最新高中数学必修4-必修4第三章教材分析优秀名师资料.doc

高中数学必修4-必修4第三章教材分析必修4第三章教材分析 (一) 编写特色 1( 用向量证明和角公式，引导学生用向量研究和差化积公式。 2( 建立和角公式与旋转变换之间的联系。 3( 融入算法，引导学生找出求正弦函数值的算法。 4( 引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差公式。 5( 和角公式在三角恒等变换及三角计算中的应用。 (二) 内容结构 1(内容编排 本章的主要内容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数的积化和差公式与和差化积公式，为了引起学生学习本章的兴趣，同时为了加强三角变换的实际应用，本章的开篇从一个实际问题出发，通过数学化，得到一个必须通过三角变换才能解决的数学问题，从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。全章共分三大节。 第一大节，首先利用向量的方法证明了两角差的余弦公式，接着导出两角和的余弦公式，再利用诱导公式推出两角和、差的正弦公式，又利用同角三角函数关系式推出两角和、差的正切公式; 第二大节，推导出倍角公式和半角公式。 第三大节，推导出积化和差与和差化积公式，并通过例题讲解以上各公式的应用。 2，地位与作用 变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换，通过本章学习，学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。 三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力，本章将通过三角恒等变形揭示一些问题的数学本质。 3(重点与难点 本章的重点是掌握和角公式的推导过程;难点是理解和角公式的几何意义。 4(本章知识结构 SS2a a-bSTa+bTa-ba+b向量的数量积Ca-b及其坐标运算Ca+b积化和差C2a T2aaT,aa和差化积CS222(三)课时分配 本章教学时间约8课时，具体分配如下: 3(1 和角公式 3(1(1 两角和与差的余弦 2课时 3(1(2 两角和与差的正弦 1课时 3(1(3 两角和与差的正切 1课时 3(2 倍角公式和半角公式 3(2(1 倍角公式 1课时 3(2(2 半角的正弦、余弦和正切 1课时 3(3 三角函数的积化和差与和差化积 1课时 本章小结 1课时 3(1(1两角和与差的余弦(一) 课题 (一)教学目标: 知识目标:理解并掌握两角和、差的余弦公式及其推导过程，理解公式的使用条件;会用公式求值 能力目标:培养学生观察分析、类比、联想能力;推理能力及交流探讨能力。 情感目标:通过问题的引入及对问题的探讨解决激发学生学习数学的兴趣，通过公式的推导培养数学思想方法和良好的思维品质。 (二)教学重点和难点: 本节课的重点是掌握公式结构，会用公式求值;难点是两角差的余弦公式的推导 (三)教学方法: 教师通过问题的创设启发学生探讨解决问题的途径和方法;教师启发式的讲授以及师生、生生间的探讨为一体的教学方式 (四)教学过程: 教学教学内容 师生互动 设计意图 环 节 首先复习两个向量的先让学生阅读书中的问题，并思考如何以旧引新、对实际问题出数量积的两种形式的将其中的实际问题转化成数学问题,进发的思考探讨得到数学运算公式; 而思考你是否能够用你储备的知识解此问题，从而激发学生对本引入新课: 数学问题吗,就此提出章的学习兴趣。 利用课本本章开头的sin()sinsin,，,，是否成复 问题引入新课。 习 立,师生共同探讨。从而引出本章节的引 所研究的内容，即如何用，sin,入 cos,，sin,，cos,表示,的三角函数呢,本节课我们首先研究,的余弦函数。 1、 公式推导和理引导学生用向量方法求的余弦通过求两个已知向量的，AOB解: 值。 夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结问题1、已知:点师问:由余弦值的表达式你能发现什论，使学生体会和认识到O(0,0)A(1,1)，么, “温故而知新”的研究数教 学问题的思想方法。 xxyyB(1,2),，求，AOB学 1212cos，,，AOB生答: rrrr过 1212的大小, 程 x 师问:如果定义直线与轴的正方OA,x问题2、已知:点向的夹角为，直线与轴的正方OBAxy(,)O(0,0),，向的夹角为，那么上式又揭示了什么11结论呢, Bxy(,)， 如何用,，表示, 此时,，AOB22求的大小, ，AOB师生共同探讨得出公式:cos()coscossinsin,，此时让学生看书有关公式的具体证明过程。 