最新届高考数学考前回归基础训练题——函数优秀名师资料.doc

2012届高考数学考前回归基础训练题函数2012届高考数学考前回归基础训练题函数 1. 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率x(0,x,1)2为x.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y与x的函数关系式; (2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 2. 北京某公司生产精品陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，x每生产一件产品，成本增加210元(已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为 f(x)1,2xx,0,400,625xfx (),，每件产品的售价与产量之间的关系式为 g(x),x256,400,5,x，750,0,x,400,8g(x),( ,500,x,400,x(?)写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式; Q(x)(?)若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润( 3. 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，xy,a,b，cabc,模拟函数可选用二次函数或(为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问:用以上那个函数作模拟函数较好,说明理由。 I4. 设是定义在区间(-?,+?)上以2为周期的函数,对,用表示区间fx()kZ,k2fxx(),xI,已知当时，. 21,21kk,，,0I(1)求在上的解析表达式; fx()k(2)对大于零的自然数,求集合. kMafxaxI,使方程在上有不相等的根(),kk25. 某村计划建造一个室内面积为800m的矩形蔬菜温室(在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地(当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是多少, 6. 某家庭用14.4万购买一辆汽车，使用中维修费用逐年上升。第n年维修的费用为0.2n万元，每年其他的费用为0.9万元。报废损失最小指的是购车费，维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在多少年后报废损失最小, 7. 已知定义在 0,0,，上的函数，对任意的实数都有，,，fxxyfxyfxfy，成立，且当x>1时， fx,0，(1)求f (1)的值 (2)证明:f (x)在. 0，是增函数，,，28. 设，若求证:fxaxbxcaabcff,，,，,3200,010,，b(1) ; (2) ; ,21方程有实数根fx,0，a33设，是方程的两个实数根，则xxfxxx,0(3). ，121232f(x),|2x,1|，|2x，1|9. 已知函数 (?)判断f(x)的奇偶性; (?)画出y,f(x)的图象; f(x)(?)根据图象填空:?的最小值= f(x),3,x?不等式的解集为 ax，110. 已知f(x),(a为常数) x，2若a,1,证明:f(x)在(,2，,)上为单调递增函数;(?) 3当x,(,1,2)时，f(x)的值域为(,3)，求a值。(?) 411. 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在半圆周上。 (?)建立这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并注明定义域; (?)求梯形周长的最大值。 D C B A O 112. 已知函数的图象与函数的图象关于点A(0，1)对称。 y,f(x)h(x),x，2x(?)求f(x)的解析式; (?)若g(x),f(x),x，ax，且g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数a的取值范围; logf(x),1，logx.(?)当时，证明:,x,1,，,)恒有 m,2mm213. 已知二次函数. fxaxbxc,，(1)若，试判断函数零点个数; fxf,10，1xxR,xx,(2) 若对且，证明方程fxfx,fxfxfx,，12121212，2必有一个实数根属于。 xx,，12abcR,fx()fx() (3)是否存在，使同时满足以下条件?当时， 函数有最小x,112值0;?对,都有。若存在，求出的值，若不存在，abc,0()(1),fxxx,xR2请说明理由。 14. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示: 产品 甲产品 乙产品 资源限额 消耗量 (每吨) (每吨) (每天) 资源 煤(t) 9 4 360 电力(kw?h) 4 5 200 劳力(个) 3 10 300 利润(万元) 6 12 问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大, 32Ttatbtctda()(0),，,15. 设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是?