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高等数学(同济第六版)上册_期末 含答案高等数学上册期末 填空题 3xecos2x,3lim, 1.,x02sin2x,x,22.曲线的拐点是 y,xe(2,2e)()fx,lim,3.设在处可导且则 f(x)x,0f(0),0,f(0)x,0x1,cos2x,y,，x(,1，)4.曲线在处的切线方程为 yx,，12222x5.曲线有垂直渐近线 和水平渐近线 y,x,1y,12x,12xxxx,6.设可导，则 f(u)dy,y,sinf(e)sin2f(e),f(e),edx42x7. 2(e，1)edx,0fxhfxh(，),(,3)00,lim,8.若，则 ,12f(x),30h,0h，,p9.若收敛，则的范围是 p,1pxdx,1x2，3x，1lim(),10. ex,2x，11f(x)dx,F(x)，cf(2x)dx,F(2x)，c11.设，则 ,222xxxf(x)dx,，lnx，c12.设的一个原函数是，则 f(x)xlnx,422,1,0xx1,13.设，则 f(x),f(x)dx,16x,x,0,214.过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程为 y,x，1sinx,x,0f(x),15.已知函数，则当x, 时，函数f(x)是无穷小;当 ,x,a,x,0,时，函数在处连续，否则为函数的第 (一)类间断点。 a,1f(x)x,0x,01f(x)dx,F(x)，c16.已知，则 F(arcsinx)，c f(arcsinx)dx,21,x132317.当x,0时，(1，ax),1与1,cosx是等价无穷小，则a, 21 3xsint,dt,0t18.是连续函数，则 f(x),a,1,x0,3x,a,x0,1112,19.在上连续，且，则 , f(x)0,1f(1),0,f(x)dx,1xf(x)f(x)dx,00211121,提示: xf(x)f(x)dx,xf(x)df(x),xf(x),f(x)d(xf(x)0,0001112,，移项便得。 ,f(x)f(x)，xf(x)dx,f(x)dx,xf(x)f(x)dx,000x21x,(e,1)20.，则 ， ,(1),(1),e,(x),xedx,022df(x)11,21.，则 f(x),2xdxx1122,f(x),2x,f(x),提示: 2x2x,22.曲线在点处的切线平行于直线，则 y,f(x)(2,f(2)y,3x，1f(2),31f(xx)f(x)，,00,lim23.设，则 f(x),arctanxx,0,0x,0x2x(1，x)00x，3y,2ln,324.的水平渐近线是 y,3xxx25.函数的导数为 y,xx(lnx，1)，,21x,26. xedx,0221xsinx(x，)dx,27. 12,11，x，,11dx,28.广义积分 3,12x2x1(1,),1的积分曲线中过的那条曲线的方程 _ 29.f(x),x2212(e，1)30.设为曲线y,xlnx与x,1,x,e及轴所围成的面积，则 sxs,41,f(2x)dx,f(2x)，c31. ,211y,ln(e,)y,1,x,0,x,32.曲线的全部渐近线为 ex322,33.曲线与所围图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积 yy,xy,x105(0,1,1)2x，y,2z，2,034.点到平面的距离为 32 ,35.设向量，则当 时，;当 ,10,a,ba,2i,j，k,b,4i,2j，,k,。 2,a/b1222,22,，,1xyz,x，y,本题不作要求36.空间曲线在平面上的投影曲线方程为 xoy,4222z,3(x，y),z,0,a,5,b,2,(a,b),2a,3b,.设，则 372193,38.设向量，则在上的投影为 22ba,2,1,2,b,3,4,5a,1,39.已知向量和向量共线，则 m,15,n,a,mi，5j,kb,3i，j，nk5,40.设平行四边形二边为向量，则其面积为 a,1,3,1,b,2,1,3310,31ABcos,cos,A(4,0,5),AB,21441.设点，向量的方向余弦为， 14142cos,，则点坐标为 (10,2,1)B1422,3，2,12xy本题不作要求42.曲线绕轴旋转一周所得的旋转曲面方程为 y,z,0,222 3x，3z，2y,12,a,2,b,3,43.设且，则 a/ba,b,0,6,a，b,x，1,x,0,05,44.设= f(x),0,x,0,f(x，1)dx,262,x,x,0,x,45. sinx,(x),sin(x,t)dt,(x),0二.选择题 ,nlim,20051.设，则的值为( ) ,C,n,nn(，1),2004112004120041C.,B.,A.,2004,D., 20052005200520052005200520051,2,xcos,0,x,1fx(),2.设，在x,0处( ) A ,x,x,1,x,0,A.连续，不可导 B.连续，可导 C.可导，导数不连续 D.为间断点 3 ,y,，sinx3.