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2017青海高考数学压轴试题（含答案）2017青海高考数学压轴试题(含答案) 考试时间:120分钟 满分:150分钟 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. iz,i1，i1(复数(其中为虚数单位)的虚部是 ( ) 1111,i,iA.B.C.D.2222 A,yy,x,1,x,RB,xx,22(已知集合，则下列结论正确的是( ) A.,3,AB.3,BC.D.ABB,ABB, 9009001200、3(某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) A.15B.20C.25D.30 S,aSa,18,an8nn454(已知等差数列的前项和为，若，则 ( ) 4 3 A.18B.36C.54D.72 3 125(x,)4xx2 5(在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) 侧视图正视图 A.10B.,10C.,5D.20 3 6(若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于( ) 俯视图 A.30B.C.D.12244 ,0,x,yy,sinx27(已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是( ) 142222A.B.C.D.,2, a,(a,a)b,(b,b)12128(设向量，定义一种向量积: ,1m,(,4)n,(,0)a,b,(a,a),(b,b),(ab,ab)2612121122(已知向量，点P在yx,cosyfx,()OQ,m,OP，n的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足(其,yfx,()63中O为坐标原点)，则在区间上的最大值是( ) 2322A(4 B(2 C( D( 二、青海高考数学压轴试题 填空题(本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分(每小题5分，满分30分) (一)必做题:第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答( yx,log(32)39( 函数的定义域是 . 2y,4x10(以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 . 11(用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个. x,0,x,y，1,y,1x，yx,y,12(设变量满足，则的最大值是 . f(x)f(,1),2f'(x),2f(x),2x，4x,RR13(函数的定义域为，对任意，则的解集为 . (二)选做题:第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。 ,cos,sin,，5,0A，B14(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，分别是直线和 ,2sin,A，B圆上的动点，则两点之间距离的最小值是 . O ,OAB15(几何证明选讲选做题)如图所示，是等腰三角形， PAB是底边延长线上一点， A B P PO,3OAPA,PB,4且，则腰长= . 三、青海高考数学压轴试题 解答题:(本大题共6小题，满分80分(须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤() 16(本小题满分12分) xxsin,2cos,022已知. tanx(1)求的值; cos2x,2cos(，x),sinx4 (2)求的值( 17(本小题满分12分) 050,去年2月29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为5,1515,2525,3535,45，,，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. a (1) 求的值; (2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值; in,1,2,3,？，xpiiii (注:设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则Xxpxpxpxp,，？112233nn样本数据的平均值为.) 15(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据,3中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望. 频率 组距 0.032 a 0.020 0.018 18.(本小题满分14分) O 5 15 25 35 45 空气质量指数 ABCABC,ABC,AABBAAAB,21111111如图，在直三棱柱中，平面侧面，且 ABBC,(1) 求证:; ,AACB,ABCAC116(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。 C A11 B 1 A C B 19(本小题满分14分) 1Sna,，,(1)(1)1nna,a,3nn12已知数列中，前项和( a,n(1) 求数列的通项公式; ,1, aaTTM,nn，1nnnnM(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都 M成立,若存在，求出的最小值;若不存在，请说明理由( 20(青海高考数学压轴试题(本小题满分14分) 22xy1C:1，,22(0)ab,P(2,1)10ab2椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为( C(1) 求椭圆的标准方程; lykxm:,，CAB、AB、AB(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直Cl径的圆过椭圆的右顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标( y l A P x O AFF2 1 2 B 21(本小题满分14分) 132fxxbxcxbc(),，,gxfx()(),fx()x3已知关于的函数，其导函数为(记函数 ,11,M在区间上的最大值为( 4,fx()x,1bc、3(1) 如果函数在处有极值，试确定的值; b,1cM,2(2) 若，证明对任意的，都有; Mk,bc、k(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值( 青海高考数学压轴试题参考答案与评分标准 一(选择题:共8小题，每小题5分，满分40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D A C A A 111z,，iC2221. 