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2016新课标三维人教A版数学选修4-11.3相似三角形的判定及性质三相似三角形的判定及性质 1(相似三角形的判定 对应学生用书P7 1(相似三角形 (1)定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角，相似三角形对形应边的比值叫做相似比或(相似系数)( (2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似( 2(相似三角形的判定定理 (1)判定定理1:对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为:两角对应相等，两三角形相似( (2)判定定理2:对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似( 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边( (3)判定定理3:对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为:三边对应成比例，两三角形相似( 说明 1.在这些判定方法中应用最多的是判定定理1即两角对应相等两三角形相似(因为它的条件最容易寻求(在实际证明当中要特别注意两个三角形的公共角(判定定理2则常见于连续两次证明相似时在证明时第二次使用此定理的情况较多( 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 2(引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理可以判定两直线平行( 3(直角三角形相似的判定定理 (1)定理:?如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似; ?如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似( (2)定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 (说明 对于直角三角形相似的判定除了以上方法外还有其他特殊的方法如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似( 在证明直角三角形相似时要特别注意直角这一隐含条件的利用( 对应学生用书P8 相似三角形的判定 例1 如图，已知在?ABC中，AB,AC，?A,36?，BD是角平分线，证明:?ABC?BCD. 思路点拨 已知AB,AC?A,36?所以?ABC,?C,72?而BD是角平分线因此可以考虑使用判定定理1. 证明 ?A,36?AB,AC ?ABC,?C,72?. 又?BD平分?ABC ?ABD,?CBD,36? ?A,?CBD. 又?C,?C?ABC?BCD. 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 判定两三角形相似，可按下面顺序进行:(1)有平行截线，用预备定理;(2)有一对等角时，?找另一对等角，?找夹这个角的两边对应成比例;(3)有两对应边成比例时，?找夹角相等，?找第三边对应成比例，?找一对直角( 1(如图，BC?FG?ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是( ) A(1 B(2 C(3 D(4 解析:?AED与?AFG相似?AED与?ABC相似?AFG与?ABC相似( 答案:C 2(如图，O是?ABC内任一点，D，E，分别是FOA，OB，OC的中点，求证:?DEF?ABC. 证明:?DEF分别是OAOBOC的中点 111?DE,ABEF,BCFD,CA. 222DEEFFD1?,. ABBCCA2?DEF?ABC. 23(如图，D在AB上，且DE?BC交AC于E，F在AD上，且AD,AF?AB，求证:?版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn AEF?ACD. ACAB证明:?DE?BC?,.? AEADADAB2?AD,AF?AB?,.? AFADACAD由?两式得, AEAF又?A为公共角?AEF?ACD. 直角三角形相似的判定 例2 如图，已知在正方形ABCD中，是PBC上的点，且BP,3PC，是QCD的中点，求证:?ADQ?QCP. 思路点拨 由于这两个三角形都是直角三角形且已知条件是线段间的关系故考虑ADDQ证明对应边成比例即只需证明,即可( QCCP证明 在正方形ABCD中 ADQ?是CD的中点?,2. QCBPBC?,3?,4. PCPCDQ又BC,2DQ?,2. CP在?ADQ和?QCP中 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn ADDQ,2?C,?D,90? QCCP?ADQ?QCP. 直角三角形相似的判定方法: (1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定( (2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似( 4(如图，?C,90?，D是AC上的一点，DE?AB于E，求证:?ADE?ABC. 证明:?DE?AB ?DEA,90? ?C,90? ?DEA,?C. ?A,?A. ?ADE?ABC 5(如图，BD，CE是?ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与?ACE相似的三角形( 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 解:?ACE为公共角由直角三角形判定定理1知Rt?FDC?Rt?ACE. 又?A为公共角?Rt?ABD?Rt?ACE. 又?A，?ACE,90?A，?ABD,90? ?ACE,?ABD.?Rt?FBE?Rt?ACE. 故共有三个直角三角形即Rt?ABDRt?FBE Rt?FCD与Rt?ACE相似. 相似三角形的应用 例3 如图，D为?ABC的边AB上一点，过D点作DE?BC，DF?AC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH. AB. 求证:GH?GEEH思路点拨 根据此图形的特点可先证比例式,成立再证?EGH?EDB由DEEB相似三角形的定义得?EHG,?EBD即可( 证明 ?DE?BC AGDGGECFGE?,即,. FCAFFBDGFBEHCF又?DF?AC?,. HBFBGEEHGEEH?,.?,. DGHBEDEB又?GEH,?DEB ?EGH?EDB. ?EHG,?EBD. ?GH?AB. 