曲线在处的切线与轴正方向的夹角为( ) x,0Bx2,AB. . C.0D.1244.设在上连续，内可导，则至少存在一点，有 f(x)0,1(0,1)f(0),1,f(1),0,(0,1)A设利用定理FxxfxRolle()(), ,f()f()f()f(),f(),A.f(),f(),f(), B.C.D.,2325.若，则( ) Ba,3b,0f(x),x，ax，bx，c,0无实根 有唯一实根 三个单实根 重根 A.B.C.D.6.函数在处取得极大值，则( ) f(x)Dx,x0, 或不存在 C.D.A.f(x),0f(x),0,f(x),0f(x),0B.f(x),0000007.设的导函数为，则的一个原函数为( ) f(x)sinxf(x)DA.1，sinxB.x，sinxC.1，cosxD.x,sinx,tf(t)dt,8.设,则( ) lnf(t),costA,f(t)A.tcost,sint，cB.tsint,cost，cC.t(cost，sint)，cD.tsint，c2x2,9.设连续，则( ) f(x)F(x),CF(x),f(t)dt,042442 A.f(x)B.xf(x)C.2xf(x)D.2xf(x)10.下列广义积分收敛的是( ) C，,，,，,，,111lnxCdxD.dxA.dxB.dx. 2,eeeelnxxxx(lnx)lnxx，,dx,11.广义积分( ) C x,x,0ee，,AC. B., D.发散 2412.下列函数中在区间上不满足拉格朗日定理条件的是( ) 0,3C2x2C. B.cos(1，x) C.ln(1，x) A.2x，x，12(1,x)13.求由曲线y,lnx,直线x,0,y,lna,y,lnb(b,a,0)所围图形的面积为( )C 4 22 A.a,bC.b,aD.b，aB.b,a11,xxf(x)edx,e，c14.若，则( ) f(x),B,1111D.,A., B. C. 22xxxx15.点关于坐标原点的对称点是( ) M(3,2,1)AA.(,3,2,1)B.(,3,2,1)C.(3,2,1)D.(,3,2,1),16.向量与向量的位置关系是( ) Ca，ba共面 平行 垂直 斜交 A.B.C.D.17.设平面方程为，其中均不为零，则平面( ) Ax，Cz，D,0A,C,DB平行于轴 平行于轴 经过轴 经过轴 A.xB.C.xD.yy，,0AxByCzD,1111A,B,C,D,B,D,018.设直线方程为且，则直线( ) C,111122By，D,022,过原点 平行于轴 垂直于轴 平行于轴 A.B.xC.D.zyx，3y，4z,19.直线和平面的位置关系为( ) 4x,2y,2z,3C,2,73斜交 垂直 平行 直线在平面上 A.B.C.D.fxfa(),()lim,120.已知，则在处 (B) x,a2x,axa(,),.导数存在且 .取极大值 .取极小值 Af(x)f(a),0Bf(x)Cf(x).导数不存在 Df(x)三.计算题 1tlntdtxlncos111,2xcoslim(，sin)x,1. # 2. lim24x,0,0xxx28x11,222x3. 4. e 0lim(cosx)lim(x，1,x,1)，x,x0,x2,xlim(1)tan5. x,12,x,x1lim6. 求=1 ，x,0xlnx5 xx(1，lnx)xxlnx0,lim,limx,lime,e,1解:一)原式， ，,x0x0x0lnx，1xlnxe,1xlnx二)原式,lim,？limxlnx,0,？e,1xlnx,x,0 ，,x0x0xlnx。 ,12xx2limf(t)dt7.设为连续函数，计算 f(x)af(a),ax,a,xaxsin(lnx)dxsin(lnx),cos(lnx)，c8. ,2,a,4222a9. 22 10. 1，cos2xdxxa,xdx,00162xcoscosxcosx,xx，x(sin),sinlnsin，设，求 11.yy,(sinx)xsin2lnyxt212.设，求 dyedt，costdt,0,2xcosxdx,00,22,13.设在上连续，求积分 f(cosx)cosx,f(cosx)sinxdxf(x)0,1,2,22提示:原式,f(cosx)cosxdx，sinxdf(cosx) ,22,222,f(cosx)cosxdx，sinxf(cosx),f(cosx)cosxdx ,2f(0),2223,135x,2x2dxlnx,4x，8，arctan，c14. 2,4，8xx222,x,f(t),dy,15.设，其中可导，且，求 f(0),03f,3tyfe,(,1)dx,t,0xxarcsin2dx16. arcsinx,，ln1,x，c3,221,x2x(1,),2417. sinx,sinxdx,0,22提示:原式 ,sinxcosxdx,sinxcosxdx,1,002ln21,xdx2(1,)18. 发散 19. e,1dx2,004(1,x),1dx3342arccos，c,(x，4)cosxdx20. 21. ,2,x2xx,126 ln22111ln3x2x3,dxln(3)xc，,，ln222. 23. x,edx,0x242，12xdx,xx24. 