【解析】化简得，则虚部为，故选 A,(,3,，,),B,2,，,),A:B,BC？2. 【解析】已知集合,故选 3:3:43. 【解析】三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人 450，,203，3，4B数为人，故选 8(a，a)45S,728a，a,18a，a,a，a45451824. 【解析】由题意，等差数列中，所以，D故选 rr10,3rC(,1)x10,3r,45r,25. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，则得，224C(,1),10x5A所以含项的系数为，故选 3 6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的， 1112 3 V,，,，,345(34)324C232如图，故选 4 第6题图 ,0,yx,sinx27. 【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成s14P,2,s,2，Sxdx,sin1,220A的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选 8.选A 二(填空题:共7小题，每小题5分，满分30分(其中1415题是选做题，考生只能选做一题( 2y22x,1(,，,)3339( 10( 11(12 12( (1,),，,5221, 13( 14( 15( 22(,，,)x,3x,2,0339. 【解析】由得，则定义域为: ce,2222(1,0)a,1c,2cab,，a10(【解析】抛物线焦点，则双曲线中:，且，得，又2y2y x,13b,33得，则双曲线的标准方程为: 11(【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4， C B 31 214当末位是时，前三位将，三个数字任意排列，则 x 33A,6A,6O 1 334有种排法，末位为时一样有种，两类共有: -1 A 3212A,y=-x 312种，故共有没有重复数字的偶数个。 12(【解析】由约束条件画出可行域如图所示， zxy,，xy，B(2,1)xy，,33则目标函数在点取得最大值， 代入得，故的最大值为。 ,gxfxx()()24,gxfx()()20,gx()R13(【解析】设函数，则，得函数在上为增函数， gf(1)(1)2(1)40,，,fxx()24,，gx()0,x,1且，所以当时，有，得， fxx()24,，(1,),，,故不等式的解集为 22xy，,(1)1lxy:50,，,(0,1)14(【解析】由题意，直线，圆的标准方程，则圆心到ABdr,221l22minr,1直线的距离为，且圆半径，故 OOAOOAOBr,POB15(【解析】以为圆心，以为半径作圆，则圆经过点，即，设O与圆交于 (3)(3)4，,rrCPOOPAPBPDPC ,D点且延长交圆与点，由切割线定理知，即， r,5OAr,5得，所以 D O 三、解答题: C 16(本小题满分12分) A B P xxxsin2cos0,cos0,222解:(1)? ，则 -1分 xtan2,2? -2分 x2tan2tanx,x21tan,2? -4分 224，,2123, -5分 22cossinxx,222cossinsinxxx,22,(2) 原式 -7分 (cossin)(cossin)xxxx,，,(cossin)sinxxx, -9分 cossinxx，,sinx -10分 1tan，x,tanx -11分 1,4 -12分 17(本小题满分12分) 0.020.0320.018101，,a， (1) 解:由题意，得， 1分 a,0.03 解得. 2分 50(2)解:个样本中空气质量指数的平均值为 X,，,0.2100.32200.3300.184024.6 3分 24.6由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分 5,15，,(3)解:利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”， 1, B3,5,0.2且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分 ,0,1,2,3 的取值为， 6分 324641448,01,PC,0PC,，,1，33,551255125, ， 23141211,32,PC,，,2PC,3，33,512555125, ，. 10分 , ?的分布列为: 0312 , 6448121P 125125125125 11分 64481213,，,E55?. 12分 13,，,E355 (或者) 18(青海高考数学压轴试题(本小题满分14分) AB1DAD解:(1)证明:如右图，取的中点，连接， 1分 AAAB,ADAB,11因，则 2分 ABC,AABBABCAABB,AB:1111111由平面侧面，且平面侧面， 3分 A C 11ADABC,平面ABCBC11,E 得，又平面， B 1ADBC,所以. 4分 D ABCABC111因为三棱柱是直三棱柱， A C AAABC,底面AABC,11则， 所以. B AAADA:=AABBBC,111又，从而侧面 ， AABBABBC,11AB,又侧面，故. 7分 ADABC,平面平面ABCCDCDAC11(2)解法一:连接，由(1)可知，则是在内的,，ACD=平面ABC，ACDAC16射影 ? 即为直线与所成的角，则 8分 ,AABAAAB,2AB111D 在等腰直角中，且点是中点 1,，ADC=，ACD=ADAB,21AC,22622 ? ，且， ? 9分 AEAC,1EDE 过点A作于点，连 ADABC,平面ADAC,AEADA:,11 由(1)知，则，且 AACB,1，AED ? 即为二面角的一个平面角 10分 AAAC 22226，,1AE,，ADE=,AACAC323AD=2121 且直角中: 又， AD23sin=，,AEDAE226AACB,31? ，且二面角为锐二面角 ,，AED=AACB,133 ? ，即二面角的大小为 14分 BBABC,底面ABBC,1B 解法二(向量法):由(1)知且，所以以点为原点，以BCBABB、xyz,Bxyz,1所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设A(0,2,2)A(0,2,0)B(0,0,0)Ca(,0,0)BCa,1，则， ， ， ,BA,(0,2,2)AA,(0,0,2)BCa,(,0,0)ACa,(,2,0)11 ， ， ， 9分 ,nxyz,(,)ABC11设平面的一个法向量 ,BCn,BAn,111由， 得: xa,0,n,(0,1,1)220yz，,y,1xz,0,1,1 令 ，得 ，则 10分 ,平面ABCAC,16设直线与所成的角为，则 ,ACn ,21,1sin,262ACn42，a1AC,(2,2,0)a,2得，解得，即 12分 ,nn,(1,1,0)AAC122又设平面的一个法向量为，同理可得， AACB,1设锐二面角的大小为， ,nn1 12coscos,nn,12,(0,),2nn1232则，且，得 ,AACB,13? 