1、目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二、数列、数列极限存在准则极限存在准则一、数列极限的定义一、数列极限的定义第三节第三节数列的极限数列的极限三三、收敛数列的性质、收敛数列的性质目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 对对圆圆作内接正作内接正三三角形角形、正四边形正四边形、正五边形正五边形、正六边形正六边形、这样继续这样继续循此循此下去下去,所得所得正正多边形的多边形的面积面积就无限接就无限接近于圆的近于圆的面积面积.割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆合体而无与圆合体而无所失矣所
2、失矣.刘徽割圆术目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 一一、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例.设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S.如图所示,可知当 n 无限增大时,无限逼近 S.用其内接正 n 边形的面积刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 如果按照某一法则，对每个，对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列就叫做数列数列，简记为数列 .数列中的每一个数叫做数列的项项，第n项 叫做数列的一般项一般项或或通项通项。1、数列、数列定义定义目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如注意：(1)
3、数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取(2).数列是整标函数目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列数列当观察下列数列当n无限增大时，无限增大时，LL,21LL,0从上面可以看出从上面可以看出:当当 n时时,无限地接近于无限地接近于 1,数列数列(2)从原点的两侧无限地接近于从原点的两侧无限地接近于0,一般项一般项的变化趋势的变化趋势:数列数列(1)从从 的右侧的右侧目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.数列数列极限的定义极限的定义 当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于一个确定的常数a,则常数a称为数列xn
4、的极限,或称数列xn收敛于a,记为axnn=lim，当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.或如果数列没有极限,就说数列是发散的.习惯上也说目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,趋势不定收 敛发 散目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束
5、目录 上页 下页 返回 结束 目标不惟一！目标不惟一！目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 1.夹逼准则夹逼准则二、极限存在准则二、极限存在准则注意注意:目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例证明证明满足由定义知利用夹逼准则夹逼准则得目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束(1)数列的数列的有界性有界性例如例如,有界；有界；无界无界.数列数列 xn 有上界有上界,即存在即存在M,使使xnM(n=1,2,).数列数列 xn 有下界有下界,即存在即存在m,使使xn m(n=1,2,).2.单调有界准则目录 上页 下页 返回 结束 目
6、录 上页 下页 返回 结束 单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:(2)数列的单调数列的单调性性目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 如数列由准则准则知及分别是单调减少且下界为1及单调增加且上界为1的数列,存在.实际上目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例证证目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 证明数列极限存在.证证:利用二项式公式,有设例例.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 大大大大正正又比较可知大大目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则
7、 2 可知数列记此极限为 e,e 为无理数,其值为即有极限.又内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束(1 1)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.例如,有界但不收敛数列三、三、收敛数列的性质收敛数列的性质(2).(2).收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.(3).(3).收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若且有则推论推论:若数列从某项起目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 子数列的收敛性子数列的收敛性注：注：例如，例如，所谓子
8、数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列（或子列）.在子数列 中，一般项 是第k 项，而 在原数列 中却是第 项，显然，(4).(4).收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.无界数列必定发散无界数列必定发散.2.2.一子列发散一子列发散,则数列发散则数列发散.3.3.两子列收敛到不同的极限两子列收敛到不同的极限,则数列发散则数列发散.例例:证证发散数列判别法发散数列判别法:注注:一个发散的数列也可能有收敛的子数列一个发散的数
9、列也可能有收敛的子数列.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.数列极限的定义3.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限作业作业P19 1,32.极限存在准则单调有界准则夹逼准则夹逼准则目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 数列极限的精确定义数列极限的精确定义axnn=lim，当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.或目录 上页 下页 返回 结束 目
10、录 上页 下页 返回 结束 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.引例引例观察数列时的变化趋势.,1001给定给定,10011 n,10011 N 时,不等式都成立，目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 都落在都落在a点的点的邻域邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列这就表明数列xn所对应的点除了前面有限个点外所对应的点除了前面有限个点外都能凝聚在点都能凝聚在点a的的任意小邻域内，同时也表明数列任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，
11、呈现出一种稳定中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛收敛”。注意：注意：数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.数列极限的几何意义数列极限的几何意义使得使得N 项以后的所有项项以后的所有项注：越小,表示与a接近得越好.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 OK!OK!N N找找到了！到了！nN目的：目的：NO,NO,有些有些点在点在条形条形域外域外面！面！目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 N 越来越小，N越来越大！目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例1用定义证明证明 对于任意给定的 要使 只要 取自然数 则当 时，有 ,所以 注：就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知证明数列的极限为1.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.注：注：
