最新高中数学典型例题分析函数概念与基优秀名师资料.doc

高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 §2.1§2.1 映射、函数、反函数映射、函数、反函数 一、知识导学一、知识导学 1.映射：一般地，设 A、B 两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 A 中的任 何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合 A 到集 合 B 的映射，记作 f：AB.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的对应法则) 2.函数： 设 A，B 都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合 A 中每一个元 素x，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，且 B 中每一个元素都的原象，这样的对应叫 做从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 ( )yf x . 其中所有的输入值x组成的集合 A 称为函数 ( )yf x 定义域. 对于 A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合 称为函数的值域. 3.反函数：一般地，设函数 y=f(x)(xA)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系， 用 y 把 x 表示出来，得到 x=f-1(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x 在 A 中都有唯 一的值和它对应，那么 x=f-1(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数 叫做函数 y=f(x)(xA)的反函数，记作 x=f-1(y). 我们一般用 x 表示自变量，用 y 表示 函数，为此我们常常对调函数 x=f-1(y)中的字母 x,y，把它改写成 y=f-1(x) 反函数 y=f- 1(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域. 二、疑难知二、疑难知识导析识导析 1.对映射概念的认识 (1) 与 是不同的，即 与 上有序的.或者说：映射是有方向的， (2) 输出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值.集 合 A 中每一个输入值，在集合 B 中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合 B 中有剩留元 素；允许多对一，不允许一对多. (3)集合 A，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合. 2.对函数概念的认识 （1）对函数符号 ( )f x的理解知道 y=( )f x与 ( )f x的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量，( )f x是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应. (2)注意定义中的集合 A，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； （3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法. 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 3.对反函数概念的认识 （1）函数y=( )f x只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不 能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得. （3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于 y=x 对称. 三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11设 Ma，b，c ，N2,0,2,求（1）从 M 到 N 的映射种数； （2）从 M 到 N 的映射满足 f(a)f(b)f(c),试确定这样的映射f的种数. 错解错解：（1）由于 Ma，b，c ，N2,0,2 ，结合映射的概念，有 220022 0 ,2 ,2 ,2,0 ,2 222220 aaaaaa bbbbbb cccccc ，共 6 个映射 (2)由（1）得满足条件的映射仅有 2 0 2 a b c 一种情况 错因错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清 正解正解：（1）由于 Ma，b，c ，N2,0,2 ，结合映射的概念，有 一共有 27 个映射 （2）符合条件的映射共有 4 个 0222 ,2,2,0 ,0, 2220 aaaa bbbb cccc 例例 22已知函数( )f x的定义域为0，1，求函数(1)f x 的定义域 错解错解：由于函数( )f x的定义域为0，1，即01x，112x (1)f x 的定义域是1，2 错因错因：对函数定义域理解不透，不明白( )f x与( ( )f u x定义域之间的区别与联系，其实在 这里只要明白：( )f x中x取值的范围与( ( )f u x中式子( )u x的取值范围一致就好了. 正解正解：由于函数( )f x的定义域为0，1，即01x(1)f x 满足011x 10x ，(1)f x 的定义域是1，0 例例 33已知： *, xN 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ，求(3)f. 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 错解错解： 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ，(2)(2)53f xxx 故 5(6) ( ) 3(6) xx f x xx ，(3)f330. 错因错因：没有理解分段函数的意义，(3)f的自变量是 3，应代入(2)f x 中去，而不是代入 x5 中，只有将自变量化为不小于 6 的数才能代入解析式求解. 正解正解： 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ， (3)f(32)(5)ff(52)(7)ff7-52 例例 44已知( )f x的反函数是 1( ) fx ，如果( )f x与 1( ) fx 的图像有交点，那么交点必在 直线yx上，判断此命题是否正确？ 