1、专题八 数学思想方法第 2讲 数形结合思想思 想 方 法 概 述热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题思想方法概述1.数数形形结结合合的的数数学学思思想想：包包含含“以以形形助助数数”和和“以以数数辅辅形形”两两个个方方面面，其其应应用用大大致致可可以以分分为为两两种种情情形形：一一是是借借助助形形的的生生动动性性和和直直观观性性来来阐阐明明数数之之间间的的联联系系，即即以以形形作作为为手手段段，数数作作为为目目的的，比比如如应应用用函函数数的的图图象象来来直直观观地地说说明明函函数数的的性性质质；二二是是借借助助于于数数的的精精确确性性和和规规范范严严密密性性来来阐阐明明形形的的某某些些属
2、属性性，即即以以数数作作为为手手段段，形形作作为为目目的的，如如应应用用曲曲线线的的方方程程来精确地阐明曲线的几何性质来精确地阐明曲线的几何性质.2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等等价价性性原原则则.在在数数形形结结合合时时，代代数数性性质质和和几几何何性性质质的的转转换换必必须须是是等等价价的的，否否则则解解题题将将会会出出现现漏漏洞洞.有有时时，由由于于图图形形的的局局限限性性，不不能能完完整整的的表表现现数数的的一一般般性性，这这时时图图形形的的性性质质只只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应能是一种直
3、观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应.(2)双双方方性性原原则则.既既要要进进行行几几何何直直观观分分析析，又又要要进进行行相相应应的的代代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错.(3)简简单单性性原原则则.不不要要为为了了“数数形形结结合合”而而数数形形结结合合.具具体体运运用用时时，一一要要考考虑虑是是否否可可行行和和是是否否有有利利；二二要要选选择择好好突突破破口口，恰恰当当设设参参、用用参参、建建立立关关系系、做做好好转转化化；三三要要挖挖掘掘隐隐含含条条件件，准准确确界界定定参参变变量量的的取取值值范范围围，特特别别是是运运用用函函
4、数数图图象象时时应应设设法法选选择择动动直直线线与与定二次曲线定二次曲线.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.(3)构构建建函函数数模模型型并并结结合合其其图图象象研研究究量量与与量量之之间间的的大大小关系小关系.(4)构构建建函函数数模模型型并并结结合合其其几几何何意意义义研研究究函函数数的的最最值值问题和证明不等式问题和证明不等式.(5)构建立体几何模型研究代数问题构建立体几何
5、模型研究代数问题.(6)构构建建解解析析几几何何中中的的斜斜率率、截截距距、距距离离等等模模型型研研究究最值问题最值问题.(7)构建方程模型，求根的个数构建方程模型，求根的个数.(8)研究图形的形状、位置关系、性质等研究图形的形状、位置关系、性质等.4.数数形形结结合合思思想想是是解解答答高高考考数数学学试试题题的的一一种种常常用用方方法法与与技技巧巧，特特别别是是在在解解选选择择题题、填填空空题题时时发发挥挥着着奇奇特特功功效效，这这就就要要求求我我们们在在平平时时学学习习中中加加强强这这方方面面的的训训练练，以以提提高高解解题题能能力力和和速速度度.具具体体操操作作时时，应应注注意以下几点
6、意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域准确画出函数图象，注意函数的定义域.(2)用用图图象象法法讨讨论论方方程程(特特别别是是含含参参数数的的方方程程)的的解解的的个个数数是是一一种种行行之之有有效效的的方方法法，值值得得注注意意的的是是首首先先要要把把方方程程两两边边的的代代数数式式看看作作是是两两个个函函数数的的表表达达式式(有有时时可可能能先先作作适适当当调调整整，以以便便于于作作图图)，然然后后作作出出两两个函数的图象，由图求解个函数的图象，由图求解.热点一 利用数形结合思想讨论方程的根热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围热点三 利用数形结合思想解最值问题热点分
7、类突破热点一 利用数形结合思想讨论方程的根解析先作出函数先作出函数f(x)|x2|1的图象的图象，如如图所示，图所示，当直线当直线g(x)kx与直线与直线AB平行时斜率为平行时斜率为1，当直线当直线g(x)kx过过A点时斜率点时斜率为为 ，故故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，有两个不相等的实根时，k的范围为的范围为(，1).答案B用用函函数数的的图图象象讨讨论论方方程程(特特别别是是含含参参数数的的指指数数、对对数数、根根式式、三三角角等等复复杂杂方方程程)的的解解的的个个数数是是一一种种重重要要的的思思想想方方法法，其其基基本本思思想想是是先先把把方方程程两两边边的的代代数数式式看看作