2、公式的深化: 师问:对公式的思考(1)观察结构特点;使学生牢记公式并再一教(2)公式的使用条件;(3)如何得出次亲身体会利用旧知识学推出新结论的过程，同时 cos()?,，,过培养学生的化归的数学程 思想方法。 教3公式的应用 通过练习总结出以下内容: 训练学生正用和逆用公学例1， 例2练习B中(1)将一般的角转化为特殊角的和或式，加深对公式结构的记过1; 差，可以不查表; 忆，同时培养学生逆向思程 教师讲评 (2)在运用公式时，不仅会正用而且要维方法。 善于逆用; 让学生认识到求一个一(3)让学生编出相应的题目。 般角的余弦值可以转化为特殊角的和或差的余弦值的数学转化思想 归 让学生谈收获和体会 纳 小 结 布 看书复习，并预习例 置 2和例3并尽所能的作 做练习A、B中的习业 题 备注: 三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力，课本的题目应适当拓展。 课题 3.1.1两角和与差的余弦(2) (一)教学目标 1、知识目标:会用公式求值和证明。 2、能力目标:培养学生分析问题解决问题的能力，推理，联想能力。 3、情感目标:发展学生的正向，逆向思维能力，前后知识灌溉和呼应的能力，培养良好、严谨的数学思维品质。 (二)教学重点，难点 重点是运用公式求值，证明，并建立与原有知识(诱导公式)，方法(旋转变换)的联系。 难点是公式的变形和逆向应用。 (三)教学方法 教师按照例题设计的思路适度引导学生自发地思考问题，通过提问，讨论等形式来促使学生自己思考，自发学习，获得解决问题的途径，同时构建基于旧有知识的更新结构体系。同时，通过切身的尝试和参与来实现思维能力的提升，以达到对这一公式熟练掌握和灵活运用的目的。 (四)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习公式让学生默写两角和与差的余弦公式。同温习所学，引导学生时，从公式形式出发，让学生总结提炼积极思考，进而由简C ,复 渐繁，强化应用。 该公式的本质思想:讨论角的余,习 引 弦和单角,的正弦，余弦函数间的,入 关系，于是，利用这一公式我们可以用已知特殊角来求得某些角的余弦。 P135 A, 学生练习，板演，教师讲评。 是对公式的简单应2 (2)(3) 用。在第二个问题的设置例题， 处理上要用到诱导复习强化 公式。也是为下一步工作的开展做铺垫。 教材例2。 思考: 在以上过程中感受由公式形式来看，对其应用是不是仅仅解决此类问题的思分析，解决局限于特殊角, 想，步骤。进一步，完此问题之由对公式的理解我们知道:由公式出通过学生对练习B后，通过练发，比特殊角更广泛的角可以加入进中题目2的练习达到习B中题目来。前提是只要知道其正，余弦值。 巩固这一类问题的2来巩固该看教材中的例2。 目的。 形式出发，方法和步提问: 小作提升 骤。 欲求其值，打算用何工具, 题目中是否具有了该工具可行的条件, 该条件能否实现,如能，怎么实现, 通过学生讨论，找到解决问题的办法利用和角余弦公式，通过判断各象限角的正，余弦的符号这一部分内容完成题目的瓶颈问题。再利用公式得结果。 教材例3 思考: 既完成了旧知识的通过已有的知识，能否判断该等式成复习又巩固了新知立, 识。从实际操作得依据是什么, 出:证明结论的途径小议证明，通过对上问题的思考温习诱导公式部不唯一。在该例题的建立联系 分的内容以及方法(是用单位圆以及对结论上，不难推广到 称性来实现的)。 一般，建立起诱导公进一步问题:还有没有其他的方法来说C式与的联系，,明这件事情, 引导学生从形式的角度结合新获得的知道诱导公式是工具来看待这个问题。 C的特例，引导,公式的左边可以看作两角和的余弦值，从而想到用两角和的余弦公式尝试证C学生探究由推,来代替明。具体而言，即用(2k，1),出其他余弦形式的诱导公式。体会数学公式中的，则不难推出等式成立。 ,内在的和谐，联系之美。 C问题:能否用推出其他余弦形式, 的诱导公式, B, 引导学生用整体的观点来看待变量从公式的应用不只局4 (2)，5(1) 而达到方便处理的目的: 限在从左到右的正用，还要锻炼从右到cos(,，,)cos,，sin(,，,)sin(,)左的逆用。有助于活跃思维，简化问题，形式上看是两个角，但此处视,提高数学素养。 灵活逆用，为一整体。 ,，,巩固新知 同时化简的过程又是公式逆用的形式;在第二个证明上，可以从右往左推，利用公式展开即可，也可以从左往右，先,写成具体的coscos,，sinsin,66再用公式。也是公式逆用的一个练习。 总结用该公公式的贡献主要体现在“求值”和“证及时小结，有利于形归 式可以解决明”;而证明过程中所用到的方法又是成解题技巧和知识纳 哪些类型的不唯一的，在不同的工具之间又可以建网络。 小 问题，主要立联系。 结 的方法和步 骤是什么。 