错解错解：正确 错因错因：对互为反函数的图像关于直线yx对称这一性质理解不深，比如函数 1 16 1 ()log 16 x yyx与的图像的交点中，点 1 11 1 ( , ), 2 44 2 （，）不在直线yx上，由此可以 说明说明“两互为反函数图像的交点必在直线yx上”是不正确的. 例例 55求函数 2 ( )46yf xxx，1,5)x的值域. 错解错解： 22 (1)14 163,(5)545611ff 又1,5)x，( )f x的值域是311， 错因错因: :对函数定义中，输入定义域中每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应，错误地理解为 x 的两端点时函数值就是 y 的取值范围了. 正解正解：配方，得 22 ( )46(2)2yf xxxx 1,5)x，对称轴是2x 当2x 时，函数取最小值为(2)f2， ( )(5)11f xf ( )f x的值域是211， 例例 66已知( )34f xx，求函数 1( 1)fx 的解析式. 错解错解：由已知得(1)3(1)437f xxx 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 37,yx即 7 3 y x ， 1( 1)fx 7 3 x 错因错因：将函数 1( 1)fx 错误地认为是(1)f x 的反函数，是由于对函数表达式理解不透 彻所致，实际上(1)f x 与 1( 1)fx 并不是互为反函数，一般地应该由( )f x先求 1( ) fx ，再去得到 1( 1)fx . 正解正解：因为( )34f xx的反函数为 1( ) fx 4 3 x ， 所以 1( 1)fx (1)43 33 xx 1 1 3 x 例例 77根据条件求下列各函数的解析式： （1）已知( )f x是二次函数，若(0)0,(1)( )1ff xf xx，求( )f x. （2）已知(1)2fxxx，求( )f x （3）若( )f x满足 1 ( )2 ( ),f xfax x 求( )f x 解解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解 设( )f x 2 (0)axbxca由于(0)0f得 2 ( )f xaxbx， 又由(1)( )1f xf xx， 22 (1)(1)1a xb xaxbxx 即 22 (2)(1)1axab xabaxbx 21 1 0 2 1 abb aab ab 因此：( )f x 2 11 22 xx (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解 设 22 ( )(1)2(1)1(1)f uuuuu ( )f x 2 1x （1x ） （3）由于( )f x为抽象函数，可以用消参法求解 用 1 x 代x可得： 11 ( )2 ( ),ff xa xx 与 1 ( )2 ( )f xfax x 联列可消去 1 ( )f x 得：( )f x 2 33 aax x . 点评点评：求函数解析式（1）若已知函数( )f x的类型，常采用待定系数法；（2）若已知 1(0),1(1)uxxxuu 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ ( )f g x表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 例例 88 已知xyx623 22 ，试求 22 yx 的最大值. 分析分析：要求 22 yx 的最大值，由已知条件很快将 22 yx 变为一元二次函数 , 2 9 )3( 2 1 )( 2 xxf然后求极值点的x值，联系到0 2 y，这一条件，既快又准地求 出最大值. 解 由 xyx623 22 得 . 2 0, 03 2 3 , 0 .3 2 3 22 22 xxxy xxy 又, 2 9 )3( 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 当2x时， 22 yx 有最大值，最大值为 . 4 2 9 )32( 2 1 2 点评点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下： 由 xyx623 22 得 ,3 2 3 22 xxy , 2 9 )3( 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 当3x时， 22 yx 取最大值，最大值为 2 9 这种解法由于忽略了0 2 y这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅 能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知 条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解 题 例例 99设( )f x是 R 上的函数，且满足(0)1,f并且对任意的实数, x y都有 ()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的表达式. 解法一解法一：由(0)1,f()( )(21)f xyf xyxy，设xy， 得(0)( )(21)ff xxxx，所以( )f x 2 1xx 解法二解法二：令0x ，得(0)(0)(1)fyfyy 即()1(1)fyyy 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 又将y用x代换到上式中得( )f x 2 1xx 点评点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量 相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 四、典型习题导练四、典型习题导练 1. 已知函数 f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素 的个数是（ ） A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 2 2.对函数baxxxf 2 3)(作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是( )A. ttg 2 1 log)(B. t tg) 2 1 ()( C.g(t)=(t1)2D.g(t)=cost 3.方程f(x,y)=0 的曲线如图所示，那么方程f(2x,y)=0 的曲线是 ( ) 4.（06 年高考全国 II）函数 f(x)的最小值为 19 i1 |xn| A190 B.171 C.90 D.45 5. 若函数f(x)= 34 x mx (x 4 3 )在定义域内恒有ff(x)=x,则m等于( ) A.3B. 2 3 C. 2 3 D.3 6.已知函数( )f x满足：()( )( )f abf af b，(1)2f，则 2222 (1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) (1)(3)(5)(7) ffffffff ffff . 7.已知函数f(x)满足f(logax)=) 1 ( 1 2 x x a a (其中a0,a1,x0),求f(x)的表达式. 8.