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辽宁省辽南协作校2017届高三一模拟考试理科数学试题 含答案姓 名:_ 考生考号:_ 20162017学年度下学期高三第一次模拟考试试题 数学(理科) 时间:120分钟 试卷满分:150分 第I卷 本试卷分第?卷(选择题)和第n卷(非选择题两部分，其中第?卷第22题?第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本题共12个小题，每题5分，共60分,四个选项中只有一个正确) 21.设 P=x|x,4,Q=x|x,4，则( ) A.P,Q B.QP C.P,CQ D.Q,CP RR2-mi2.复数=A+Bi(m、A、B?R)，且A+B=0，则m的值是( ) 1，2i22-2A. B. C. D.2 333.设样本数据x,x,x的均值和方差分别为1和4,若1210y=x+a (O为非零常数，i= 1,2,10)，则y1,y2,，y10ii的均值和方差分别为( ) A.1+a,4 B.l+a，4+a C.1,4 D.l,4+a 4.公差不为零的等差数列an的前n项为Sn,若a是a与a437的等比中项,S=32,则S等于( ) 810A.18 B.24 C.60 D.90 22xy5.设F和F为双曲线(a,0，b,0)的两个焦点，若,11222abF，F，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线12方程是( ) 2133A.y=?x B.y=?x C.y=?x D.y=?3721x 346.设a=log3,b=,c=log4，则a,b，c的大小关系为( ) 233A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.c<b<a 227.圆x+y-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是( ) 22A.18 B.6 C.5 2D.4 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 8A. 3B.3 10C. 3D.6 49.(x +y +z)的展开式共( )项 A.10 B.15 C.20 D.21 10.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求?ACB =60?，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为( ) 3 A.(1+)米 2B.2米 3C.(1+)米 3)米 D.(2+11.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f (1)处的切线方程是( ) A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-1 12.已知椭圆的左焦点为F有一小球A 从F处以速度v开始11沿直线运动，经椭圆壁反射(无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计)，若小球第一次回到F时，1它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为( ) 5-113 A. B. C. 3522D. 3第?卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第23题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13.等比数列an的公比q >0，已知a=1，a+a=6a，则an的前2n+2n+1n4项和S=_. 414.如图所示，输出的x的值为_. 15.已知四面体ABCD ，AB=4，AC=AD=6，则该四面体外接球半径为_( x116.设点P在曲线y =e上，点Q在曲线y =ln(2x) 上，则2|PQ|的最小值为_( 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本大题满分12分) 23已知函数f(x)=2cosx+2sinxcosx+a，且当x?0,时，2f(x)的最小值为2. (?)求a 的值; (?)先将函数y=f (x) 的图象上点的纵坐标不变，横坐标1缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到212函数y=g(x)的图像，求方程g(x)=4在区间0,上所有根2之和. 18.(本题满分12分) 某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛(任意两个参赛队伍只比赛一场)，有高一、高二、高三共三个队参赛，12高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高23三的概率为p，每场胜负相互独立，胜者记1分，负者记0分，规定:积分相同时，高年级获胜. 1(?)若高三获得冠军的概率为，求p ; 3(?)记高三的得分为X ，求X 的分布列和期望. 19.如图所示，三棱柱ABC -ABC中，已知AB?侧面BBCC，11111AB =BC =1，BB=2，?BCC=60?. 11(?)求证:CB?平面ABC ; 1(?)E是棱CC所在直线上的一点，若二11面角A-BE-B的正弦值为，求CE 的长. 1220.(本题满分12分) 2 已知抛物线C:y=2x，直线l:y=kx+2交C于A、B两点，M是AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C于N点. (?)证明:抛物线C在N 点处的切线与AB 平行; (?)是否存在实数k ，使以AB为直径的圆M经过N点,若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由. 21.(本题满分12分) 22 已知函数f(x)=x+alnx. x(?)若f(x)在区间2,3上单调递增，求实数a的取值范围; (?)设f(x)的导数f(x )的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点A (x, y) ，B (x,y ) 所在直线的斜率为k ，1122求证:当a?4时，|k|>1. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 ,x2cos,已知曲线C:(为参数)，以坐标原点为极点，x1,y,3sin,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=2，正方形ABCD 的顶点都在C上，且A 、B 、C 、D 依2逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,) 3(?)