1、第二章 极 限 本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和“X”语言描 述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。欢迎观看第二章 极 限第二节 函数的极限与性质三.极限定义及定理小结四.函数极限的基本性质 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广
2、到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.的图形可以看出:如何描述它？如何描述它？定义定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？将图形对称过去后将图形对称过去后,你有什么想法你有什么想法?将图形对称将图形对称定义定义 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 ,你有什么想法你有什么想法?你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理.现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 ,你有什么想法你有什么想法?定义定义由于|x|X 0 x X 或 x X,所以,x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x+,定理定理定理定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:
3、证证证证成立.由极限的定义可知:例例1 1解无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有下面证明我们的猜想:证明过程怎么写？例例2 2 这里想得通吗？由图容易看出：分析例例3 3例例4 4证证 x x0 时函数的极限,是描述当 x 无限接近 x0 时,函数 f(x)的变化趋势.f(x)在点 x0=0 处有定义.函数 f(x)在点 x0=1 处没有定义.例例5 5定义定义(证证证证 这是证明吗？这是证明吗？非非常常非非常常严严格格！例例6 6证证例例7 7证证？如何处理它如何处理它例例8 8 这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为 x 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接
4、近 1.()0 x211 11+1分析分析结论证证证毕例例8 8在极限定义中：在极限定义中：1)与 和 x0 有关,即 =(,x0).一般说来,值越小,相应的 值也越小.2)不等式|f(x)a|0,同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3)函数 f(x)以 a 为极限,但函数 f(x)本身可以 不取其极限值 a.y=a y=a y=axOyx0 x0 x0+曲线只能从该矩形的左右两边穿过3.函数的左、右极限定义定义定义定义定义定义定义定义(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点 x0 处的左、右极限可能出现
5、以下三种情况之一：y=f(x)xOy11在 x=1 处的左、右极限.解例例9 9定理定理定理定理 利用|x x0|x x0 和极限的定义,即可证得.解例例1010解例例1111例例1212证证三、极限定义及定理小结三、极限定义及定理小结 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式重要定理在以后的叙述中,如果函数 f(x)极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立,则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号四、函数极限的基本性质极限.函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书.1.有界性定理
6、若 lim f(x)存在,则函数 f(x)在该极限过程中必有界.2.唯一性定理 若 lim f(x)存在,则极限值必唯一.3.保号性定理 极限值的正负与函数值正负的关系 函数值的正负与极限值正负的关系 极限值的正负与函数值正负的关系 该定理也称为第一保号性定理极限值正负与函数值正负关系的推论 作辅助函数 F(x)=f(x)c 再利用定理的结论即可得证.函数值的正负与极限值正负的关系 该定理也称为第二保号性定理第二保号性定理成立.运用反证法,设 f(x)0 (f(x)0)时,有 a 0),则由第一保号性定理将推出 f(x)0)的矛盾,该矛盾就证明了注意注意:当 f(x)0 (f(x)g(x),则有 a b,在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号.令 F(x)=f(x)g(x)0,即可进行证明.作业：P481（2）（3）46