25. dx,，eecarctanx2x,e(1，e),12xx,26.设，求 f(x),，xxclnf(e),1，x153333xcosxdx27. ,，xxxcsincos ,3arcsinx2,，arcsin1lnxxxc28. dx,22,x1x33dx12229.,，,，(1)(1)xxc ,3x，1,x,1dx110,，lnln1xxc30. 10,x(1，x)10,xf(x)dx31.已知的一个原函数为，求 f(x)(1，sinx)lnx,，,，xxxxxxcosln1sin(1sin)ln11,x1,x2xlndx,，,，ln(1)xxc32. ,1，x21，x，ln(x1)dx33. ,，,，2ln(1)44arctanxxxxc,x,xsina,e12,dx34. 35. dxxxsincos,220024，ee，,xax本题不作要求36.已知为连续函数，令 ,(x)2xt,(t1)(u)dudt,00,x0,试讨论在处的连续性与可微性。 f(x)f(x)x,0,2,ln(1x)，,0,x0,连续，可微1237.设f(x)在0,1上可导，且满足，证必存在一点,(0,1)，使 f(1),2xf(x)dx,0,f(),f(),。 提示:利用积分中值定理和Rolle定理,38.设f(x)在0,1上连续，单调减且取正值，证:对于满足0,1的任何,有 7 ,。 ,f(x)dx,f(x)dx,0,提示:,fxdxfxdxfxdxfxdxfxdx()()()()(),，,00, ,，,fxdxfxdx()()(),0,39.设在上连续，单调不减且，试证: f(x)0,，,)f(0),0x1,n,tf(t)dt,x,0,F(x),在上连续且单调不减。() 0,，,)n,00,x,0,x,0,11x,40. xln(1，e)dx,13xt,1111,txx22原,，,，,，(ln(1)ln(1)ln(1)tedtxexdxxedxxdx ,11112x121,1,t,(1)e41.设，求。 f(x),edtxf(x)dx,10422,11ba,xtxx,0,1b,32242. 43. tt,xdtxdx,(a,b),220a11ab,xtx,x,0,23,21244.设在上连续，且对，求 f(x)(,，,),x,y,f(x，y),f(x)，f(y)(1，x)f(x)dx,1提示:为奇函数fx() ,2sinx445.Idx ,x,1，e42222,xxsinsinsin(11)sinxxexex，,提示:fxfx(),(),xxxx1111，eeee2sin1x222 ,sinsin()()sinxxfxfxx,x12，e,124原,sinxdx,242xtte,sintdt1,0,lim46. 6xx,0xe3,r47.设向量，向量满足，且 Prjr,14a,2,3,1,b,1,2,3,c,2,1,2r,a,r,bc,r求向量。 14,10,2 48.1)求过轴和点(,3,1,2)的平面方程， x，3y,0 z8 2)求过三点的平面方程。 P(2,3,0),Q(,2,3,4),R(0,6,0)3x，2y，6z,12,049.求过点且垂直于平面的平面方程。 P(2,1,1),Q(1,2,3)2x，3y,5z，6,09x,y，3z,16,0x,4y，3zL:,50.求过点且通过直线的平面方程。 A(3,1,2)8x,9y,22z,59,052151.求与平面平行且与三坐标所构成的四面体体积为的平面方程。 2x，y，2z，5,013 2x，y，2z,23,0x，2z,1,0,52.求过点且与直线平行的直线方程。 L:M(2,4,0),y,3z,2,0,x,2y,4z, ,231522(,)53.求点在平面上的投影。 A(,1,2,0)x，2y,z，1,0333x，5y，z,0,54.求过直线L:且与平面成角的平面方程。 x,4y,8z，12,0,4x,z，4,0,x，20y，7z,12,0本题不作要求55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面的距离，该动点轨迹表示何种曲面, z,422 旋转曲面 x，y，8z,16,x四.列表讨论函数的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。 y,x,e1,x,sinx,0,x,f(x),五.设，求在内的表达式。 (,，,),(x),f(t)dt,2,0,0,x,0orx,0,x0,x,1,(x)f(t)dt(cosx1),0x ,02,1,x,xd,(x,t)f(t)dt,f(x),f(a)六.设f(x)在(,，,)内连续，证明。 ,0dx22七.设 D:y,2x,x,a,x,2,y,0;D:y,2x,y,0,x,a,0,a,212DVDV1.试求绕轴旋转得旋转体体积;绕轴旋转得旋转体体积; xy1122V，V2.问当为何值时得最大值,并求该最值。 a129 129454V,(32,a)V,，(V，) a,1V,a2max1125522,八.已知，求。 f(x)f(sinx),cos2x，tanx2sinxu22,f(sinx),1,2sinx，,f(u),1,2u，提示:， 21,sinx1,u2f(x),x,lnx,1，c Y 2九.