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系(有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系( 6(如图，?ABC的三边长是2、6、7，?DEF的三边长是4、12、14，且?ABC与?DEF相似，则?A,_，?B,_，?C,_. AB， ，AC,_. ， ，EF， ，解析:?A,?D?B,?E?C,F. ABBCAC1,. DEEFDF21答案:?D ?E ?F DE BC DF 27.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E. (1)求证:?CDE?FAE; 中点，且BC,2CD时， (2)当E是AD的求证:?F,?BCF. 证明:(1)?四边形ABCD是平行四边形 ?AB?CD. 又?点F在BA的延长线上 ?DCF,?F?D,?FAE. ?CDE?FAE. (2)?E是AD的中点?AE,DE. 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn CDDE由?CDE?FAE得,. FAAE?CD,FA. ?AB,CD,AF.?BF,2CD. 又?BC,2CD?BC,BF.?F,?BCF. 8.如图，在Rt?ABC中，?BAC,90?，AD?BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F. ABDF求证:,. ACAF证明:?E是Rt?ADC斜边AC上的中点 ?AE,EC,ED. ?EDC,?C,?BDF. 又?AD?BC且?BAC,90? ?C. ?BAD,?BAD,?BDF. 又?F,?F?DBF?ADF DBDF?,. ADAFABDB又在Rt?ABD与Rt?CBA中, ACADDFAB,. ?ACAF对应学生用书P10 一、选择题 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 1(如图所示，AD?EF?BC，GH?AB，则图中与?BOC相似的三角形共有( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 解析:根据相似三角形的判定定理可得: ?OEF?OBC(?EF?BC), ?CHG?CBO(?HG?OB), ?OAD?OBC(?AD?BC)( 故与?BOC相似的三角形共有3个( 答案:C (下列判断中，不正确的是( ) 2(A(两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似 B(斜边和一直角边长分别是25，4和5，2的两个直角三角形相似 C(两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似 D(两个等腰直角三角形相似 解析:由直角三角形相似判定定理知A、B、D正确( 答案:C 3(如图，要使?ACD?BCA，下列各式中必须成立的是( ) ACADA., ABBCADACB., CDBC版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 2C(AC,CD?CB 2D(CD,AC?AB ACCB2解析:?C,?C只有,即AC,CD?CB时才能使?ACD?BCA. CDAC答案:C AD4.如图，在等边三角形ABC中，为EAB中点，点D在AC上，使得AC1,，则有( ) 3A(?AED?BED B(?AED?CBD C(?AED?ABD BAD?BCD D(?BCCD解析:因为?A,?C,2 AEAD所以?AED?CBD. 答案:B 二、填空题 5(如图，?ABC中，DE?BC，GF?AB，DE，GF交于点O，则图中与?ABC相似的三角形共有_个，它们分别是_( 解析:与?ABC相似的有?GFC?OGE?ADE. 答案:3 ?GFC，?OGE，?ADE 6(如图所示，?ACB,90?，CD?AB于点D，BC,3，AC,4，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 则AD,_，BD,_. 解析:由题设可求得AB,5 ?Rt?ABC?Rt?ACD 2ABACAC16?,.?AD,. ACADAB5又?Rt?ABC?Rt?CBD 2ABBCBC9?,.?BD,. CBBDAB5169答案: 557(已知:在?ABC中，AD为?BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF,4，BC,5，则DF,_. 解析:连接AF. EF?ADAE,ED ?AF,DF ?FAD,?FDA. 又?FAD,?DAC，?CAF ?FDA,?BAD，?B 且?DAC,?BAD ?CAF,?B.而?CFA,?AFB ?AFC?BFA. AFBF?,. CFAF2?AF,CF?BF,4×(4，5),36. ?AF,6即DF,6. 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 答案:6 三、解答题 8(如图，已知?ABC中，AB,AC，D是AB的中点，在EAB的延长线上，且BE,AB，求证:?ADC?ACE. AD1证明:?D是AB的中点?,. AB2AD1?AB,AC?,. AC2AB1? BE,AB?,. AE2AC1又AB,AC?,. AE2ADAC,. ?ACAE又?A为公共角?ADC?ACE. 9.如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC?BC，且AB?CD,DE?AC. 求证:AE?CE,DE?EF. 证明:?AB?CD,DE?AC ABAC?,. DECD?AC?BC ?ACB,?DCE,90?. ?ACB?DCE. ?A,?D. 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 又?AEF,?DEC?AEF?DEC. AEEF?,. DECE?AE?CE,DE?EF. 10(如图所示，在?ABC中，?ACB,90?，CD?AB于D，AE是?CAB的角平分线，2CD与AE相交于点F，EG?AB于G.求证:EG,FD?EB. 证明:因为?ACE,90?CD?AB 所以?CAE，?AEC,90?FAD，?AFD,90?. 因为?AFD,?CFE 所以?FAD，?CFE,90?. 又因为?CAE,?FAD 所以?AEC,?CFE. 