锐二面角的大小为。 14分 19(本小题满分14分) 1Sna,，,(1)(1)1nn2解:(1)(解法一)? 1Sna,，,(2)(1)1nn，112 ? 1,，,，nana(2)(1)(1)(1)nn，1aSS,nnn，112 ? 3分 nana,，,(1)1nn，1 整理得 (n，1)a,(n，2)a,1n，2n，1 ? (1)(2)(1)nananana，,，,，nnnn，211 两式相减得 5分 (1)2(1)(1)0nanana，,，,nnn，21 即 aaa,，,20aaaa,nnn，21nnnn，211?，即 7分 a,n? 数列是等差数列 a,3a,5d,212且，得，则公差 an,，21n? 8分 1Sna,，,(1)(1)1nn2(解法二) ? 1Sna,，,(2)(1)1nn，11aSS,nnn，112 ? ? 1,，,，nana(2)(1)(1)(1)nn，12 3分 nana,，,(1)1nn，1 整理得 aa1nn，1,nn(1)，nnnn，1(1) 等式两边同时除以得 ， 5分 aa111nn，1,nnnnnn，1(1)1即 6分 累加得 aaaaaaaannnnn,112211,，,，,，？112211,nnnnn 11111111,，,，,，,，？13,，2nnnnnn,112232n an,，21n 得 8分 an,，21n(2) 由(1)知 11111,()aann ，(21)(23)nn，122123nn， ? 10分 111111111T,，,，,，,？()nnnnn,，2355721212123 ? 1111,(),2323n，6 12分 1M,TM,()TM,nnnmax6 则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要 1TM,nn6MM ? 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为14分 20(本小题满分14分) c1e,a2解:(1)由题: ? 左焦点 (,c,0) 到点 P(2,1) 的距离为:d = (2 + c) 2 + 1 2 = 10 ? 2分 由?可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2,c 2 = 3( 3分 y x 2y 2l ?所求椭圆 C 的方程为 + = 1 ( 4分 A 43P (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2,12 = 0( x O 8km4m 2,12FFA1 2 2 ?x1 + x2 = , ，x1x2 = ， 6分 4k 2 + 34k 2 + 3且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m( B ?AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 A2A A2B = 0( 7分 所以 (x1,2,y1)?(x2,2,y2) = (x1,2) (x2,2) + y1y2 = (x1,2) (x2,2) + (kx1 + m) (kx2 + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km,2) (x1 + x2) + m 2 + 4 4m 2,128km= (k 2 + 1)? ,(km,2)? + m 2 + 4 = 0 ( 10分 4k 2 + 34k 2 + 32整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0(?m = , k 或 m = ,2k 都满足 ? > 0( 12分 7若 m = ,2k 时，直线 l 为 y = kx,2k = k (x,2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去;13分 2222若 m = , k 时，直线 l 为 y = kx, k = k (x, )， 恒过定点 ( ,0) ( 147777分 21(青海高考数学压轴试题(本小题满分14分) 4,2,fxxbxc()2,，fx()x,13解:(1) ?，由在处有极值，可得 ,fbc(1)120,，,b,1b,1,14,fbcbc(1),，,c,1c,333, ，解得，或 2分 22,fxxxx()21(1)0,，,fx()b,1c,1若，则，此时函数没有极值;3分 2,fxxxxx()23(1)(1),，,，,fx()fx()b,1c,3x 若，则,此时当变化时，的变化情况如下表: x(,3),(3,1),(1,)，,31 ,fx(),00,， 4,12fx()? ? ? 极小值 3极大值 4,fx()x,1b,1c,33 ? 当时，有极大值，故，即为所求。 4分 222,gxfxxbxcxbbc()()2(),，,，(2)证法一: b,1,yfx,()1,1,xb, 当时，函数的对称轴位于区间之外 ,fx()1,1,g(1),g(1)M ? 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个 ggbcbcb(1)(1)121244，,，,，,2M,M,2 ? ，即 8分 b,1,yfx,()1,1,xb,证法二(反证法):因为，所以函数的对称轴位于区间之外， ,fx()1,1,g(1),g(1)M ? 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个， ,，,gbc(1)122,gbc(1)122,，,M,2 假设，则，将上述两式相加得: 6分 4121244,，,，,bcbcb44, ,得，产生矛盾， M,2 ? 8分 22,gxfxxbbc()()(),，(3) b,1M,2 (i)当时，由(2)可知; 9分 b,1,yfx,()1,1,xb,(ii)当时，函数的对称轴位于区间之内， Mgggb,max(1),(1),(),ffb(1)(1)4,此时，由，有2,fbfb()(1)(1)0, ,fffb1(1)(),gggb(1)max(1),(),，,10b? 若，则，则， 11,Mffbffbffb,，,max(1),()(1)()(1)(),22 于是 112,(1)b22 11分 ,fffb,1(1)()gggb(1)max(1),(),，,01,b? 若，则，则 于是 11112,Mffbffbffb,，,max(1),()(1)()(1)(),，,(1)b,2222 13分 1M,cb2综上可知，对任意的、都有 1112gxx(),，M,c,1,1,2b,0Mk,22而当，时，在区间上的最大值 ，故对任1cbk2意的、恒成立的的最大值为。 14分