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高等数学复旦大学出版社习题答案五习题五 1( 求下列各曲线所围图形的面积: 1222(1) y=x 与x+y=8(两部分都要计算); 2解:如图D=D12 12,y=x解方程组,2 得交点A(2，2) 22,x+y=8(1) 21222,D=8,x,xdx=+ 1,2304? D+D=2+, 12344,D+D=8,2+=6,( 34,331(2) y=与直线y=x及x=2; x221132,，解: D=x,dx=x,lnx=,ln2. 1,，x2211(2) x,x(3) y=e，y=e与直线x=1; 11x,x,解:D=()e,edx=e+,2(, 0e(3) (4) y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb(b>a>0); lnby,解:D=edy=b,a(, lna(4) 116 22(5) 抛物线y=x和y=,x，2; 2,y=x,解:解方程组得交点 (1，1)，(,1，1) 2,y=,x，2118222,D=(),x+2,xdx=4(),x+1dx=( ,0,13(5) 9(6) y=sinx，y=cosx及直线x=，x=; 445,5,4,4解:D=2(sinx,cosx)dx =2,cosx,sinx=42( ,44(6) 2(7) 抛物线y=,x+4x,3及其在(0，,3)和(3，0)处的切线; 解:y=,2x+4( ?y(0)=4，y(3)=,2( ?抛物线在点(0，,3)处切线方程是y=4x,3 在(3，0)处的切线是y=,2x+6 3两切线交点是(，3)(故所求面积为 2(7) 33222，Dxxxxxxxx,，,，,，,，,4343d2643d，3,，0233222 ,，,，xxxxxd69d，3,029,.4(8) 摆线x=a(t,sint)，y=a(1,cost)的一拱 (0,t,2,)与x轴; 解:当t=0时，x=0, 当t=2,时，x=2,a( 所以 117 2a2Syxatatt,d1cosdsin，,00222 ,att1cosd，,02,3a.(8) (9) 极坐标曲线 =asin3; ,2,a3解:D=3D=3?sin23d ,12,0,2,3a1,cos63 = d ?,22,0,23a13， =,sin6 ?，4602,a =( 4(9) (10) =2acos; ,1222解:D=2D=2?4a?cosd ,12,0,1，cos222 =4a, d 2,0,1122， =4a?+sin2 ，2201,22 =4a?=,a( 22(10) 2( 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积: (1) r=a(1+cos)及r=2acos; 2解:由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=a( (11) 118 2(2) r=2cos及r=3sin2( ,r=2cos,解:如图12，解方程组 2,r=3sin23得cos=0或tan=, 3,即=或=( 26(12) ,2,112,()6D=,?3sin2d+?2cosd ,22,0,6,231，6， =,cos2+ sin4 ，424,06, =( 6923( 已知曲线f(x)=x,x与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a( 22,f(x)=x,x,，解方程组解:如图13得交点坐标为(0，0)，(1,a，a(1,a) ,g(x)=ax1,a2,?D=()x,x,axdx ,01,a1123， =()1,a?x,x ，23013 =()1,a 6193依题意得 ()1,a= 62得a=,2( (13) 4( 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。 解:如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为:E(a，h)， D(A，0)，h于是得到ED所在的直线方程为:y=(x,A) a,A119 (16) 对于任意的y?0，h，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的A,aB,b半轴为: x=A,y，同理可得该椭圆的另一半轴为: x=B,y( 12hh故该椭圆面积为 A,aB,b,A(y)=,xx=,A,yB,y 12,hh从而立体的体积为 hhA,aB,b, V=A()ydy=,A,yB,ydy ,0,hh01 =,hbA+aB+2()ab+AB . 65. 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17. (17) 解:以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y222轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为:+xy=R( 过区间,R，R上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于 32222 A()x=()2y=3y=3()R,x (),R?x,R 4从而该立体的体积为 RR22, V=A()xdx=3()R,xdx ,RR433 =R( 36. 求下列旋转体的体积: 22) 由y=x(1与y=x3围成的平面图形绕x轴旋转; 2y=x,解: 求两曲线交点得(0，0)，(1，1) 23,y=x134,V=,()x,xdx ,011145，=,x,x ，450, =( (14) 203(2)由y=x，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转; 120 21286,解:见图14，V=,xdx=, x,70282,V=,2,ydy y3,064 =,( 52/32/32/3(2) 星形线x+y=a绕x轴旋转; 解:见图15，该曲线的参数方程是: ,x=acos3t, 0,t,2, ， y=asin3t,由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为 a2,V=2,ydx x,00,2 =2,asin3tdacos3t ,()(),2,32 =6,asin7tcos2tdt ,0323 =,a 105(15) 7( 求下列曲线段的弧长: 2a) y=2x ，0?x?2; 1解:见图18，2yy=2( y= y12?1+y=1+(从而 2y(18) 22,12,l=2,1+ydx=21+dx2 0,y02221y22, =21+yd,1+ydy =20,y20222,() =y1+y+lny+1+y=25+ln(2+5) ,0b) y=lnx，3?x?8; 88,1,2解:l=1+ydx=1+dx ,2,3x32288,1+x，1+1+x，132=1+x,ln=1+ln( dx=,，xx2233x,c) y=costdt, ?t?; ,22?2121 ,22,2解:l=1+ydx=1+cosxdx ,?22,2xxx,2 =2cosdx=42cosd ,222,0,?2,x2 =42sin=4. ,2,08( 设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求 d) 星形线所围面积; e) 绕x轴旋转所得旋转体的体积; f) 星形线的全长( 0a,asin3tdacos3t 解:(1)D=4ydx=4,(),0,2,22 =12a,sin4tcos2tdt ,0,324622 =12a()sint?sintdt =,a( ,8,00a,22, (2)V=2,ydx =2,asin3tdacos3t ,()()x,0,2,32 =6,a sin7tcos2tdt ,0323 =,a 105(3)x=,3acos2tsint ty=3asin2tcost t222tcos2 x+ y=9a2sint，利用曲线的对称性， tt,22222,l=4x+ydt=4 3asin2tcostdt tt,00,122,2=12a sin22tdt =6a sin2tdt =3a(),cos2t,=6a( ,4,000a,re,9( 求对数螺线相应=0到=的一段弧长( 22,解:l=,r+rd 0122 2a, =,e+a2e2ad 021+aa =()e,1( a10( 求半径为R，高为h的球冠的表面积( R2,解:D=2,x1+xdy ,R,h,2,22 =2,Rcos()Rcos+()Rsind ,R,h,arcsinR,2, =2,R2cosd ,R,h,arcsinR,22 =2,Rsin R,harcsinR=2,Rh( 3 11( 求曲线段y=x(0,x,1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积(12,解:D=2,y1+ydx 0134, =2,x1+9xdx 031,242, =?()1+9x ,1830,() =1010,1( 2712( 把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功, 解:如图19，区间x，x+dx上的一个薄层水，有微体积dV=10?6?dx (19) 设水的比重为1，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x?60gdx=60gxdx( 于是将水全部抽出所作功为 5, w=60gxdx ,0123 560g2, =x ,20=750g(KJ) ( 13( 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力( 解:如图20，建立坐标系，直线AB的方程为 x y=,+5( 10压力元素为 x, dF=x?2ydx=2x,+5dx ,10所求压力为 20x(20) , F=2x,+5dx ,10020123， =5x,x =1467(吨) =14388(KN) ，15014( 半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少, 解:如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为 22(x,R)+y=R2将球从水中取出需作的功相应于将0，2R区间上的作功的和的极限。取深度x为积分许多薄片都上提2的高度时需R变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x;在水上的行程为2R,x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为 2222d(2)wRxgyxxgRxRxRx,()d(2)()d(21) 2,gRxRxxx(2)(2)d所求的功为 2R2wgRxRxxx,(2)(2)d,02R223,，gRxRxxx(44)d,02R 41,2234,g2RxRxx,，,34,044 ,Rg(KJ).315( 设有一半径为R，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。 解:如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素 124 (图22) kmskmkm,d,d(d)dFR,22RRR km,ddcoscosd,FF,xR则 ,kmkmkm,222,Fcosd2cosdsin,x,0,RRR22 km,ddsinsindFF,yR,km,2则 ,sind0.F,y,R22km,sin故所求引力的大小为，方向自N点指向圆弧的中点。 R216( 求下列函数在,a，a上的平均值: 22; (1)()fxax,a2aa111a，ax1222222解: yaxxaxx,dd.arcsin，,xax,a024aaa22a，02(2) fxx().,a2aa111a1，223解: ,yxxxxdd.x,a023aaa3，0iIsint,17( 求正弦交流电经过半波整流后得到电流 0,Ittsin,0,0,i, ,2,0,t,的平均值和有效值。 125 2,II2,1，00,解: iIttt,，,sind0d,cost,0,0，,0,T12有效值 Iitt,()d,0T22T，1,2222,ittitt()d()d,ittitt()d()d，,000T22，, 2I,220,Ittsind,0,024I0故有效值为 . I,218( 已知电压u(t)=3sin2t，求 ，(1) u(t)在上的平均值; 0,，2262解: uttt()3sin2d.,0(2) 电压的均方根值. b12 fxfxx,()()d解:均方根公式为 ,aba,故 2181cos4,t2 22utttt()9sin2dd,00221893t1，,.,sin4t,228，2019( 设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 2C(x)=x,14x+111，R(x)=100,2x( 试求最大利润( 解: 设利润函数L(x)( 则L(x)=R(x),C(x),50 22由于L(x)=R(x),C(x)=(100,2x),(x,14x+111)=,x+12x,11 令L(x)=0得x=1，x=11( 又当x=1时，L(x)=,2x+12>0(当x=11时L(x)<0，故当x=11时利润取得最大值(且最大利润为 112(1211)d50,，,xxxL(11)= ,013341311,，,61150111.xxx 0333126 20( 设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x(百台)的边际成本为C(x)(万元/百台)，边际收入为R(x)=7,2x(万元/百台)( (1) 求生产量为多少时总利润最大, (2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少, 解:(1) 当C(x)=R(x)时总利润最大( 即2=7,2x，x=5/2(百台) x( (2) L(x)=R(x),C(x)=5,2在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 77222(52)d51,xxxxL(x)= ( 55,22即此时总利润减少1万元. 21( 某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期( 解:投资20年中总收入的现值为 20200,5%5%20tyt,800ed(1e),0 5%,1万元,400(1e)2528.4 ()纯收入现值为 R=y,800=2528.4,800=1728.4(万元) 即为总收入的现值等于投资, 故有 收回投资，200,5%T,(1e)8005% 12005T,年ln =20ln =4.46 ().,，5%2008005%422( 某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%(每年)，若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱, 解:设每年以均匀流方式存入x万元，则 10,t(10)0.05xted5= ,00.5即 5=20x(e,1) 1?0.385386万元=3853.86元( x,0.54(e1),127