，时间的单位是小时(中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数(如早上8:00相应的t=-4，下午16:00相应的t=4)(若测得该物体在早上8:00的温度为8?，中午12:00的温度为60?，下午13:00的温度为58?，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率. (1)求该物体的温度T关于时间t的函数关系式; (2)该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高,最高温度是多少, 16. 已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有fx()MTx,RfxTTfx()()，,成立. (1) 函数fxx(),是否属于集合? 说明理由; M(2) 设fxM(), 且, 已知当时, fxxx()ln,，, 求当时, T,212,x,32xfx()的解析式. ,xD|()|fx17. 定义在D上的函数，如果满足:，常数，都有?M成立，M,0f(x)则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. f(x)3333(?)求函数在1，3上的最大值与最小值，并判断函数在fxx(),fxx(),xx1，3上是不是有界函数,请给出证明; 1t,，,0,)(?)若已知质点的运动方程为S(t),，at，要使在上的每一时刻的t，1瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围. x18. 设函数的定义域为，对任意实数、都有，当f(x)f(x，y),f(x)，f(y)Ryx,0时且. f(x),0f(2),6(?) 求证:函数为奇函数; f(x)(?) 证明函数在上是增函数; f(x)R(?) 在区间,4，4,上，求的最值. f(x)19. 为庆祝东莞中学105周年，教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着球，以9米/秒的速度向正南方向走，看到学生乙正好在他的正南方21米处，此时学生乙以6米/秒的速度向南偏东方向走，学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他.问经过多少60:时间后，两位学生相距最近，并求出两位学生的最近距离. a220. 已知函数fxxxaR()(0).,，,，常数 xfxfx()(1), (1)当时，解不等式,; a,221x,fx() (2)讨论函数的奇偶性，并说明理由. 答案: 1+x)元 1. 1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(2a(1,x)月平均销售量为件 2y,a(1,x)，20(1，x),15则月平均利润(元) 23y,5a(1，4x,x,4x)(0,x,1)y与x的函数关系式为 1'25(4212)0(2)令 y,a,x,x,得x,211''当 0,x,时y,0;当,x,1时y,0221123y,5a(1，4x,x,4x)即函数在上单调递减， (0,)上单调递增;在(,1)22123y,5a(1，4x,x,4x)(0,x,1)所以函数在取得最大值. x,22. 解:(?)总成本为( c(x),14000，210x所以日销售利润 Q(x),f(x)g(x),c(x)16,32xxxx,，,210,14000,0,400,10005,( ,xx,210，114000,400,312/2(?)?当时，( Q(x),x，x,2100,x,40010005/Q(x),0令，解得或( x,100x,700于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在Q(x)0,100100,400Q(x)时取到最大值，且最大值为30000; x,400?当时，Q(x),210x，114000,30000( x,400综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元( 2y,px，qx，r3. 解:设二次函数为: p，q，r,1p,0.05, 由已知得: 4p，2q，r,1.2,q,0.35,9p，3q，r,1.3r,0.7,2 ? y,0.05x，0.35x，0.72 当 x = 4时， y,0.05，4，0.35，4，0.7,1.31xy,a,b，c 又对于函数 ,ab，c,1a,0.8,2 由已知得: ab，c,1.2,b,0.5,3,abcc，,1.3,1.4,1x ? y,0.8，()，1.4214 当 = 4时， xy,0.8，()，1.4,1.3522由四月份的实际产量为1.37万件, |y,1.37|,0.02,0.07,|y,1.37|211x?选用函数 作模拟函数较好。 y,0.8，()，1.424. (1)解:? 是以2为周期的函数, fx()当时,是的周期. ?fx()kZ,2kxI,又? 当时, (2)xkI,k02? . fxfxkxk()(2)(2),2xI,即对,当时, . kZ,fxxk()(2),k2xI,(2)xkax,(2)解:当且时,利用(?)的结论可得方程, kN,k22xkaxk,，,(4)40整理得 . 22,，,，(4)16(8)kakaak它的判别式是 ?. a上述方程在区间I上恰有两个不相等的实根的充要条件是满足 k,aak(8)0，,aak(8)0，, 化简得 1,aaka(8)2，,，,，214(8)kkaaak,，,，,，2,aaka(8)2，,1,，214(8)kkaaak，,，,，,2由?