所以CF,CE. 因为AE是?CAB的平分线EG?ABEC?AC 所以EC,EGCF,EG. 因为?B，?CAB,90?ACF，?CAB,90? ACF,?B.因为?CAF,?BAE 所以?AFCF所以?AFC?AEB,. AEEB因为CD?ABEG?AB 所以Rt?ADF?Rt?AGE. AFFDCFFD所以,. AEEGEBEG版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 2所以CF?EG,FD?EBEG,FD?EB. 2(相似三角形的性质 对应学生用书P11 1(相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比( 相似三角形周长的比等于相似比( 似比的平方( 相似三角形面积的比等于相2(两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方( 说明 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高应包括一切“对应点”连接的线段,同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径( 对应学生用书P11 利用相似三角形性质计算 例1 已知如图，?ABC中，CE?AB于E，BF?AC于F，若S?22,36 cm，S,4 cm，求sin A的值( ?ABCAEF思路点拨 由题目条件证明?AEC?AFB得AE?AF,AC?AB由此推知?AEF?ACB进而求出线段EC与AC的比值( 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 解 ?CE?AB于EBF?AC于F ?AEC,?AFB,90?. 又?A,?A?AEC?AFB. AEAC?,. AFAB又?A,?A?AEF?ACB. SAE?4AEF2?(),. SAC36?ACBAE21?,. AC63设AE,k 则AC,3k ?EC,22k. EC22?sin A,. AC3利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的( 1(如图，在?ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点(AB,8 cm，AC,10 cm，若?ADE和?ABC相似，且S?S,4?1，则AE,_cm. ?ABCADEAE1解析:因为?ADE?ABC且S?S,4?1所以其相似比为2?1即,?ABCADEAC2版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn AE1或,所以AE,5或4(cm)( AB2答案:5或4 2.如图，在?ABCD中，AE?EB,2?3. (1)求?AEF与?CDF周长的比; (2)若S,8，求S. ?AEFCDF解:(1)?四边形ABCD是平行四边形 AE2?AB?CD且AB,CD.?, EB3AE2AE2AE2?,即,.?,. 2，AE，EB3AB5CD5又由AB?CD知?AEF?CDF ?AEF的周长?CDF的周长,2?5. (2)S?S,4?25 ?AEFCDF又S,8?S,50. ?AEFCDF利用相似三角形的性质解决实际问题 例2 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了,”心里很是纳闷(经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米(小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米, 思路点拨 此题的解法很多其关键是添加适当的辅助线构造相似三角形利用相似三角形的知识解题( 解 如图设小张与教学楼的距离至少应有x米才能看到水塔( 连接FD由题意知点A在FD上过F作FG?CD于G版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 交AB于H则四边形FEBH四边形BCGH都是矩形( ?AB?CD?AFH?DFG. ?AH?DG,FH?FG. 即(20,1.6)?(30,1.6),x?(x，30) 解得x,55.2(米)( 故小张与教学楼的距离至少应有55.2米才能看到水塔( 此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解( 3.如图，?ABC是一块锐角三角形余料，边BC,200 mm，高AD,300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长( 解:设矩形EFG为加工成的H矩形零件边FG在BC上则点E、H分别在AB、AC上?ABC的高AD与边EH相交于点P设矩形的边EH的长为x mm. 因为EH?BC所以?AEH?ABC. APEH所以,. ADBC300,2xx所以, 300200600解得x,(mm) 71 2002x, (mm)( 76001 200答:加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm. 77版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 4(已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，和它相似的另一个三角形的最长边为12 cm，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积( 解:设边长为3 cm,4 cm,5 cm的三角形的内切圆半径为r外接圆半径为R因为该三角形为直角三角形 511所以R,且(3，4，5)r,×3×4即r,1. 222525222?S,(cm)S,?(),(cm)( 内切圆外接圆245又两三角形的相似比为 121214422?S,()S,(cm) 内切圆内切圆5251222S,()S,36(cm)( 外接圆外接圆5对应学生用书P12 一、选择题 1(如图，?ABC中，DE?BC，若AE?EC,1?2，且AD,4 cm，则DB等于( ) A(2 cm B(6 cm C(4 cm D(8 cm 解析:由DE?BC 得?ADE?ABC 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn ADAE?,. ABACADAE1?,. DBEC2?DB,4×2,8(cm)( 答案:D 2(如果两个相似三角形对应边上的中线之比为3?4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( ) A(13和22 B(14和21 C(15和20 D(16和19 解析:由相似三角形周长之比中线之比均等于相似比可得( l31?