教材练习:培养学生主动思考,0布 课后思考题:sin15能否不查表而求值? P135 沟通知识间联系的置 A、 一种习惯，同时为下作 2 (4); 3 (1) 一节课的开展做铺业 B、3; 5 (2) 垫。 备注: (1)在教学安排上，注意了知识之间的前后联系和互相灌溉作用，可以布置较为开放性的题目，使学生自己建立科学又符合自身认知规律的知识体系网; (2)在题目的设计上，如果能加入向量工具的思想应该更能强化学生对于知识模块间联系的理解。在这个问题上似乎还需要更深入的探索。 课 题 3.1.2 两角和与差的正弦 一、教学目标 ?知识目标:掌握两角和与差公式的推导过程; ?能力目标:培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ?情感目标:发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。 二、教学重点、难重点:两角和与差公式的应用和旋转变换公式; ，bCosa为一个角的三角函数的形式。 点 难点:两角和与差公式变aSina三、教学方法 温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 四、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 复习:?Cos()=, 学生回答 为证明Sin(,?Sin(/2,)=? )作好准,?任意角三角函数的定义: 备。 若p(x，y) ,op,=r 则Sin=? Cos=? 公式推导及理例:求证: 分析:等式两边注重分析，使解 Sin(+)=SinCos+CosSin 的特征, 学生理解知识证明:(略) 如何由左?右把间的相互转+的正弦化化。 成、的正、 余弦,联系所学 知识，已学过的 哪一个公式可把 +的三角函 数化成、的 函数形式,(学 生回答)故需要 把(+)的正 弦化成与+ 的相关的余弦形 式即可。 问:Sin(+)应 化成哪个角的余 弦形式, , 问:Cos,( 2+)又如何展开 才可得到、 的正、余弦形 求证: 式, Sin(,)=SinCos,CosSin 巩固Sin(+学生证明 )的推导过程。 公式的深化 (标题)两角和与差的正弦 Sin(+)=SinCos+CosSin Sin(,)=SinCos,CosSin (1) 公式的特征及与两角和与差 的余弦的区别 (2) 公式的作用 练习: 巩固公式 正用:求非特殊角的正弦值。如:求 P138/2?，3 Sin75?=, Sin15?=, 逆用:把具有角、的正余弦交叉 积的形式化简求值。如Sin22? Cos38?，Cos22?Sin38?=? 公式的应用 问题:求点p(x，培养学生的分=(3，4)逆时针旋转 例1:已知向量opy)的坐标必须知析能力和运算怎样的条件, 推理能力 ,op45?到的位置，求点p(x，y)的由所给点P的坐 坐标。 标可知哪些结 解:(略) 论, 师生共同完成解 答过程 op=(3，若把向量 4)改为op=(x，例2:已知点P(x，y)与原点的距离 保持不变，逆时针旋转角到点p(x，y)，结论变吗,再 y) 把45?改为， 求证:x=xCos,ySin 对结论有影响 y=xSin，yCos 吗, 证明:(略) 学生证明。 问:公式的记忆 注:这个结论叫旋转变换公式 规律, 练习:P139/2 问题:欲求函数 y=aSinx+bCosx 例3:求函数y=aSinx+bCosx的最大值和最小值，其中ab是不同时为零的的最值和周期， ，实数。 必须化成什么形 解:(略) 式,已知表达式 中的Sinx、Cosx 系数变成同一个 角的余弦、正 弦方可。 设P(a，b)，则 22op,ab， 设以op为终边的 一个角为，则 Cos、Sin即可 用a、b表示 注:凡形如的相关问题，一般提出此时需对22去处理。 ab，y=aSinx+bCosx做怎样的变形, 问题:y=aSinx，bCos还可提22吗, ab， 学生练习 学生看书 练习:(1)求y=Sinx，Cosx的最值和周期 (2)p138例5 归纳小结 本节所学知识:Sin(?)公式的推师生一起总结 培养学生的归导及Sin(?)的应用。 纳整理的学习习惯 作业 P139/A 4，B 1，3 备注: ?注重教学过程，注重探索，应贯穿于每一节课的始终。 ?充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间的内在联系，创设问题情景，激发学生的学习兴趣。 ?通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生的分析问题解决问题的能力。 课题 3(1(3两角和与差的正切 (一) 教学目标 1( 知识目标:掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件;会用公式求值。 