知，或. a>0ak<,8当时: 因为，故从?，?可得 a>022，,aa>aaka(8)2，,2,(21)1ka，,aaka(8)(2)，,即 ，即 ,a<220,a>,1即 0<a,21k，当时: 易知无解 ak<,82280,，,ak<<aaka(8)2，<1综上所述，a应满足 0<a,21k，,1故所求集合 Maa,<0,kk，21,am5. 解: 设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为， bm2800则， ， ab,0,0abm,800a,b?蔬菜的种植面积 S,(a,4)(b,2),ab,2a,4b，8,808,2(a，2b)400 ,，8084()bb400400/ 令，对求导， bfbbb(),0,，,fb()1,2bb/fb()0,设，解得(舍去负值)， b,20/fb()0,当时，所以在上是减函数， b,(0,20)fb()(0,20)/fb()0,当时，所以在上是增函数， b,，,(20,)fb()(20,)，,所以，当时，fb()有最小值f(20)40,， b,20a,402此时，有最大值为8084(20)648,f mS答:当矩形温室的左侧边长为，后侧边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大种40m20m2植面积为。 648m2am另解:设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则. abm,800bm?蔬菜的种植面积， S,(a,4)(b,2),ab,2a,4b，8,808,2(a，2b)?， a,0,b,0,ab,800?， a，2b,22ab,802?(m)， S,808,2，80,6482S,648当且仅当，即a,40m,b,20m时， m. a,2bmax答:当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面2积为648 m. 14.40.90.212.，nn，14.4yn,，,0.113.46. 解:由题意可得，年平均值 nn14.4当且仅当 ,0.112nn即时，年平均值最小n？12年后报废损失最小 7. 解:(1)令x=y=1,得f (1)= f 1)+ f (1) 所以f (1)=0 x2 (2)设01,xx，则 12x1,11 ffxfxf1.0,，,，,11xx11,1 ？,ffx，,1x1,x12 ？,，,ffxffxfx0，,121xx,11？,，,fxfxfx，所以在，上是减函数0，122，312,22228. 解:(1) ,，,，,，,412412440bacacacacacaac，,42,，？,方程有实数根fx0，(2)由 ffcabc010320,，,得，abccab，,？,，0,，？,，,abab20，bb,2a,，,0,120所以 ,aa,b ？,21a2bcab，(3) xxxx，,，.1212333aaa22？,，,xxxxxx4. ，12121224bab，,4 = ,293aa,2444bb, = ，,933aa,24b31, = ，,9a23,b142 ,？,21，xx，12a3933,xx 12329. 解:(?)偶函数 (?)(略) (?)? 2 3? (,1,)510. 解:(?)(略)用定义或导数证明 (?)？f(x)在(,2,，,)为单调函数 3,13,a1,a,4？,或解得a2 ,213a，21a，,3,44,42xyxR,，2411. 解:(?) R定义域:(，)02R 12()2()5yxRR,， R当时，xRyR,5maxy,f(x)12. 解:(?)在图象上任取一点(x,y)，则(x,y)关于(0,1)的对称点为(-x,2-y) 111 由题意得: 22,(),，？,，,，yxyxfxx即,xxxa2(?)()1易知:()图象关于对称， gx,x，ax，y,gxx,2aaag(x)且在(,(,)24,，,？,为减函数，为增函数，(或用定义求解)a 222(?)(略) 13. 解: (1) fabc,？,，,10,0,bac,，222,，,bacacacac4()4() 当ac,时，函数有一个零点; fx,0，当时，函数有两个零点。 fx,0ac,，1(2)令，则 gxfxfxfx,，12，2fxfx,，112 gxfxfxfx,，,，1112，22fxfx,，121， gxfxfxfx,，,，2212，2221在？,gx0xx,？,gxgxfxfxfxfx，0,，12121212，41内必有一个实根。即方程必有一个实数根属于。 xx,fxfxfx,，1212，22bacb4,1,0(3)假设存在，由?得 abc,24aa22babacaacac,2,444 ,12由?知对,都有 0()(1),fxxx,xR20(1)10,f,f(1)10,f(1)1令得 x,1,，,abc1abc，,1,11,ba,2由得， acb,42,ac,11111122当时，其顶点为(,1，0)满足条件acb,fxxxx()(1),，,，4242441122?，又对,都有，满足条件?。 fxxx()(1),0()(1),fxxx,xR,42abcR,fx()，使同时满足条件?、?。 ?存在14. 解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨y吨，获得利润z万元 9x，4y,360,4x，5y,200,3x，10y,300,x,0,y,0,x,y,N,依题意可得约束条件:5分 (图2分) z,6x，12y8分 利润目标函数l:z,6x，12y,把直线l如图，作出可行域，作直线向右上方平移至l位置，直线经1z,6x，12y过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。 