周长之比,.又l，l,35 124l2?l,15l,20即两个三角形的周长分别为15,20. 12答案:C 3(如图所示，在?ABCD中，AB,10，AD,6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使?CBF?CDE，则BF的长是( ) A(5 B(8.2 C(6.4 D(1.8 BFCB解析:?CBF?CDE?,. DECD3×6DE?CB?BF,1.8. CD10答案:D 4(如图，是一个简单的幻灯机，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是( ) 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn A(50 cm B(500 cm C(60 cm D(600 cm 解析:图中的两个三角形相似(设屏幕上小树的高度为x cm根据相似三角形对应高30，150x的比等于相似比得,解得x,60 cm. 1030答案:C 二、填空题 25(在比例尺为1?500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12 cm，面积为，6 cm2_. _m则这块土地的实际周长是_m，实际面积是_解析:这块土地的实际形状与地图上的形状是两个相似三角形由比例尺可知它们的122相似比为则实际周长是12×500,6 000(cm),60 m,实际面积是6×500,1 500 000(cm)5002,150 m. 答案:60 150 6(如图，在?ABC中，D为AC边上的中点，AE?BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG?GA,3?1，BC,10，则AE的长为_( 解析:?AE?BC?BGF?AGE. ?BF?AE,BG?GA,3?1. AEAD?D为AC中点?,1. CFDC?AE,CF. ?BC?AE,2?1.?BC,10?AE,5. 答案:5 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 27(如图所示，在矩形ABCD中，AE?BD于E，S矩形ABC,40 cm.SD?S,1?5，则AE的长为_( ?ABEDBA解析:因为?BAD,90?AE?BD 所以?ABE?DBA. 22所以S?S,AB?DB. ?ABEDBA因为S?S,1?5 ?ABEDBA所以AB?DB,1?5. 设AB,k cmDB,5k cm 则AD,2k cm. 2因为S矩形A,40 cm BCD所以k?2k,40所以k,25(cm)( 所以BD,5k,10 (cm)(AD,45(cm)( 1又因为S,BD?AE,20 ?ABD21所以?10?AE,20. 2所以AE,4(cm)( 答案:4 cm 三、解答题 8(如图，已知?ABC中，?A,90?，AB,AC，D为AB中点，E是AC上的点，BE、CD交于M.若AC,3AE，求?EMC的度数( 解:如图作EF?BC于F 设AB,AC,3 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 3则AD,BC,32 2CE,2EF,FC,2. ?BF,BC,FC,22. ?EF?BF,2?22,1?2,AD?AC. ?FEB?ADC.?2,?1. ?EMC,?2，?MCB ?EMC,?1，?MCB,?ACB,45?. 9.如图，?ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，1DE,CD. 2(1)求证:?ABF?CEB; (2)若?DEF的面积为2，求?ABCD的面积( 解:(1)证明:?四边形ABCD是平行四边形 ?A,?CAB?CD. ?ABF,?E. ?ABF?CEB. (2)?四边形ABCD是平行四边形 ?AD?BCAB?CD. ?DEF?CEB?DEF?ABF. 1?DE,CD 2S?DE1DEF2?,(), SEC9?CEBS?DE1DEF2,(),. SAB4?ABF版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn ?S,2?S,18S,8 ?DEFCEBABF?S四边形BC,S,S,16. ?DFBCEDEF?S,S四边形BC，S,16，8,24. ?DFABFABCD?10(如图所示，在矩形ABCD中，AB,12 cm，BC,6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表1、熟练计算20以内的退位减法。示移动的时间(0?t?6)，那么: (1)当t为何值时，?QAP为等腰直角三角形, 二次方程的两个实数根(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果无关的结论( (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与?ABC相似, 解:(1)由题意可知:AQ,6,t(cm)AP,2t(cm)( 若?QAP为等腰直角三角形 (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.则AQ,AP即t,2(s)( 推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。(2)S四边形QA,S矩形ABC,S,S ?PCDDQCPBC11,12×6,×12×t,×6×(12,2t) 22弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)2,72,6t,36，6t,36(cm) 结论:无论P、Q运动到何处 2S四边形QA都不变为36 cm. PC互余关系sinA=cos(90°A)、cosA=sin(90°A)(3)?QAP?ABC 二次方程的两个实数根6,tAQAP2t?,.?,. ABBC126?t,1.2 s. ?QAP?CBA 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.1.圆的定义：6,tAQAP2t?,.?,.?t,3 s. BCAB612即t为1.2 s或3 s时 以Q、A、P角形与?ABC相似( 为顶点的三(3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn