最新高考数学解答题的常见考法优秀名师资料.doc

大题的常见考法例析一、三角的考法1、向量结合类已知坐标平面上三点，（1）若（O为坐标原点），求向量与夹角的大小；（2）（理）若，当时，求的值(1)， . 又，设与的夹角为，则，与的夹角为或. (2)（理）， 由，可得， ，又由，0，由、得，从而2、利用正余弦定理解三角形类（这类问题较多见，可见5月画龙点晴第二套第17题）3、三角函数的性质类例：已知函数的图象的一部分如下图所示。（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最大值与最小值及相应的的值。解：（1）由图像知 , ,又图象经过点（-1，0） （2） ， 当即时，的最大值为，当，即时， 最小值为4、三角函数应用题材类（见几次模拟考试试题及07，09海南高考题）5、化简变形求值类（博恩第一套第17题）（2007安徽）已知为的最小正周期， ，且求的值解：因为为的最小正周期，故因，又故由于，所以6、应用三角函数模型类（金学导航II第17题）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（单位小时）而周期性变化，每天各时刻的浪高数据的平均值如下表：t（时）03691215182124y（米）101410061014090510（1）试画出散点图（2）观察散点图，从选择一个合适的函数模型，并求出拟合模型的解析式；（3）如果确定在白天7时19时当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间。二、概率的考法1、期望、方差性质类（2008年海南、宁夏19题）两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1510P0.80.2 X22812P0.20.50.3（）在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；（）将万元投资A项目，（）万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值（注：）解：（）由题设可知和的分布列分别为 Y1510P0.80.2 Y22812P0.20.50.3，（），当时，为最小值2、二项分布、古典概型、几何概型、超几何分布等概率分布列知识例：（2009天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=（）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而P(A2)=P(X=2)= ,P()=P(X=3)= ,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= +=3、统计概率、观察图表与概率相结合的考法（2010长沈大哈二模试题）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：药物效果试验列联表设从没服药的动物中任取两只，未患病数为；从服用药物的动物中任取两只，未患病数为，工作人员曾计算过（I）求出列联表中数据的值，请根据数据画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效；（II）求与的均值并比较大，请解释所得出结论的实际含义；（III）能够以的把握认为药物有效吗？参考数据：P=， P= - 1分 - 2分 -3分 画出列联表的等高条形图 -4分 由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效 -5分（2）取值为0，1，2 P=，P=，P=， 012 -7分 P= P= P=012 -9分 说明药物有效 -10分 （3） -11分 由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效。 -12分4、注意正态分布、条件概率生冷考点的全面复习（2007山东）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（）求方程有实根的概率；（）求的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率解：（）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件，“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异实数”为事件，则，所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个，中的基本事件总数为17个又因为是互斥事件，故所求概率（）由题意，的可能取值为，则，故的分布列为：所以的数学期望问：（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率（）记“先后两次出现的点数有中5”为事件，“方程有实数”为事件，由上面分析得，三、立体几何1、 折叠展开是一个重要复习方向（2010青岛二模）图1图2（2010青岛二模）如图1，直角梯形中，分别为边和上的点，且，将四边形沿折起成如图2的位置，使（）求证：平面；（）求四棱锥的体积;（）求面与面所成锐二面角的余弦值.解:（）证：面面2分 又面所以平面3分（）取的中点，连接平面 又平面面5分所以四棱锥的体积6分（）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以的中点坐标为因为，所以8分易知是平面的一个法向量，9分设平面的一个法向量为 由令则，10分所以面与面所成锐二面角的余弦值为12分2、结合三视图的立体几何证明运算问题（牡一中最后冲刺一）（）求证：平面；（）若为侧棱上的一点，且，则为何值时，平面，并求此时几何体的体积；（）在（）的条件下，求所在平面与所在平面所成的锐二面角的余弦值。解： 结合四棱锥直观图和三视图分析可知四棱锥中，底面为菱形且，顶点在底面的射影为菱形中心，（）证明：连接、交与点，连接在中，点，点分别为、中点，即为中位线/又面，面/平面（）解：当时，平面。证明如下：过点在面内作，垂足为面，面，又，面，面，面，又面，又面，且，面在中，即过点引面垂线，垂足为，则（）以点为原点，以，正方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，由（）知面，则为面法向量，设面法向量为则有则所在平面与所在平面所成的锐二面角的余弦值为3、探索性问题是去年的一个热点（2009年宁夏海南和2009黑龙江高考题中都考过，参考这两道题）4、四张高考卷（海南宁夏07，08，09辽宁09）背景都不一样（三棱锥、正方体、四棱锥、残缺立方体），今年的背景很可能会变化，比如说可能是一个不规范的棱柱（三棱柱09考过，正四棱柱08考过），也可能是一个组合体（既不是棱柱，也不是棱锥），如果继续考棱柱，则考题会在底面上做文章（09底面是正方形，把正方形改成直角梯形、菱形、正六边形等）。考生可有意识找些这样背景的题做一做。 四、导 数(1) 求单调性（注意含参的讨论例如附中三模导数题）(2) 直接求极值（注意最好要画表格）(3) 间接求极值问题：含恒成立问题、有解问题、交点个数问题、方程根的个数问题例1、（哈师大附中三模）定义：(其中)(I)求的单调区间（II）若恒成立，试求实数的取值范围（III）记为的导数，当时，对任意的，在区间上总存在k个正数使成立，试求的最小值。例2、（2009浙江）已知函数，其中w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）设函数若在区间上不单调，求的取值范围；例3、（2010哈师大附中一模）已知函数（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：求证：(4) 求切线（有时与方程根联系到一块）【例】（2007全国II）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即(5) 证明不等式（现在热点的考法是结合数列考查）例1、证明：（参见哈师大附中第二次模拟考试第III问）例2、证明：（哈三中中第三次模拟考试第III问）注意：这样的问题通常的思考方向有：（1）数学归纳法（2）裂项或放缩（3）转化后构相应的造函数(6) 利用导数解决实际应用问题型OO1例、请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数。当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。五、解析几何1、轨迹方程类问题已知抛物线，点P（1，1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0. （I）求抛物线C的焦点坐标； （II）若点M满足，求点M的轨迹方程.解：（I）将P（1，1）代入抛物线C的方程得a=1，抛物线C的方程为，即焦点坐标为F（0，）.4分 （II）设直线PA的方程为，联立方程消去y得则由7分同理直线PB的方程为联立方程消去y得则又9分设点M的坐标为（x，y），由又11分所求M的轨迹方程为：2、 最值范围类问题（这类问题多做几个，没有考过，今年是重点）如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点当直线与x轴垂直时，（）求椭圆的方程；（II）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（）求的最大值和最小值解：（）由抛物线方程，得焦点设椭圆的方程： 解方程组 得C（-1，2），D（1，-2） 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， 2分又，因此，解得并推得 故椭圆的方程为 4分（）， 圆过点O、，圆心M在直线上设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，由得解得所求圆的方程为8分（） 由若垂直于轴，则，9分若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为 由 得 ，方程有两个不等的实数根设，., 11分 = ，所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值3、 定值、定点、定线问题设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线2分 曲线方程是4分（2）设圆的圆心为，圆过，圆的方程为7分令得：设圆与轴的两交点分别为，方法1：不妨设，由求根公式得，10分又点在抛物线上，即4当运动时，弦长为定值4方法2：，又点在抛物线上， 当运动时，弦长为定值44、 探索、存在类问题（范围，探索）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：ABC的周长为22.记动点C的轨迹为曲线W.()求W的方程；()经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（）已知点M（，0），N（0, 1），在()的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：() 设C（x, y）, , , , 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. . . W: . 2分() 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得. 整理，得. 5分 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得或. 满足条件的k的取值范围为 7分（）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则（x1+x2，y1+y2), 由得. 又 因为， 所以. 11分 所以与共线等价于. 将代入上式，解得. 所以不存在常数k，使得向量与共线.5、 以向量为载体的综合问题设向量，过定点，以方向向量的直线与经过点，以向量为方向向量的直线相交于点P，其中（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设过的直线与C交于两个不同点M、N，求的取值范围解：（1）设，过定点，以方向向量的直线方程为：过定点，以方向向量的直线方程为：联立消去得：求点P的轨迹C的方程为（2）当过的直线与轴垂直时，与曲线无交点，不合题意，设直线的方程为：，与曲线交于由 ，的取值范围是