2( 能力目标:培养学生的观察、分析、类比、联想能力;间接推理能力(即不能直接套公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论);自学能力。 3( 情感目标:发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质 (二) 教学重点、难点 重点是公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值 难点是公式的逆向和变形运用。 (三) 教学方法 教师按照课本的知识结构先设计若干问题(即“知识台阶”)，课前印发给学生，引导他们阅读课本。课堂上在教师三导(引导、指导、辅导)下，以学生为主体，对所设问题进行读、议、练、讲，其间教师通过提问、参与讨论，巡视学生练习及板演、观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡之中。 (四) 教学过程 教 学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 先让学生默写两角和与差的正弦、余弦公式，以旧引新，注意S复习公式和, 然后指出这两个公式是讨论复角创设问题的情境，通过设疑，引导学C并由此提出问题，与单角的正弦、余弦函,复 生开展积极的思维习 引入新课 活动。 数的关系，且此关系对任意角均,引 入 成立，那么，能否用和来tan,tan,表示tan(,)呢, 公学生阅读课本中“两角和与差的正切”公式的 公式tan(,)的推导式推导，教师板书课题和公式的推导过程。 . 通过对三个问的及两角和与差的正切公 阅毕思考讨论:(投影) 题的分析讨论，使式的“三掌握” (1)公式是如何推导出来的,有什么限推学生对公式有一个导制,(2)公式有何特点,如何记忆,(3)公清晰完整的认识，式有何用处,有何变形, 入为公式的灵活运用由学生回答上述问题，教师点评，结论如理打下基础，并给学解 下:(1)由两角和与差的正弦、余弦公式可推生一个自由的空导正切公式: 间，逐步培养他们的自学能力。 ,tan,tan,tan(,), 1,tan,tan,教教学内容 师生互动 设计意图 学 环节 由正切函数的定义域可知，公式成立的条件 ,是k，(k,Z)都不能取 。 ,2(2)注意符号与等式的结构特征，可理解记忆，对比记忆。 (3)此公式可用来求值，进行三角变换等(学生的回答可能有很多种，教师择要归纳)注意公式的逆向形式和变形形式。 ,有何限制条件, 公对两角和与差的正切公(1)特想:对公式进行深挖tan2,(2)联想:如何推导两角各与差的余切公式,式式“三想” 掘，显示其“辐射”有几种方法, 的“作用，培养学生深的分析、联想能力、(3)扩想:,由学生推导。 tan(,，,，,)优化思维品质 化 公 例1 学生练习、板演、教师讲评，注意几例,是使学生掌握式两角和与差的正切公式个问题:(1)将一般角转化为特殊角的和或差，公式的正向和逆向的的“三会用”。 可以不查表求值;(2)运用公式时，不能仅局运用，并进一步熟应例1 求出下列各式的精限在从左到右的正用，还要善于从右到左的逆悉公式的特征，为用 用。 例2 学生思后在的灵活运用作,确值:(1); tan75考、讨论解决，教师巡视指导，然后教师提问，铺垫。 ,学生回答( 师:有几种解法,如何例,是一道典型例tan17，tan43(2) ,1,tan17tan43求解, 题，对它的解法的巩固练习一:练习A，1，深入探讨，有益于,，再求 生:两种，(一):先求出tan752;练习B，2，3。 启发学生思维，提例2 不查表，求值: 高学生的解题能,值;(二)用代换,，再逆用公式( tan45,力;且在解题过程1，tan75 ,1,tan75 师:哪种解法运算简捷, 中提炼思想方法，巩固练习二: 练习 生:(,) 有利于培养学生良A3(1);练习B，第1题。 师:此法运用的关键是什么, 好的数学思维品例3 不查表，求值: 生:,的代换，配凑公式( 质。 教师指出，这里运用了观察、联想、转例,通过具体例子,tan15，tan30，(1) 化的数学思想。 显示出灵活运用公,tan15tan30 例, 学生思考讨论，教师进行必要的式的优越性，必将启发引导。 给学生留下深刻的,(2) tan17tan43，印象，及时小结，,生:先求出再求解。 tan15,升华公式，有利于tan17tan30，tan43tan30师:还有其他解法吗,(略停顿，启发学生回学生解题技巧的形成。 ,答)这个式子有什么特点,15，30,45; ,出现有“tan15，tan30和“tan15tan30”。 