求A 、B 、C 、D 的直角坐标; 2222(?)设P 为C上任意一点，求|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的1取值范围. 23. 选修4-5:不等式选讲 设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M ，a,b?M . ab1(?)证明:|，|< 364(?)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小，并说明理由. 2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题 数学(理科)参考答案 一、选择题 1-5 BAACB 6-10 DCBBD 11-12 DC 1525(21-ln2)二、填空题 13. 14.17 15. 16. 2三、解答题 2 17.解:(?)f(x)=2cosx 33+2sinxcosx+a=cos2x+sin2x+a +1 所以f(x)=2sin(2x+)+a+1，因为x?0,，所以2x+6267?,. 66f(x)=-1+a+1=2，所以mina=2.6分 (?)依题意得g(x)=2sin(4x-)+3,由g(x)=4得61sin(4x-)= 625 4x-=2k+或4x-=2k+ 6666kk，或，所以x,或所以x= 21224124所以，所有根的和为.312分 18.解:(?)高三获得冠军有两种情况:高三胜两场;三个队各胜一场. 1高三胜两场的概率为×(1-p) 31121，p，(1,p)，三个队各胜一场的概率为 3232所以1121112，p，(1,p)，(1,p),所以p,.32323336分 (?)高三的得分X 的所有可能取值为0,1,2 2p2-p1-pp(x=0)=，p(x=1)=，p(x=2)=， 333所以X的分布列为: X 0 1 2 2p2-p1-p P 333故X的期望为4-3pE(X)=312分 19.(?)证明:因为AB?面BBCC，所以AB?BC， 111在?CBC中，由余弦定理得BC，故BC?BC. 1113又BC?AB =B，所以CB?平面1ABC.4分 (?)由(?)可知AB,BC,BC两两垂直， 1建立如图空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，33C(0,0,)B(-1，0,), 113所以=(-1，0，) CC13设CE=(-1，0,), CC1所以E(1-，0，3)6分 33AB=(1-,-1，)，=(-1, -1，)设平面ABE的AE11一个法向量为=(x,y, z)， n1,3-33(1,)x,y，3z,0,，y,3则令z=，则x= ,2-,2,x,y，3z,0,3-33，3 所以=()，面向BEB的法向量为n11,2-2-=(0,1,0).9分 n2233由|cos,|=,得2-5+3=0，解得=1或= nn1222所以=1时，CE=2;=3时，CE =3.12分 20.(?)证明:设A(x,y)，B(x,y)，把y=kx+2代入112222y=2x得2x-kx-2=0 2kkkk所以x+x=，x=x=，所以N(,). 12NM24482因为(2x)'=4x，所以抛物线在N点处的切线斜率为k ，故该切线与AB 平行.4分 (?)假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过N点，则1|MN|=|AB| 2211k(y，y),(kx，kx，4),，2由(?)知y=,又因为MN垂直M1212224于x轴， 216k，所以|MN|=y-y=， MN8而12221，k,1，k?16，k|AB|=|x-x|?.1228分 2116k，221?16，k，k,所以，解得k=?2 24所以，存在实数k=?2使以AB为直径的圆M 经过N 点. 222a21.解:(?)由f(x)=x+aln x，得f'(x)=2x-+, 2xxx22a2由已知得2x-+?0在x?2,3上恒成立，即a?-2x 2xxx恒成立. 2设g (x)=-2x ，则g'(x )=-4x <0，所以g(x)在x?2x2,3上单调递减， g(x) =g(2)=-7，所以a?max-7.4分 f'(x),f'(x)12(?)证明:|k|,1等价于|,1，等价于x,x12f'(x),f'(x)12|,|x-x|, 12aa22f'(x),f'(x)12x,，,x,，(2)(2)而|=| 1222xxxx1212(2x，x)a12=|x1-x2|?|2+-| 22xxx，x1212(2x，x)a12所以只需要证明|2+-|,22xxx，x12121.6分 (2x，x)(2x，x)1212即a,x+x+或a,3x+x+， 12122222x，xx，x1212(2x，x)12而a,3x+x+，显然不可能对一切正实数xx均成1212 22x，x12立， (2x，x)12所以只需要证a,x+x+成1222x，x12立.8分 2(2x，x)4412因为x+x+,xx+，设t=,M(t)=t+(txx12121222tx，xxx1212,0) 43得M(t)=2t-当t=时M(t)=0 ,22t33在t?(0，)上，M(t)递减;在t?(,+?)上，M(t)22递增 (2x，x)3312所以M(t)?3108=,4?a，所以a,xx+ 412xx12f'(x),f'(x)12所以|,1，即当a?4时，|K|,x,x121.12分 522.(?)依题意得A 、B 、C 、D 的极坐标为(2,),(2,),361146(2,),(2,) 3所以A 、B 、C 、D 的直角坐标为3333(1,),(-,1),(-1,-),(,-1).5分 ,x,2cos,0(?)设P(x,y)，其中. 00,y3sin,0,222222则t =|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=4x+4y+16， 002所以,t =32+20sin?32,52，故取值范围是32,52. 23. 解:(?)证明:记f (x) =|x-1|-|x+2|， 3，x,2,11-2x,1,则f(x)=，所以解得-,x,，故,2,x,1,22,3,x,1.,11M=(-,). 22ab11所以，|?|a|+|b|,，363611111×+×=.5分 326242211(?)由(?)得0?a,，0?b,. 442222222|1-4ab|-4|a-b|=(1-8ab+16ab)-4(a-2ab+b)=4(a-1)(2b-1)>0. 所以，|1-4ab|,2|a-b|.10分