2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.6对数与对数函数学案理201805212142.doc

26对数与对数函数 知识梳理1对数2对数函数的概念、图象与性质3反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数4对数函数与指数函数的关系指数函数yax(a>0且a1)与对数函数ylogax(a>0且a1)互为反函数(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换(2)由两函数的图象关于直线yx对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致特别提示：底数a对函数ylogax(a>0且a1)的图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大(3)作直线y1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系诊断自测1概念思辨(1)若logaM2logaN2，则MN；若MN，则logaM2logaN2.()(2)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.()(3)函数f(x)lg 与g(x)lg (x2)lg (x2)是同一个函数()(4)对数函数ylogax(a>0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，.()答案(1)×(2)×(3)×(4) 2教材衍化(1)(必修A1P72例8)设alog36，blog510，clog714，则()Ac>b>a Bb>c>a Ca>c>b Da>b>c答案D解析解法一：由对数运算法则得alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数图象得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.解法二：由对数运算法则得a1log32，b1log52，c1log72，log27>log25>log23>0，<<，即log72<log52<log32，故a>b>c.故选D.(2)(必修A1P75T11)(lg 5)2lg 2·lg 50_.答案1解析原式(lg 5)2lg 2·lg (2×52)(lg 5)22lg 5·lg 2(lg 2)2(lg 5lg 2)21.3小题热身(1)(2017·衡阳八中一模)f(x)则f()A2 B3 C9 D9答案C解析f(x)flog32，ff(2)29.故选C.(2)(2018·郑州模拟)已知lg alg b0(a>0且a1，b>0且b1)，则f(x)ax与g(x)logbx的图象可能是()答案B解析lg alg b0，a，又g(x)logbxlogxlogax(x>0)，函数f(x)与g(x)的单调性相同，故选B.题型1对数的运算 (2017·郑州二检)若正数a，b满足2log2a3log3blog6(ab)，则的值为()A36 B72 C108 D.用转化法答案C解析设2log2a3log3blog6(ab)k，可得a2k2，b3k3，ab6k，所以108.故选C.(2018·镇江模拟)已知log189a,18b5，求log3645.将指数式统一为对数式解因为log189a,18b5，所以log185b，于是log3645.方法技巧对数运算的一般思路1对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解见典例2.2在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算对于连等式，注意设等式为k，见典例1.冲关针对训练1已知3a4b，则()A. B1 C2 D.答案C解析因为3a4b，所以alog3，blog4，log3，log4，所以log3log4log122.故选C.2(log32log92)·(log43log83)_.答案解析原式·log32·log23×.题型2对数函数的图象及应用(2018·长春模拟)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D(，2)用数形结合法，排除法答案B解析解法一：构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知fg，即2loga，a，则a的取值范围为.故选B.解法二：0x，14x2，logax4x1，0a1，排除选项C、D；取a，x，则有42，log1，显然4xlogax不成立，排除选项A.故选B.条件探究若典例变为：若不等式x2logax<0对x恒成立，求实数a的取值范围解由x2logax<0得x2<logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)x2在上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a<1，即实数a的取值范围是.方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题1对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解见典例冲关针对训练1(2017·郑州一模)若函数ya|x|(a>0且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()答案B解析由于ya|x|的值域为y|y1，a>1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B.故选B.2(2017·青岛统考)已知函数g(x)|xk|x1|，若对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，则实数k的取值范围为_答案k或k解析对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，即f(x)maxg(x)min，由的图象(如图)可知，当x时，f(x)取最大值，f(x)max；因为g(x)|xk|x1|xk(x1)|k1|，所以g(x)min|k1|，所以|k1|，解得k或k，故答案为k或k.题型3对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小设alog3，blog2，clog3，则()Aa>b>c Ba>c>b Cb>a>c Db>c>a借助中间值1比较a，b的大小，用作商法比较b，c大小答案A解析因为alog3>log331，blog2<log221，所以a>b，又(log23)2>1，b>0，所以b>c，故a>b>c.