8、作是是两两个个熟熟悉悉函函数数的的表表达达式式(不不熟熟悉悉时时，需需要要作作适适当当变变形形转转化化为为两两个个熟熟悉悉的的函函数数)，然然后后在在同同一一坐坐标标系系中中作作出出两两个个函函数数的的图图象象，图图象象的交点个数即为方程解的个数的交点个数即为方程解的个数.思维升华变式训练1解析由由f(4)f(0)，f(2)2，解得解得b4，c2，f(x)作出函数作出函数yf(x)及及yx的函数的函数图象图象如如图所示图所示，由图可得交点有由图可得交点有3个个.答案C例2(1)已已知知奇奇函函数数f(x)的的定定义义域域是是x|x0，xR，且且在在(0，)上上单单调调递递增增，若若f(1)0，
9、则则满满足足xf(x)0的的x的取值范围是的取值范围是_.热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围由图可知由图可知xf(x)0时，只需在时，只需在x0时时，ln(x1)ax成立成立.比较对数函数与一次函数比较对数函数与一次函数yax的增长速度的增长速度.显然不存在显然不存在a0使使ln(x1)ax在在x0上恒成立上恒成立.12真题感悟34当当a0时，只需在时，只需在x0，且且x1x2a32，x1x2a1，联立可得，联立可得0a0，且且x3x4a32，x3x4a1，联立可得，联立可得a9，综上知，综上知，0a9.答案(0,1)(9，)押题精练1231.方程方程|x22x|a21(a0)的解的
10、个数是的解的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4456解析(数形结合法数形结合法)a0，a211.y|x22x|的图象与的图象与ya21的图象总有两个交点的图象总有两个交点.而而y|x22x|的图象如图的图象如图，B2.不不等等式式|x3|x1|a23a对对任任意意实实数数x恒恒成成立立，则实数则实数a的取值范围为的取值范围为()A.(，14，)B.(，25，)C.1,2D.(，12，)押题精练123456押题精练123456画出函数画出函数f(x)的图象，如图的图象，如图，可以看出函数可以看出函数f(x)的最大值为的最大值为4，故只要故只要a23a4即可，即可，解得解得a1或或a4.正确
11、选项为正确选项为A.答案A3.经经过过P(0，1)作作直直线线l，若若直直线线l与与连连接接A(1，2)，B(2,1)的的线线段段总总有有公公共共点点，则则直直线线l的的斜斜率率k和和倾倾斜角斜角的取值范围分别为的取值范围分别为_，_.押题精练123456解析如图所示，结合图形：为使如图所示，结合图形：为使l与与线段线段AB总有公共点总有公共点，则则kPAkkPB，而，而kPB0，kPA0，押题精练123456故故k0时时，为锐角为锐角.押题精练123456押题精练123456押题精练123456解析由由题题意意知知原原点点O到到直直线线xy20的的距距离离为为|OM|的最小值的最小值.押题精
12、练123456押题精练1234566.设设函函数数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在，已知它们在x1处的切线互相平行处的切线互相平行.(1)求求b的值；的值；押题精练123456解函数函数g(x)bx2ln x的定义域为的定义域为(0，)，f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bx g(1)2b1，依题意得依题意得2b10，所以，所以b .押题精练123456押题精练123456即即g(x)在在(1，)上单调递增上单调递增，当当a0时，方程时，方程F(x)a2不可能有四个解；不可能有四个解；当当a0，x(，1)时，时，f(x)0，即即f(x)在在(1,0)上单调递增，上单调递增，所以当所以当x1时，时，f(x)取得极小值取得极小值f(1)2a，押题精练123456又又f(0)0，所以，所以F(x)的图象如图的图象如图(1)所示，所示，从图象可以看出从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解不可能有四个解.当当a0，x(，1)时，时，f(x)0，即即f(x)在在(，1)上单调递增上单调递增，x(1,0)时，时，f(x)0，即即f(x)在在(1,0)上单调递减，上单调递减，所以当所以当x1时，时，f(x)取得极大值取得极大值f(1)2a.押题精练123456又又f(0)0，所以，所以F(x)的图象如图的图象如图(2)所示所示，