师:好，由此你能联想到什么, 教教学内容 师生互动 设计意图 学 环节 ,tan15，tan30,tan(15，30), 生:,1,tan15tan30师:请试解这一题。 学生做题，教师巡视指导，并让学生板演( T 点评:在公式中，体现了,，三者之tan(,，,)tan,，tan,tan,tan,间的关系，通过变形，可得让学生tan,，tan,?,tan,tan,?完成第(,)小题，并板演。 归从知识、方法两个方面来对公式做到三个“三”:即“三掌握”“三使学生对所学内容纳对本节课的内容进行归想”“三会用” 有一个清晰完整的小纳总结。 认识，并点出学习结 三角公式的基本方法。 布教材习题,，, 巩固本节课所学知置教材习题,，, 识，培养学生自觉作教材习题第,题 学习的习惯，同时业 给学有余力的学生留出自由发展的空间。 备公式变形应用: 注 ,tan20，tan40，3tan20tan40计算(1) 补充 ,(1，tanA)(1，tanB),2(2)已知，求证: A，B,225A，B，C,k,(k,Z)tanA,tanB,tanC(3)课后思考题:当，并且存在时，与有何关系,其逆命题成立吗, tanA，tanB，tanCtanAtanBtanC课 题 3.2.1倍角公式 一教学目标 1.知识目标 ,掌握公式的推导，明确的取值范围; SCT2,2,2,能运用二倍角公式求三角函数值 2.能力目标 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力 3.情感目标 通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点 二教学重点、难点 重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形; C2,难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。 三、教学方法 本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。 四、教学过程 教学环教学内容 师生互动 设计意图 节 先让学生回忆两角和与差的正弦、余 弦、正切公式的来龙去脉，并请一个同 复 学把这六个公式写在黑板上 复习两角和学生板演 温旧知新，让学生明确学习 与差的三角教师点评这些公式:一方面要从公式的习的内容 函数公式 推导上去理解它，另一方面要从公式的引 结构特点上去记忆，还要注意公式的 正、用、逆用和变用。今天，我们继续入 学习二倍角的正弦、余弦和正切公式 1. 引导学生运用已学请学生想一想，在公式 S,，,C,，, 过的两角和的三角公 探索研究 函数公式推得二倍中对 , 如何合理赋值，才,T，,式 二倍角的 角公式，使学生理解的 正弦、余弦 二倍角公式就是两,能出现sin2,cos2,tan2 的表推 和正切公式 角和的三角函数公导 达式，并请同学把对应的等式写在黑板式的特例，这样有助上 于公式的记忆 学生板演 2. 问题的提出可以让教师提出问题:二倍角的正切公式还有学生了解公式的不没有其它的推导方法 同推导方法，有助于学生课后思考 学生发散思维的培养 1. 提出对于公式，我们要注意些什T2, 二倍角的 公 么, 正切公式 请学生想一想要关注什么,公式中的 ,式 有限制吗, 使学生掌握二倍角的余的适用范围 弦公式的不同表示形式，学生回答要使 有意义，需分母有T2,的 并掌握二倍有正切公式意义 的适用范围，以加深对公深 式的认识和理解，培养严,师生讨论要使tan2有意义，取值 谨的数学思维品质 化 2(二倍角余范围 弦公式的不2,提出对于cos2=cos -理 同表现形式 2,sin ，还有没有其他的形式, 解 学生板演 教师板书三个公式，并告诉学生公式记，对二倍角公号分别为SCT2,2,2,式大家要注意以下问题:(1)用单角的三角函数表示复角的三角函数;(2) C2,有三种形式，是有条件的 T2,教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 例1是两倍角公式例1( 例1( ,5 可让学生自己解的应用求值问题，已知， sin,(,) 决，本题也可按其同时复习了同角的132程它的程序来做，三角函数关系及三,求sin2,cos2,tan2的值 并让学生比较方法角函数的符号问之优劣。 题，为学生展示不公式的应巩固练习一: 师:证明恒等式有同的解题方法，可用 练习A，1,2，3。 哪些途径, 培养学生灵活运用例2( 证明恒等式: 生:一是由左边证知识解决问题的能,sin2，sin到右边，二是由右力 ,tan,2边证到左边，三是 2cos2，2sin，cos,左右两边同时变形例2是一个三角恒为同一个式子。 