3x，10y,300,得M(20,24),4x，5y,200,解方程组 所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。 2,15. 解:(1) 因为, Tatbtc,，32,而, 故, TT,44488488abcabc，,，a,1,Td060,，,b,0Tabcd,，,，,4641648，,？ ,c,3Tabcd158,，,，,d,60488488abcabc，,，,3 ?. Ttttt,，,360(1212)，2,Tttt()011,得或 (2) , 由 Tt,33,TtTt()()与当在,2,2上变化时，的变化情况如下表: tx (-2，-1) (-1，1) (1，2) -2 -1 1 2 ,Tt() , + 0 0 + 极大值极小值T(t) 增函数 减函数 增函数 58 62 62 58 t,1或t,2时T(t)取到最大值62由上表知当，说明在上午11:00与下午14:00，该物体温度最高，最高温度是62?. fxx(),16. 解: (1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有MTxR,fxTTfx()()，,成立, 3分 fxM(),即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故. xTTx，,x,0T,0(2) , 且, 则对任意, 有, fxM(),fxfx(2)2()，,T,2x,R11设, 则, fxfxfx()(2)(4),，,，,32x142,，,x24当时, , fxxx()ln,，12,x1故当时, . fxxx()4ln(4),，,32x432,17. 解:(?)?，当时，. x,1,3f(x),0f(x),3x，2x?在1，3上是增函数 f(x)?当时，?，即 -2?26. x,1,3f(1)f(x)f(3)f(x)fxf()(1)1;,fxf()(3)26;, 所以当时，当时， x,1x,3minmax?存在常数M=26，使得，都有?M成立. ,x,1,3|()|fx33 故函数是1，3上的有界函数. fxx(),x,1,1,St,，a|，a|()(?)?. 由?1，得?1- |S(t)|22(1)t，(t，1)1,1,a,，1，a,122,(t，1)(t，1), ? ,1,1,aa,1，,122,(t，1)(t，1),1g(t),，1令，显然g(t)在0,，,)上单调递减， 2(t，1)g(t)则当t?+?时，?1. ? a,11h(t),1h(t)0,，,)令，显然在上单调递减， 2(t，1)h(t),h(0),0则当时， ? t,0a,0max?0?a?1; 故所求a的取值范围为0?a?1. ,x，y,Rf(x，y),f(x)，f(y)18. (?) 证明:?， x,y,0f(0),f(0)，f(0)? 令，得 ? f(0),0，得 令f(0),f(x)，f(,x)y,x即 f(,x),f(x)?函数为奇函数 f(x)(?) 证明:设,x,x,R，且x,x 1212则 f(x),f(x),f(x)，f(,x),f(x,x) 212121又?当时 f(x),0x,0? f(x),f(x),f(x,x),02121即 f(x),f(x)21函数在上是增函数 ?f(x)R(?) ?函数在上是增函数 f(x)R?函数在区间,4，4,上也是增函数 f(x)函数的最大值为，最小值为 ?f(x)f(4)f(,4)? f(2),6? f(4),f(2，2),f(2)，f(2),12?函数f(x)为奇函数 ?f(,4),f(4),12 故，函数f(x)的最大值为12，最小值为. ,1219. 解:设甲现在所在位置为A，乙现在所在位置为B，运动t秒后分别到达位置C、D,如图可知CD即为甲乙的距离.ACtBDtAB,9,6,21 1分 7BCtBDtCBD,，,219,6,1201当时, t,3222 ？,，,CDBCBDBCBD2cos120122 ,，,，,，,(219)(6)2(219)6()tttt222,，,，6325244163(2)189ttt 时， ？,t2CD,189321min772当时,C、B重合, t,？,，,CDBD61432133三三角函数的计算7BCtBDtCBD,，,921,6,603当时, t,3222 ？,，,CDBCBDBCBD2cos60初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；122 ,，,，,，(921)(6)2(921)6()tttt222,，,，,6325244163(2)189189ttt 12.与圆有关的辅助线？,CD321min三、教学内容及教材分析：321m综上所述:经过2秒后两人距离最近为. 222220. 解:(1)当时， fxx(),，fxx(1)(1),，a,2xx,1sin2222 由 ,， xx，,(1)21x,xx,1（2）经过三点作圆要分两种情况:22 得,，, ，,x, xx(1),1000xx,1（1）一般式：x ?原不等式的解为 ,; 10(2)的定义域为(0)(0,，+)， fx()222fxx(),fxxxfx()()(), 当时，所以是偶函数. fx()a,043.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-232a2fxfxxx()()20(0)，, 当时， fxfx()()0,a,0x3、思想教育，转化观念端正学习态度。所以fx()既不是奇函数，也不是偶函数.