设与相交于第一象限(如图)。 y,cy,2x,x1.求使得两个阴影区域面积相等的常数; cII (b,c) 2.在1的情况下，求区域绕轴旋转的旋转体体积。 IxC I III I X s,s,s,s提示:， IIII，IIIII，III0 bb1222cdx(2xx)dxcbb,，又， c,2b,b,0033,3313y,b,c,， ,x,x,41224222,2y,x,x,41,V,。 2402,f(x)dx,，2,十.设，证:。 f(x),x,f(x)cosxdx,002,提示:设， A,2f(x)cosxdx,A,0十一.设直线y,ax，b与直线x,0,x,1及y,0所围成的梯形面积为，求，使这块面积绕轴旋Aa,bx转所得体积最小。 (a,0,b,0)211aa22()(),()V,ax，bdx,，ab，bA,ax，bdx,，b提示:， ,0032a,0,b,A时，体积最小 22十二.求抛物线在(0,1)内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最y,x，1y,x，1小。 2x，122Y,(,x，1),2x(X,x),A(,0),B(0,x，1)提示:切线， 2x10 2211(1)3x，2,， (1)()0s,x，dx,sx,x,0223x234所求切线为 y,x，33xz，1,y，2,.求通过直线与平面的交点，且与平面 十三x，y，z,1523x，4y，4z，7,垂直相交的直线方程。 2x,3y，4z，5,02,34xdxx3,1,0十四.证明在区间内有唯一的实根。 (0,1)2,0x1，xdxF(x),3x,1,F(0),F(1),0提示:令，再证唯一性。 2,01，xx1n,nn本题不作要求 十五.设可导，且，证: f(x)f(0),0,F(x),tf(x,t)dt,0F(x)1,lim,f(0) 2nx,0x2nnnnxtu,0xx111nnn, 提示:Fxtfxtdtfudufudu,()()()()n,00xnn22x(1x)，x(1，x)提示:对求导f(x)dxx,十六.设满足求。 x,0,f(x)f(2)f(x)dx,x,00,2aa132322xf(x)dx,xf(x)dx,f(x)十七.证:连续，并求。 a,0xsin(x)dx,000222xt,aaa1132222 xfxdxxfxdxtftdt,所求值为()()()1,000222x,t,2十八.求的最大、小值。 f(x),(2,t)edt最小值为最大值为1,1，e,01,十九.已知求。 f(0),1,f(2),3,f(2),5,2xf(2x)dx,02，,，,sinx,sinxdx,dx二十.已知求。 2,00x22x1提示:用分部积分，先将凑入微分 2x2x12,t二十一.设,求。 f(x),edt同题41xf(x)dx,10x1lnt12f(x),dt,x,0,f(x)，f(),(ln)x二十二.求。 ,1x1，t2,二十三.1)设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0),0,0,f(x),1，证: 1123。 (f(x)dx),f(x)dx,0011 提示:可利用已知条件知fx()1, bb222)设，证:。 f(x),Ca,b(f(x)dx),(b,a)f(x)dx,aaxx22设Fxftdtxaftdtxab()()()()(,),aa提示: ,Fx'()0bb12f(x)dx,dx,(b,a)3)设，且，证: f(x),Ca,bf(x),0,aaf(x)xx12提示:设FxftdtdtxaFx,()()()'() ,aaft()bb4) 设,且严格单调增加，证:。 f(x),Ca,b(a，b)f(x)dx,2xf(x)dx,aaxx 提示:设FxtftdtaxftdtFx()2()()()'(),，,aabM2,f(x)dx,(b,a)5) 设在上可导，且，证:。 f(x)a,bf(x),M,f(a),0,a2提示:有微分中值定理:xabfxfafxaax,()()'()()(,),bbfxdxfxadx()'()(),aa二十四. 设在上连续，在内可导，且 f(x)0,(0,),，证明:一个，使得。 ,(0,)f(,),0f(x)cosxdx,f(x)sinxdx,0,00,证:在内，由可知，在内不能恒正或负，由于的连(0,)sinx,0f(x)(0,)f(x)f(x)sinxdx,0,0续性可知在内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。 f(x)(0,)反证:若是的唯一零点，则当, f(x)x,xx,(0,)00,就恒正或负，于是， sin(x,x)f(x)sin(x,x)f(x)dx,000,0,而 sin(x,x)f(x)dx,(sinxcosx,cosxsinx)f(x)dx000,00,，矛盾， ,cosxsinxf(x)dx,sinxcosxf(x)dx,000,00所以在内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。 f(x)(0,)12