最新高考数学知识点汇总[1]优秀名师资料.doc

高考数学知识点汇总1高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合，A、B、C 中元素各表示什么, 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 2 如:集合， 若，则实数a的值构成的集合为 (答:，0，) 3. 注意下列性质: n (1)集合a1，a2，an的所有子集的个数是2; (2)若，; (3)德摩根定律: ， 的解集为M，若且，求实数你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) 如:已知关于x的不等式 的取值范围。 (?，? ，) ?，? 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或，“且和 “非 若为真，当且仅当p、q均为真 为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若若为真，当且仅当p为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射, (一对一，多对一，允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型, 例:函数的定义域是 (答:0，4) 10. 如何求复合函数的定义域, 如:函数f(x)的定义域是a，b，则函数的定 义域是_。 (答:a，) 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗, 如:f 令 x，求，则? ? ? 12. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗, (?反解x;?互换x、y;?注明定义域) 如:求函数 的反函数 ) (答: 13. 反函数的性质有哪些, ?互为反函数的图象关于直线y,x对称; ?保存了原来函数的单调性、奇函数性; ?设的定义域为A，值域为C，则 ， 14. 如何用定义证明函数的单调性, (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性, (，则 (外层)( 如:求 (设，由则 且，如图: 22 当，1时，又，? 2 当，2)时，又，? 2 ?) 15. 如何利用导数判断函数的单调性, 在区间a，b ) A. 0 B. 1 (令 则或 由已知f(x)在1，上为增函数，则，即 ?a的最大值为3) 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么, (f(x)定义域关于原点对称) 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称 若总成立为偶函数函数图象关于y轴对称 注意如下结论: (1)在公共定义域 如:若 (?f(x)为奇函数，又，? ，?) 即 2x ， 又如:f(x)为定义在，1)上的奇函数，当，1)时，求f(x)在，上的解析式。 ，则， (令又f(x)为奇函数，? 又，? 17. 你熟悉周期函数的定义吗, ，) (若存在实数T()，在定义域内总有，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。) 如:若，则 (答:f(x)是周期函数，为f(x)的一个周期) 又如:若f(x)图象有两条对称轴， 即， 则f(x)是周期函数，为一个周期 如: 18. 你掌握常用的图象变换了吗, f(x)与的图象关于y轴对称 f(x)与的图象关于x轴对称 f(x)与的图象关于原点对称 f(x)与的图象关于直线对称 f(x)与的图象关于直线x对称 f(x)与的图象关于点(a，0)对称 将图象左移个单位 右移个单位 注意如下“翻折”变换: 上移个单位下移个单位 如: 作出及的图象 y=log2x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗, (1)一次函数: (2)反比例函数: 的双曲线。 推广为是中心O(a， (3)二次函数图象为抛物线 顶点坐标为，对称轴 开口方向:，向上，函数 0，向下， 应用:?“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程 ，时，两根x1、x2为二次函数的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。 ?求闭区间,m，n,上的最值。 ?求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。 ?一元二次方程根的分布问题。 如:二次方程的两根都大于 ，一根小于 一根大于k(4)指数函数:， (5)对数函数， 由图象记性质 (注意底数的限定) ax(a>1) (6)“对勾函数 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么, 20. 你在基本运算上常出现错误吗, 指数运算:，pa am ， 对数运算:， ，对数恒等式: 对数换底公式: 21. 如何解抽象函数问题, (赋值法、结构变换法) 如:(1)，f(x)满足，证明f(x)为奇函数。 (先令再令，) (2)，f(x)满足，证明f(x)是偶函数。 (先令 ? ?) (3)证明单调性: 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗, (二次函数法(配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。) 如求下列函数的最值: (1) (2) 2x2 (3)， (4) (5)设，1 x 23. 你记得弧度的定义吗,能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗, ，S扇) 22 (24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 ， S O M x 如:若，则，的大小顺序是8 又如:求函数y 的定义域和值域。 (?) ?，如图: 2 ?， 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗,并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗, ，co 对称点为， 的增区间为 ， 减区间为， 图象的对称点为，0，对称轴为的增区间为，减区间为， 图象的对称点为 ，对称轴为 ，的增区间为 26. 正弦型函数的图象和性质要熟记。或 (1)振幅|A|，周期 若，则为对称轴。 若，则x0，0为对称点，反之也对。 (2)五点作图:令依次为0， (x，y)作图象。 (3)根据图象求解析式。(求A、值) ，2，求出x 与y，依点 22 如图列出 解条件组求、值 正切型函数， 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如: (?，求x值。 ，?，?，?) 26636412 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有界性了吗, 如:函数的值域是 (时，2，时，?，2) 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗, (平移变换、伸缩变换) 平移公式: ，k) (1)点P(x，y)(x，y)，则平移至 (2)曲线f(x，沿向量，k)平移后的方程为，如:函数图象, (的图象经过怎样的变换才能得到的 横坐标伸长到原来的2倍 个单位上平移左平移个单位 1 ) 纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗, 如: 称为1的代换。 2 化为的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”， “奇”、“偶”指k取奇、偶数。 如: ，则y的值为 B. 负值 C. 非负值 又如:函数正值或负值 D. 正值 (y，?) 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗, 理解公式之间的联系: 令令 in ， 应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。) 具体方法: (1)角的变换:如，(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式，注意运用代数运算。 ，求的值。 ，?(由已知得: 2 又 ?) 32 如:已知 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗,如何实现边、角转化，而解斜三角形, 余弦定理: (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。) 正弦定理:?A，? C，si ? 如中，2sin (1)求角C; ，求的值。 (2)若 (1)由已知式得: 又，? 1或(舍) 又，? 1222 (2)由正弦定理及得: 2 3 ?) 4 ? 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦:， 反余弦:，1 反正切:， 34. 不等式的性质有哪些, (1)， (2)b， (3)， (4)， ， (5)(6)，或 如:若，则下列结论不正确的是(ab) 答案:C 35. 利用均值不等式: ，;求最值时，你是否注 意到“a，且“等号成立”时的条件，积(ab)或和其中之一为定 值,(一正、二定、三相等) 注意如下结论: ， 当且仅当时等号成立。 ， 当且仅当时取等号。 ，则 4 如:若，的最大值为x (设当且仅当，又，?时，) x3 又如:，则的最小值为 (?，?最小值为22) 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗, (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。 如:证明 ( ) 37.解分式不等式f 的一般步骤是什么, g(x) (移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。) 38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 如: 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如:对数或指数的底分或讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解, (找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。) 例如:解不等式 (解集为) 41.会用不等式证明较简单的不等问题 ，实数a满足 如:设求证: 证明: 又，? ? (按不等号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么,(可转化为最值问题，或“?”问题) 如:恒成立的最小值 恒成立的最大值 能成立的最小值 例如:对于一切实数x，若恒成立，则a的取值范围是 (设，它表示数轴上到两定点和3距离之和 ，?，即 或者:，?) 43. 等差数列的定义与性质 定义:为常数)， 等差中项:x，A，y成等差数列 前n项和 2d 性质:是等差数列 (1)若，则; (2)数列，仍为等差数列; Sn，仍为等差数列; (3)若三个数成等差数列，可设为，a，; (4)若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则; 为等差数列(a，b为常数，是关于n的常数项为 0 (5)的二次函数) Sn的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界 项，即: 当，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。 当，由可得Sn达到最小值时的n值。 如:等差数列an，则 (由，? ，? 又? ) 44. 等比数列的定义与性质 定义:(q为常数，)， 等比中项:x、G、y成等比数列，或 (要注意!) 前n项和: 性质:是等比数列 (1)若，则 (2)Sn，仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么, (时，时，) 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗, 例如:(1)求差(商)法 1 解:时，? 时， 得:如:满足 ? ? ,练习, 数列满足，求an 3 (注意到代入得: 又，?是等比数列， 时， (2)叠乘法 例如:数列中，求 解:，? 3 n 又，? (3)等差型递推公式 由，求an，用迭加法 时，两边相加，得: an ? ,练习, 数列，求an () (4)等比型递推公式 、d为常数， 可转化为等比数列，设 令，? ? ，c为公比的等比数列 是首项为 ? ? ,练习, 数列满足，求an ( (5)倒数法 ) 例如:，求 由已知得:1 ?1 为等差数列，公差为 ? 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗, 例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如:是公差为d的等差数列，求 解:由 ?,练习, 求和:1) (， (2)错位相减法: 若为等差数列，为等比数列，求数列(差比数列)前n项 和，可由求Sn，其中q为的公比。 如: : 时， 时， 2 (3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 相加 ,练习, 已知，则(由 ?原式) 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗, ?零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为: 等差问题 ?若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款分期等额归还本息的借款种类) 若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r(按复利)，那么每期应还x元，满足 ? p贷款数，r利率，n还款期数 49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 (1)分类计数原理: (mi为各类办法中的方法数) 分步计数原理:(mi为各步骤中的方法数) (2)排列:从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Am n. 规定: (3)组合:从n个不同元素中任取m(m?n)个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cm n. 规定:C0 (4)组合数性质: ， ， 50. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩 ，90，91，92，93，2，3，4)且满足， 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( ) A. 24 B. 15 解析:可分成两类: C. 12 D. 1 (1)中间两个分数不相等， 4 有(种) (2)中间两个分数相等 相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，?有10种。 ?共有5，10,15(种)情况 51. 二项式定理 nananb 二项展开式的通项公式: ，1n) Cn为二项式系数(区别于该项的系数) 性质: ，1，2，n (1)对称性: 1nn (2)系数和:C0 (3)最值:n为偶数时，n，1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 ;n为奇数时，为偶数，中间两项的二项式 项，二项式系数为系数最大即第项及第项，其二项式系数为 如:在二项式的展开式中，系数最小的项系数为 表示) (?n,11 ?共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第(用数字 或第7项 2 r 由，?取即第6项系数为负值为最小: 又如:，则 (用数字作答) (令，得: 令，得: ?原式) 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗, (1)必然事件，不可能事件， (2)包含关系:，“A发生必导致B发生”称B包含A。 A B (3)事件的和(并):或与B至少有一个发生”叫做A与B 的和(并)。 (4)事件的积(交):A?B或与B同时发生”叫做A与B的积。 (5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 (6)对立事件(互逆事件): ”叫做 “A不发生A发生的对立(逆)事件， ， (7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A与B独立，A与B也相互独立。 53. 对某一事件概率的求法: 分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即 P(包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数n (2)若A、B互斥，则 (3)若A、B相互独立，则 (4) (5)如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生 kk次的概率: 如:设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 (1)从中任取2件都是次品; (2)从中任取5件恰有2件次品; (3)从中有放回地任取3件至少有2件次品; 解析:有放回地抽取3次(每次抽1件)，?n,103 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” 213 ? ? (4)从中依次取5件恰有2件次品。 解析:?一件一件抽取(有顺序) 523 ?， 4A5A6 23C2104A5A6 ?P 分清(1)、(2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个;分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法: (1)算数据极差; (2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。 其中，频率小长方形的面积组距× 样本平均值:频率 组距 样本方差:如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为_。 42C10C5 () 6C15 56. 你对向量的有关概念清楚吗, (1)向量既有大小又有方向的量。 (2)向量的模有向线段的长度，|a| (3)单位向量， (4)零向量0， 长度相等 (5)相等的向量 方向相同 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b?存在唯一实数，使 (7)向量的加、减法如图: (8)平面向量基本定理(向量的分解定理) e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一 实数对、，使得，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底。 (9)向量的坐标表示 i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得 ，称(x，y)为向量a的坐标，记作:，即为向量的坐标 表示。 设，y1，y2 则， ， 若Ax1，y1，Bx2， 则， ，A、B两点间距离公式 平面向量的数量积 (1)叫做向量a与b的数量积(或 为向量a与b的夹角， 数量积的几何意义: a?b等于|a|与b在a的方向上的射影的乘积。 (2)数量积的运算法则 ? ? ?，y1?x2， 注意:数量积不满足结合律(3)重要性质:设，y1，2，y2 ?a? 或 ?a?(，惟一确定) ?， ? ,练习, (1)已知正方形ABCD，边长为1，B，则 答案: (2)若向量，1，x，当 答案:时a与b共线且方向相同 (3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么答案: 58. 线段的定比分点 设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在 上且不同于P1、P2，若存在一实数，使，则叫做P分有向线段 所成的比(，P在线段P 如:，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3 则重心G的坐标是， . 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗, 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗, 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化: 线?面面?面 线?线线?线线?面面?面判定性质 线?线线?面面?面 线面平行的判定: a?b，面，?面 a b 线面平行的性质: ?面，面，?b 三垂线定理(及逆定理): PA?面，AO为PO在内射影，面，则 ?PO;a?AO a?线面垂直: P b，a?c，b，? a?a 面面垂直: a?面，面? 面?面，a? a a?面，b?面?b 面?a，面? a b 60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角，0?,?90? 0?90? (2)直线与平面所成的角，,0时，b?或 的平面角， (3)二面角:二面角(三垂线定理法:A?作或证AB?于B，作BO?棱于O，连AO，则AO?棱l，?AOB为所求。) 三类角的求法: ?找出或作出有关的角。 ?证明其符合定义，并指出所求作的角。 ?计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。 ,练习, (1)如图，OA为的斜线OB为其在 ?求BD1和底面ABCD所成的角; ?求异面直线BD1和AD所成的角; ?求二面角C1BD1B1的大小。 D C A (?arcsin3;?60o;?arcsin) 43 (3)如图ABCD为菱形，?DAB,60?，PD?面ABCD，且PD,AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。 P F A E B (?AB?DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF?AB，则PF为面PCD与面PAB的交线) 61. 空间有几种距离,如何求距离, 点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长(如:三垂线定理法，或者用等积转化法)。 如:正方形ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，则: (1)点C到面AB1C1的距离为_; CB1的距离为_; (2)点B到面A(3)直线A1D1到面AB1C1的距离为_; (4)面AB1C与面A1DC1的距离为_; 线A1C1的距离为_。 (5)点B到直D C C1 11 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质, 正棱柱底面为正多边形的直棱柱 正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中: ，和 它们各包含哪些元素, S正棱锥侧 V锥(C底面周长，h为斜高) 21底面积×高 3 63. 球有哪些性质, (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面 2 (2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角 (3)如图，为纬度角，它是线面成角;为经度角，它是面面成角。 (4)S球，V球 (5)球 ) 答案:A 64. 熟记下列公式了吗, (1)l直线的倾斜角，P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量，k (2)直线方程: 点斜式:(k存在) 斜截式: 截距式: 一般式:(A、B不同时为零) (3)点Px0，y0到直线l:的距离 (4)l1到l2的到角公式: l1与l2的夹角公式: 65. 如何判断两直线平行、垂直, ? ?l2(反之不一定成立) ?l2 ?l2 66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系, 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置, 联立方程组关于x(或y)的一元二次方程 相交;相切;相离 68. 分清圆锥曲线的定义 椭圆，第一定义双曲线， 抛物线第二定义: 椭圆;双曲线;抛物线 y x2y2 x2y2 ， x2y2x2y2 69.与双曲线有相同焦点的双曲线系为 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零,?0的限制。(求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在?0下进行。) 弦长公式 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗, 如: y P(x0,y0) K F1 F2 x l x2y2 ， P2 P1 PF2 通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。 如:椭圆与直线交于M、N两点，原点与MN中点连 线的斜率为2m，则的值为2n 答案: 73. 如何求解“对称”问题, (1)证明曲线C:F(x，y),0关于点M(a，b)成中心对称，设A(x，y)为曲线C上任意一点，设A(x，y)为A关于点M的对称点。 ，) 22 (由只要证明，也在曲线C上，即 (2)点A、A关于直线l对称?l 中点在l上 中点坐标满足l方程 圆的参数方程为(为参数) 椭圆的参数方程为(为参数) 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些,注意讨论范围。 (直接法、定义法、转移法、参数法) 76. 对线性规划问题:作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。