等式的证明问题，师:针对例2待证要引导学生运用合巩固练习二: 恒等式中式子的特理的途径进行证明 习题3-2A,3(1) (2) (3) 点，我们应采取哪种途径, 生:由左边证到右边 师:下面同学们自己试着证明该题 完成后学生完成巩固练习二 (1) 说明二倍角的三角函数公式是 两角和与差的三角函数公式的 特例 ,(2) 中角没有限制条件，SC2,2, 引导学生总结回系统地总结回顾本归纳小结 顾，可采取提问的节课所学的内容有,而 中，有限制条件 T2,方式进行 助于学生形成清晰(3) 要熟悉多种形式的两个角的倍 的知识网络 数关系，才能熟练地应用好二 倍角公式，这是灵活运用公式 的关键 , cos2 有三种形式，要依据条(4) 件，灵活选用公式。另外，逆用此 公式时，更要注意结构形式。 层次一: 作业分三个层次， 通过分层作业使学教材练习B，1,2 第一层次要求所有生进一步巩固本节布置作业 层次二: 学生都要完成; 课所学内容，并为教材练习B，1,2，3,4;教材习题第二层次要求学有有余力的学生的发3-2A，4(2) 余力的学生完成; 展提供更加广阔的空间 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 通过分层作业使学生层次三: 第三层次要求学有余进一步巩固本节课所布置作.教材练习B，1,2，3(1)(2)(3) 力的学生完成 学内容，并为有余力业 的学生的发展提供更加广阔的空间 实施新教材，教师该如何“采集”和“创生”有效的教学素材，寻找适合学生的教学设计，使学生获得最优的发展是这节课要体现的设计理念. ? 1. 以旧引新,明确学习内容. SS2,，, ? 化 单 CC,，,2, 角 ? (感受“化TT2,，, 归”) , 令 备 ,，,2,2(教会学生合理赋值. -? 注 ( 合角 ) ( 倍 角 ) 3.思考与交流: (给学有余力的学生留有发展的空间) ,1，sin4,cos41，sin4，cos4 ,?求证: 22tan,1,tan, 00sin50(1，3tan10)?利用三角公式化简: 1 2,sin ,? 122 4.教学中点出发现二倍角公式的基本思想,体现“授之以鱼，不如授之以渔的教育思想.对公式要求做到三个“三”:即“三掌握” “三想” “三会用”. 课题 3.2.2 半角的正弦 余弦和正切 (,)教学目标 1 知识目标:会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简 2 能力目标: 会灵活运用公式进行推导变形 3 情感目标 灵活运用公式化繁为简 (二)教学重点，难点 重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明 难点是用公式求值 (三)教学方法 引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。 教学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 以旧引新，注意创设问复习 二倍角让学生默写二倍角公式，让学生思考二倍角公式的实质,学生复。000习题的情景，通过设疑，公式，提出问练习求sin120 Cos120 tan120老师提出问题学生思考a可看引引导学生开展积极的题，并引出新作哪个角的2倍角,怎样用二倍角公式写出sina cosa 入 思维活动 课 tana ,学生默写 ,公式通过设疑使学生学的三角函老师启发学生思考有时常用a的三角函数表示 ,会分析问题，掌握2sin,cos ,公式的推导过程 22公数，比如sin，cos 可以用a的哪个三角函数怎样表示,式,22,tan的推的学生推出结论 2推导导， 1cos，,得到cos= 221cos,sin= 221cos,tan= 1cos，2,(1)公式有老师:公式有何特点,如何记忆, 引导学生观察，分公式何特点,如学生回答: 析，记忆培养学生的何记忆, 老师补充: 能力。强调注意事理解 (2)公式有何(1)可以把a看作二倍角来记 项。根据公式特点用途, ,分析应用 (2)公式用cosa表示出cos sin tan的三角函数公式222,前的符号取决于所在象限( 23)公式可以用来化简，证明，求值 例1 通过练习使学生进用根式求值时一般处理办法如下 公0式求sin15 一步理解公式及其?如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符的00Cos15,tan15应用，明确公式的号 应用 练习: , 用法 ?如果给出a的具体范围时，则先求出所在范围，然后再习题3,2 A 1 2练习B，1 ,根据所在范围选用符号 得规律 2?如给出的角时某一象限的角时，则根据下表决定符号 , , sin cos tan 2222第一象限 第一，三象限 ，, ，, + 第二象限 第一，三象限 ，, ，, + 第三象限 第二，四象限 ，, , ， , 第四象限 第二，四象限 ，, , ， , 例2 老师引导学生证明得到结论。