已知函数( )f x是函数 2 1 101 x y （xR）的反函数，函数( )g x的图像与函数 43 1 x y x 的图像关于直线 yx1 成轴对称图形，记( )F x( )f x+( )g x. （1）求函数 F（x）的解析式及定义域； （2）试问在函数 F（x）的图像上是否存在两个不同的点 A、B，使直线 AB 恰好与 y 轴垂直？ 若存在，求出 A、B 两点的坐标；若不存在，说明理由. §2.2§2.2 函数的性质函数的性质 ABCD 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 一、知识导学一、知识导学 1.函数的单调性： （1）增函数：一般地，设函数 ( )yf x 的定义域为 I，如果定义域 I 内某个区间上任 意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2时，都有 f(x1)3x2,即x2+x60 解得x2 或x3x2,即x2+x60,解得x2 或x0,1x1x20， 21 12 1xx xx 0, 又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1) 2 1 时，f(x)0. (1)求证：f(x)是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 7.已知函数y=f(x)= cbx ax 1 2 (a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当x0 时，f(x)有最小值 2， 其中bN 且f(1)1 时，图像越接近 x 轴，底数 a 越大; 当 01 时，指数大的图像在上方. 二、疑难知识导析二、疑难知识导析 1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称 轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在 对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内 2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些 运算性质防止出现下列错误： （1）式子 nn aa， （2）log ()loglog;log ()loglog aaaaaa MNMNM NMN 3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值. 4.函数 ( )f x ya的研究方法一般是先研究( )f x的性质，再由a的情况讨论 ( )f x ya的 性质. 5.对数函数logayx(0,1)aa与指数函数 x ya(0,1)aa互为反函数，会将 指数式与对数式相互转化. 6.幂函数yx的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响. （1）当 奇 奇 时，幂函数是奇函数；（2）当 奇 偶 时，幂函数是偶函数；（3）当 偶 奇 时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数. 三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11已知 18 log 9,185, b a求 36 log45 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 错解错解：185, b 18 log 5b 181818 36 18181818 log45log 5log 9 log45 log 36log4log 9log4 ba a 错因错因：因对性质不熟而导致题目没解完. 正解正解：185, b 18 log 5b 181818 36 2 181818 1818 log45log 5log 9 log45 1818 log 36log4log 92 log ()2log () 99 bababa a aa 例例 22分析方程 2 ( )0f xaxbxc（0a ）的两个根都大于 1 的充要条件. 错解错解：由于方程 2 ( )0f xaxbxc（0a ）对应的二次函数为 2 ( )f xaxbxc的图像与 x 轴交点的横坐标都大于 1 即可. 故需满足 (1)0 1 2 f b a ，所以充要条件是 (1)0 1 2 f b a 错因错因：上述解法中，只考虑到二次函数与 x 轴交点坐标要大于 1，却忽视了最基本的的前 题条件，应让二次函数图像与 x 轴有交点才行，即满足0，故上述解法得到的不是充要 条件，而是必要不充分条件. 正解正解：充要条件是 2 (1)0 1 2 40 f b a bac 例例 33求函数3612 65 xx y 的单调区间. 错解错解：令6xt，则3612 65 xx y 2 125tt 当 t6,即 x1 时，y 为关于 t 的增函数， 当 t6,即 x1 时，y 为关于 t 的减函数 函数3612 65 xx y 的单调递减区间是(,6，单调递增区间为6,) 错因错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围. 正解正解：令6xt，则6xt 为增函数， 3612 65 xx y 2 125tt 2 (6)41t 当 t6,即 x1 时，y 为关于 t 的增函数， 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 当 t6,即 x1 时，y 为关于 t 的减函数 函数3612 65 xx y 的单调递减区间是(,1，单调递增区间为1,) 例例 44已知)2(logaxy a 在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是 错解错解：)2(logaxy a 是由uy a log，axu 2复合而成，又a0 axu 2在0，1上是x的减函数，由复合函数关系知 uy a log应为增函数，a1 错因错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制， 单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在0，1上有意义. 正解正解：)2(logaxy a 是由uy a log，axu 2复合而成，又a0 axu 2在0，1上是x的减函数，由复合函数关系知 uy a log应为增函数，a1 又由于x 在0，1上时 )2(logaxy a 有意义，axu 2又是减函数，x1 时， axu 2取最小值是au 2 min 0 即可， a2 综上可知所求的取值范围是 1a2 例例 55已知函数( )log (3) a f xax. （1）当0,2x时( )f x恒有意义，求实数a的取值范围. （2）是否存在这样的实数a使得函数( )f x在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1， 如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 分析分析：函数( )f x为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解 题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：解：（1）由假设，ax30，对一切0,2x恒成立，0,1aa 显然，函数 g(x)= ax3在0，2上为减函数，从而 g(2)32a0 得到a 3 2 a的取值范围是（0，1）（1， 3 2 ） (2)假设存在这样的实数a，由题设知(1)1f，即(1)log (3) a fa1 a 3 2 此时 3 ( )log (3) 2 a f xx 当2x 时，( )f x没有意义，故这样的实数不存在. 