y,6,2,1,因此，这两个数是,2和6( 2解法二:由韦达定理可知，这两个数是方程x,4x,12,0的两个根( 解这个方程，得 x,2，x,6(所以，这两个数是,2和6( 12说明:从上面的两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷( 2例4 若x和x分别是一元二次方程2x，5x,3,0的两根( 1219 1133(1)求| x,x|的值; (2)求的值;(3)x，x( ，121222xx12532解:?x和x分别是一元二次方程2x，5x,3,0的两根，?，( xx,xx，,1212122253254922222(1)?| x,x|,x+ x,2 xx,(x，x),4 xx,，6,， ()4(),，,121212121244227 ?| x,x|,( 12253252()2()3,，,，2221137xxxxxx，,()2121212224(2)( ，,2222239xxxxxx,()92121212(),2423322(3)x，x,(x，x)( x,xx，x),(x，x) ( x，x),3xx 121211221212125532152 ,(,)×(,),3×(),( ,2228说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律: 2,，,bbac42x,设x和x分别是一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)，则，1212a2,bbac4x,， 22a2222bac,4,，,bbacbbacbac4424?| x,x|,( ,12|aa222aaa,2于是有下面的结论:若x和x分别是一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)，则| x,x|,(其1212|a2中,b,4ac)( 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论( 2例5 若关于x的一元二次方程x,x，a,4,0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围( 解:设x，x是方程的两根，则 xx,a,4,0， ? 1212172 且,(,1),4(a,4),0( ?由?得 a,4，由?得 a, ( 4?a的取值范围是a,4( (三)、练习 221(选择题:(1)方程的根的情况是 ( ) xkxk,，,233020 (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 2(2)若关于x的方程mx， (2m，1)x，m,0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 1111( )(A)m, (B)m, (C)m,，且m?0 (D)m,，且m?0 44442(填空: 112(1)若方程x,3x,1,0的两根分别是x和x，则，, ( 12xx122(2)方程，,2,0(?0)的根的情况是 ( mxxmm(3)以,3和1为根的一元二次方程是