这两个结论也可以作正切的二倍理解半角正切的另公式,角公式记忆，老师提问它和上面的公式对比有何特点?学生思一种形式，复习证求证tan,补考并回答，老师补充 明三角恒等式的方2充 sin,例2的结论也可以看作半角的正切公式，它是有理式，所以在法，区分两种公式,计算时常用上面的根式，证明常用有理式形式。证明恒等式时形式的不同用法 ，1cos,1cos,有理式形式也常由右边写出左边，注意灵活运用。老师引导学 生分析公式特点并记忆。 sin,习题3,2B 老师:证明三角恒等式的方法, 半角正切第二种形例题3,(5) 学生:可以从左往右证，也可以从右往左证，也可以两边同时式的应用，进一步和求证证，应化异为同 复习三角恒等式的练习2sinsin2, 师:左有单角，二倍角。右为半角，所以两边统一为单角 证明 2,tan同学自己完成。找一学生到前面写 2sinsin22，,2,tan 2从知识，方法(1) 本节课重点学习了半角公式的两种形式，要求掌握公要学生明确本节课小结 两个方面对式的推导过程。记忆公式的形式。特别注意运算时根的重点和要达到的本节课内容式形式的符号选择。 要求 进行归纳和(2) 具体问题中会选适当的形式解决。注意证明三角恒等总结 式的证明方法 练习A,2,3 对本节内容及时巩布置练习B2，3 固 作业 反思: 重视新旧知识的联系，新知识在旧知识基础上形成并得到引申和发展，形成新知识的同时提升了学生的能力。在教学过程中，注重培养学生的观察能力，分析问题及解决问题的能力，及分情况讨论的思想，和化归的思想使学生的数学素养的到提高。 课题 3.3 三角函数的积化和差与和差化积 (一) 教学目标: 1(知识目标:了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化. 2(能力目标:能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明. 3(情感目标:通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点. (二) 教学重点、难点 本节重点是公式的推导和应用，难点是公式的灵活应用. (三) 教学方法 观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法. (四) 教学过程 教 学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 复习两角和与差的正让学生将两角和与差的正弦余弦公复习旧知识弦、余弦公式 式写出来. 同时为推导积? cos()coscossinsin,，, 化和差公式作复 准备. cos()coscossinsin,， ? 习 引 ? sin()sincoscossin,，,，入 sin()sincoscossin, ? 积 推导积化和差公式: 师:考察写出来的两角和与差的正 化 弦、余弦公式这四个公式，你培养学生运1coscoscos(),，和 用已有知识分能否用sin(),sin(),cos(),，,，2差 析问题的能力cos().,公 和问题探究的来表示coscos,sinsin, cos(),式 能力，同时也是1sinsincos(),，,的 学生认识到了cossinsincos.,， 2推 新公式产生的cos().,导 生:?式与?式两边分别相加和相来龙去脉. 减除以2得到: 1sincossin(),，12coscoscos()cos();,，, sin().,2教 学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 11cossinsin(),，,sinsincos()cos();,，,22sin().,?式与?式两边分别相加和相减除以2得到: 1sincossin()sin();,，, 21cossinsin()sin().,，, 2师:这个公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算 积 化 和 差教材练习A第2题 学生做练习教师巡视检查 让学生初步学公会应用公式 式的应用 推导和差化积公式: 师:从上面的积化和差公式变形可引导学生有以得到: 积化和差公式sinsinxy，,和差化积公式，xyxy，,cos()cos()coscos;,，, 2sincos;和 推导过程中运22化 用带换法进行 cos()cos()2sinsin;,，,sinsinxy,积 角的转化. xyxy，,差 通过组织学2cossin;sin()sin()2sincos;,，, 22公 生分组讨论探式 究，逐步培养学 coscosxy，,sin()sin()2cossin.,