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 点评点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的 处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成 立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决. 例例 66已知函数f(x)= 1 421 lg 2 aa a xx , 其中a为常数，若当x(, 1时, f(x)有 意义，求实数a的取值范围. 分析分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非 常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依 存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解： 1 421 2 aa a xx 0, 且a2a+1=(a 2 1 )2+ 4 3 0, 1+2x+4x·a0, a) 2 1 4 1 ( xx , 当x(, 1时, y= x 4 1 与y= x 2 1 都是减函数， y=) 2 1 4 1 ( xx 在(, 1上是增函数，) 2 1 4 1 ( xx max= 4 3 , a 4 3 , 故a的取值范围是( 4 3 , +). 点评：点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换 位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的 表现.本题主客换位后，利用新建函数y=) 2 1 4 1 ( xx 的单调性转换为函数最值巧妙地求出 了实数a的取值范围.此法也叫主元法. 例例 77若 11 33 (1)(32 )aa ，试求a的取值范围. 解解：幂函数 1 3 yx 有两个单调区间， 根据1a 和32a的正、负情况，有以下关系 10 320. 132 a a aa 10 320. 132 a a aa 10 . 320 a a 解三个不等式组：得 2 3 a 3 2 ，无解，a1 a的取值范围是（，1）（ 2 3 ， 3 2 ） 点评点评：幂函数 1 3 yx 有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认 为132aa ，从而导致解题错误. 例例 88 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = 1 2 a a (x x 1 ) 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ (1)求 f(x)； (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于 f(x) ,当 x (1 , 1)时 , 有 f( 1m ) +f (1 m2 ) 0 即)(xfx )1)( )1)()()()( 21 21111 axxx axaxxxxFxxxFxxxfx 0 21 xxx a 1 .01 , 0 21 axxx 0)( 1 xfx 综合得 1 )(xxfx （2）依题意知 a b x 2 0 ，又 a b xx 1 21 a axax a xxa a b x 2 1 2 1)( 2 2121 0 , 01 2 ax 22 11 0 x a ax x 点评点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表 达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函 数的对称轴，即 a b x 2 0 例例 88 已知函数0) 1 (),1(2)( 2 fbccbxxxf，且方程01)(xf有实根. (1)求证：-3bc 且 f(1)=0，证明：f(x)的图像与 X 轴相交； (2)证明：若对 x1、x2R ，且 f(x1) f(x2),则方程 2 )()( )( 21 xfxf xf 必有一实根 在区间（x1,x2）内； (3)在（1）的条件下，是否存在实数 m，使 f(m) = a 成立时,f(m+3)0. §2.5§2.5 函数的综合运用函数的综合运用 一、知识导学一、知识导学 1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合 的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的 同时，使基础知识向深度和广度发展. 2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西，是解决数学 问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数 形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学 问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想. 3.要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学 复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识 解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对 这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了 这方面的考虑. 4.函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题，要求各位同学 有较宽的知识面，能读懂题意，然后对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立 量与量的函数关系，把实际问题材转化为函数问题，通过对函数问题材的解决达到实际问 题解决目的. 二、疑难知二、疑难知识导析识导析 1.