故选A.角度2解对数不等式(2017·江西名校联考)设函数f(x)log (x21)，则不等式f(log2x)f(logx)2的解集为()A(0,2 B.C2，) D.2，)利用函数的奇偶性，单调性结合换元法解不等式答案B解析f(x)的定义域为R，f(x)log(x21)f(x)，f(x)为R上的偶函数易知其在区间0，)上单调递减，令tlog2x，则logxt，则不等式f(log2x)f(logx)2可化为f(t)f(t)2，即2f(t)2，所以f(t)1.又f(1)log21，f(x)在0，)上单调递减，在R上为偶函数，1t1，即log2x1,1，x，故选B.角度3对数函数性质的综合应用已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由根据复合函数单调性求解解(1)a>0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax>0恒成立32a>0，a<.又a>0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a>0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a>1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围2比较对数式的大小若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较3解对数不等式，形如logax>logab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式4对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如ylogaf(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为：求定义域，即满足f(x)>0的x的取值集合；将复合函数分解成基本初等函数ylogau及uf(x)；分别确定这两个函数的单调区间；若这两个函数同增或同减，则ylogaf(x)为增函数，若一增一减，则ylogaf(x)为减函数，即“同增异减”冲关针对训练1(2018·河南模拟)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()Aa<b<c Bc<b<a Cc<a<b Db<c<a答案B解析a60.4>1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4<0，a>b>c.故选B.2(2017·南昌调研)a>0，a1，函数f(x)loga|ax2x|在3,4上是增函数，则a的取值范围是()A.a<或a>1 Ba>1C.a< D.a或a>1答案A解析a>0，a1，令g(x)|ax2x|x0，x作出其图象如右：函数f(x)loga|ax2x|在3,4上是增函数，若a>1，则或解得a>1；若0<a<1，则解得a<.故选A.题型4指数函数、对数函数的综合应用(2018·西安模拟)设方程log2xx0，logxx0的根分别为x1，x2，则()Ax1x21 B0<x1x2<1C1<x1x2<2 Dx1x22用数形结合法答案B解析由方程log2xx0得log2xx，logxx0得logxx，分别画出左右两边函数的图象，如图所示由指数与对数函数的图象知：x1>1>x2>0，于是有log2x1x1<x2<logx2，得x1<，所以0<x1x2<1.故选B.设函数f(x)函数yff(x)1的零点个数为_考虑定义域，应用分类讨论法答案2解析方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1首先考虑函数的定义域见典例2.2注意联想数形结合思想见典例1.冲关针对训练1(2018·天津模拟)已知f(x)ln (x21)，g(x)xm，若x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围为()A. B.C. D.答案B解析f(x)ln (x21)在0,3上单调递增，g(x)xm在1,2上单调递减，f(x)minf(0)0，g(x)ming(2)m.又x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，f(x)ming(x)min，即m0，m.故选B.2设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln (2x)上，则|PQ|的最小值为()A1ln 2 B.(1ln 2)C1ln 2 D.(1ln 2)答案B解析根据函数yex和函数yln 2x的图象可知两函数图象关于直线yx对称，故要求|PQ|的最小值可转化为求与直线yx平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线yex上的切点为A(m，n)，则A到直线yx的距离的2倍即所求最小值因为yex，则em1，所以mln 2，切点A的坐标为(ln 2,1)，切点到直线yx的距离为d，所以2d(1ln 2)故选B.1(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033 B1053 C1073 D1093答案D解析由题意，lglglg 3361lg 1080361lg 380lg 10361×0.4880×193.28.又lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故与最接近的是1093.故选D.2(2018·山西模拟)函数yln sinx(0<x<)的大致图象是()答案C解析因为0<x<，所以0<sinx1，所以ln sinx0，故选C.3(2018·江西九江联考)若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是()A(，4) B(4,4C(，4)2，) D4,4)答案D解析由题意得x2ax3a>0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上递减，则2且(2)2(2)a3a>0，解得实数a的取值范围是4,4)，故选D.4(2015·福建高考)若函数f(x)(a>0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析当x2时，f(x)x6，f(x)在(，2上为减函数，f(x)4，)当x>2时，若a(0,1)，则f(x)3logax在(2，)上为减函数，f(x)(，3loga2)，显然不满足题意，a>1，此时f(x)在(2，)上为增函数，f(x)(3loga2，)，由题意可知(3loga2，)4，)，则3loga24，即loga21，1<a2. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018·安阳检测)若点(a，b)在ylg x图象上，a1，则下列点也在此图象上的是()A. B(10a,1b)C. D(a2,2b)答案D解析当xa2时，ylg a22lg a2b，所以点(a2,2b)在函数ylg x图象上故选D.2已知函数f(x)2log2x，x1,2，则函数yf(x)f(x2)的值域为()A4,5 B. C. D4,7答案B解析yf(x)f(x2)2log2x2log2x243log2x，注意到为使得yf(x)f(x2)有意义，必有1x22，得1x，从而4y.故选B.3(2018·太原调研)已知函数f(x)xlog2x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0<x1<x0，则f(x1)()A恒为负值 B等于0C恒为正值 D不大于0答案C解析4(2017·河南二模)函数y的图象大致为()答案B解析函数y的定义域为x|x0且x±1，故排除A；f(x)f(x)，排除C；当x2时，y>0，故排除D.故选B.5(2015·湖南高考)设函数f(x)ln (1x)ln (1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数答案A解析解法一：函数f(x)的定义域为(1,1)，任取x(1,1)，f(x)ln (1x)ln (1x)f(x)，则f(x)是奇函数当x(0,1)时，f(x)>0，所以f(x)在(0,1)上是增函数综上，故选A.解法二：同解法一知f(x)是奇函数当x(0,1)时，f(x)ln ln ln .y(x(0,1)是增函数，yln x也是增函数，f(x)在(0,1)上是增函数综上，故选A.6(2018·包头模拟)已知函数f(x)log (x2axa)在上是增函数，则实数a的取值范围是()A1，) B.C. D(，1答案B解析f(x)log (x2axa)在上是增函数，说明内层函数(x)x2axa在上是减函数且(x)>0成立，只需对称轴x且(x)min>0，解得a，故选B.7(2017·安徽安庆二模)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，当x(，0时，f(x)为减函数，若af(20.3)，bf(log4)，cf(log25)，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>c Bc>b>a Cc>a>b Da>c>b答案B解析函数yf(x)是定义在R上的偶函数，当x(，0时，f(x)为减函数，f(x)在0，)上为增函数，bf(log4)f(2)f(2)，1<20.3<2<log25，c>b>a，故选B.8(2017·广东模拟)已知函数f(x)(exex)x，f(log5x)f(logx)2f(1)，则x的取值范围是()A. B1,5C. D.5，)答案C解析f(x)(exex)x，f(x)x(exex)(exex)xf(x)(xR)，函数f(x)是偶函数f(x)(exex)x(exex)>0在(0，)上恒成立函数f(x)在(0，)上单调递增f(log5x)f(logx)2f(1)，2f(log5x)2f(1)，即f(log5x)f(1)，|log5x|1，x5.故选C.9(2017·河北五校质监)函数yloga(x3)1(a>0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny20上，其中m>0，n>0，则的最小值为()A2 B4 C. D.答案D解析由函数yloga(x3)1(a>0，且a1)的解析式知：当x2时，y1，所以点A的坐标为(2，1)，又因为点A在直线mxny20上，所以2mn20，即2mn2，又m>0，n>0，所以22，当且仅当mn时等号成立，所以的最小值为，故选D.10(2017·江西红色七校二模)已知函数f(x)ln ，若fff504(ab)，则a2b2的最小值为()A6 B8 C9 D12答案B解析f(x)f(ex)ln ln ln e22，504(ab)fff×(2×2016)2016，ab4，a2b28，当且仅当ab2时取等号a2b2的最小值为8.故选B.二、填空题11(2018·禅城区月考)已知函数f(x)|lg x|，若0<a<b，且f(a)f(b)，则2ab的取值范围是_答案2，)解析画出y|lg x|的图象如图：0<a<b，且f(a)f(b)，|lg a|lg b|且0<a<1，b>1，lg alg b，ab1，2ab22.当2ab时等号成立，2ab2.12函数f(x)log2·log(2x)的最小值为_答案解析显然x>0，f(x)log2·log(2x)log2x·log2(4x2)log2x·(log242log2x)log2x(log2x)22，当且仅当x时，取“”，故f(x)min.13(2017·山西质检)已知函数f(x)若f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1x2x3的取值范围为(1,8)，则实数m的值为_答案1解析作出f(x)的图象，如图所示，可令x1<x2<x3，则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线x对称，所以x1x21.又1<x1x2x3<8，所以2<x3<9.由f(x1)f(x2)f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3log2(9m)，解得m1.14(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.答案9解析f(x)|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)f(n)，m<1<n，log3mlog3n，mn1.f(x)在区间m2，n上的最大值为2，函数f(x)在m2,1)上是减函数，在(1，n上是增函数，log3m22或log3n2.若log3m22，则m，从而n3，此时log3n1，符合题意，则3÷9.若log3n2，则n9，从而m，此时log3m24，不符合题意三、解答题15已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)0，当x>0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)>2.解16设x2,8时，函数f(x)loga(ax)·loga(a2x)(a0且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值解21