为了能较快地解决函数综合问题，要求各位学生 在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各 类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力. 掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法 的运用和推理论证能力的培养. 初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识 解决问题的能力. 树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题. 2.对数学应用题的学习，是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应 用题面前，束手无策；有的读不懂题意；有的不会归纳抽象、建模，因此要解好应用题， 首先应加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转 化为数学问题，再运用数学方法、数学思想去解决问题. 三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11 不等式 ).23(log)423(log 2 )2( 2 )2( 22 xxxx xx 错解错解： , 12 2 x , 23423 22 xxxx . 2 2 3 , 062 2 xxxx或 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 错因错因： 当2x时，真数023 2 xx且2x在所求的范围内（因 2 3 2 ） ，说明解 法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错 误，表现出思维的不严密性. 正解正解 12 2 x 23423 023 0423 22 2 2 xxxx xx xx 2 2 3 12 3 131 3 131 xx xx xx 或 或 或 . 2 2xx或 例例 22将进价为 8 元的商品，按每件 10 元售出，每天可销售 0 件，若每件售价涨价 0.5 元， 其销售量就减少 10 件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利 润. 错解错解：设每件售价提高 x 元，利润为 y 元， 则 y=)20200)(8(xx81) 1(20 2 xx=1 时，1620 max y（元） 错因错因：没理解题意，每天销售 0 件是在定价 10 元时的情况下，所设的应理解为在定价目 10 元的基础上，再每件售价提高 x 元，故利润每件应为（2+x）元，此时的销售量为 （020x）元 正解正解：设每件售价提高 x 元，利润为 y 元，则 y=)20200)(2(xx=720)4(20 2 x 故当4x，即定价为 14 元时，每天可获得最大利润为 720 元. 例例 33某工厂改进了设备，在两年内生产的月增长率都是 m，则这两年内第二年三月份的产 值比第一年三月份的产值的增长率是多少？ 错解错解：设第一年三月份的产值为 a，则经过二年，三月份的产值是 a(1+m)11,则所求增长率 为 1)1 ( )1 ( 11 11 m a ama ，或把第二年三月份的产值写为 a(1+m)13. 错因错因：对增长率问题的公式 x pNy)1 ( 未透彻理解而造成错解，或者是由于审题不细 致而造成题意的理解错误.若某月的产值是 a，则此后第x月的产值为 x ma)1 ( ，指数 x是基数所在时间后所跨过的时间间隔数. 正解正解：设第一年三月份的产值为 a，则第四个月的产值为 a(1+m)，五月份的产值为 a(1+m) 2， 从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第 12 个月，故第二年的三月份的产值是 a(1+m)12，又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月份的产 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 值的增长率为1)1 ( )1 ( 12 12 m a ama 例例 44在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段 内的车速 v（单位：km/h）的平方和车身长l（单位：m）的乘积与车距 d 成正比，且最小 车距不得少于半个车身长.假定车身长均为l（单位：m）且当车速为 50（km/h）时，车距 恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量 Q 最大？ (车流量= 车身长车距 车速 ) 错解错解：lkvd 2 ，将50v，ld 代入得 2500 1 k，lvd 2 2500 1 ，又将ld 2 1 代入得225v， 由题意得lvd 2 2500 1 （225v） 将 Q= ld v 1000 = ) 2500 1 ( 1000 2 v l v （225v） lv v l v v l v l v25000 2500 1 2 1000 ) 2500 1 ( 1000 ) 2500 1 ( 1000 2 当且仅当50v时， l Q 25000 max 综上所知，50v（km/h）时，车流量 Q 取得最大值. 错因错因：上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求225v， 但在行驶过程中车速有可能低于 252（km/h） ，所以解题材中应分两类情形求解，得分 段函数. 正解正解：（1）依题意， )225( 2 1 )225( 2500 1 2 vl vlv d 则 )225( 2 3 1000 )225( ) 2500 1 ( 1000 1000 2 v l v v v l v ld v Q 高中数学辅导网 http:/www.shuxuefudao.com 京翰教育 http:/www.zgjhjy.com/ 显然当225v时，Q 是关于v的增函数，当225v时， l l v Q 3 250000 2 3 1000 max 当225v时，Q= ld v 1000 = lv v l v v l v l v25000 2500 1 2 1000 ) 2500 1 ( 1000 ) 2500 1 ( 1000 2 当且仅当50v时，上式等号成立. 综上所述，当且仅当50v时，车流量 Q 取得最大值. 例例 55 定义在R上的函数 f x满足：对任意实数,m n，总有 f mnf mf n， 且当0x 时， 01f x. （1）试求 0f的值； （2）判断 f x的单调性并证明你的结论； （3）设 22 ,1 ,21,Ax yf xfyfBx yf axyaR，若 AB ，试确定a的取值范围. （4）试举出一个满足条件的函数 f x. 解解：（1）在 f mnf mf n中，令1,0mn.得： 110fff. 因为 10f，所以， 01f. （2）要判断 f x的单调性，可任取 12 ,x xR，且设 12 xx. 在已知条件 f mnf mf n中，若取 21 ,mnx mx，则已知条件可化为： 2121 f xf xf xx . 由于 21 0xx，所以 21 10f xx. 为比较 21 f xf x、的