2019年高考数学一轮复习课时作业加练一课五空间几何体与球的切﹑接问题文20180518448.doc
加练一课(五)空间几何体与球的切接问题时间 / 30分钟分值 / 80分一、选择题(本大题共11小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.球的表面积与它的内接正方体表面积的比值是()A. 3B. 4C. 2D. 2.棱长分别为1,3,2的长方体的8个顶点都在球O的表面上,则球O的体积为()A. 823B. 32C. 733D. 433.棱长为a的正方体框架内部放置一个气球,使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状),则气球表面积的最大值为()A. a2B. 2a2C. 3a2D. 4a2图J5-14.2017·潍坊二模 一个几何体的三视图如图J5-1所示,其中俯视图是半径为r的圆.若该几何体的体积是9,则它的表面积是()A. 45B. 36C. 54D. 275.2017·山东、湖北部分重点中学四模 三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为()A. 32B. 32C. 3D. 126.2017·武汉二调 四棱锥P-ABCD的三视图如图J5-2所示,图J5-2则该四棱锥的外接球的表面积为()A. 815B. 8120C. 1015D. 101207.2017·深圳一调 已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得截面的面积为()A. 83B. 53C. 43D. 238.2017·江西红色七校二联 如图J5-3,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E,F分别为边BC,CD的中点,将ABE,ECF,FDA分别沿AE,EF,FA折起,使B,C,D三点重合于点P,若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积是()图J5-3A. 6B. 12C. 18D. 929.2017·惠州三调 已知一个底面水平放置的棱长为4的正四面体内有一小球O(重量忽略不计),现从该正四面体的顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该正四面体体积的78时,小球与该正四面体各侧面均相切(与水面也相切),则球的表面积等于()A. 76B. 43C. 23D. 210.2017·榆林二模 已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上,底面ABCD为矩形,平面PAD底面ABCD,PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为()A. 563B. 643C. 24D. 80311.如图J5-4所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()图J5-4A. 24+83B. 8+8C. 32+83D. 32+243二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)12.已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为. 图J5-513.如图J5-5,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是. 图J5-614.2017·安徽 “皖南八校”二联 如图J5-6所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=2,四棱锥P-ABCD的五个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是. 15.2017·武汉三模 棱长均相等的四面体ABCD的外接球的半径为1,则四面体ABCD的棱长为. 16.设A,B是球O的球面上两点,且AOB=90°,若点C为该球面上的动点,三棱锥O-ABC的体积的最大值为922,则球O的表面积是. 加练一课(五)空间几何体与球的切接问题1. C解析 设正方体的边长为a,则球的半径为32a,所以球的表面积S1=4R2=4×34a2=3a2,正方体的表面积S2=6a2,所以所求比值S1S2=2.2. A解析 由题意得,球的直径是长方体的体对角线长,设球的半径为R,则2R=12+(3)2+22=22,得R=2,所以球O的体积V=43R3=43(2)3=823.3. B解析 气球最大时,与棱长为a的正方体框架相切,球的直径等于正方体的面对角线,即球的直径为2a,半径为2a2,故气球表面积的最大值为4r2=2a2.4. A解析 该几何体为圆柱中挖去一个半球,圆柱的底面半径和高均为r,半球的半径为r,该几何体的体积V=×r2·r-12×43r3=13r3=9,r=3.S侧=×2r·r=2r2=18,S底=×r2=9,S半球=12×4×r2=2r2=18,该几何体的表面积S表=18+9+18=45.5. C解析 如图所示,可将三棱锥扩展为正方体,则三棱锥的外接球即为正方体的外接球,外接球的直径就是正方体的体对角线的长度,球的半径R=12+12+122=32,球的表面积为4R2=4×322=3.6. C解析 根据三视图还原四棱锥P-ABCD的直观图,如图所示.由题意知,平面PAD平面ABCD,PAD为等腰三角形,PA=PD=3,AD=4,四边形ABCD为矩形,CD=2.过PAD的外心F作平面PAD的垂线,过矩形ABCD的中心H(对角线AC与BD的交点)作平面ABCD的垂线,两条垂线交于一点O,则点O即为四棱锥外接球的球心.连接OB,OP,设OH=x,则OB2=x2+22+4222,OP2=(32-22-x)2+1.因为OB2=OP2,所以x=125,OB=1252+(5)2=10120,该四棱锥的外接球的表面积为4·OB2=1015.7. D解析 由题意,球心O与B的距离为12×23=3,B到平面ACB1的距离为13×23=233,球的半径为1,球心O到平面ACB1的距离为3-233=33, 平面ACB1截此球所得截面圆的半径为1-13=23,所得截面的面积为×23=23.8. A解析 由题意知,PA,PF,PE两两垂直,且PA=2,PE=PF=1,以PA,PE,PF为共顶点的三条棱构造一个长方体,则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上,这个球的半径R=1+1+42=62,该球的表面积S=4R2=4×64=6.9. C解析 由题意,没有水的部分的体积是正四面体体积的18.正四面体的各棱长均为4,正四面体体积为13×34×42×16-163=1623,没有水的部分的体积是223,设其棱长为a,则13×34a2×63a=223, a=2.设小球的半径为r,则4×13×34×22r=223,r=66,球的表面积S=4×16=23. 10. B解析 过P作PEAB交球面于E.连接BE,CE,则BEAP,CEDP,则三棱柱APD-BEC为正三棱柱.PAD为正三角形,PAD的外接圆的半径为233,球O的半径R=22+2332=43.球O的表面积S=4R2=643.11. A解析 根据三视图可知,该几何体是34个球与一个三棱锥的组合体.球的半径为2,三棱锥的底面是等腰直角三角形,面积S=12×22×22=4,高为2,所以三棱锥的体积为13×4×2=83,故组合体的体积V=34×43×23+83=24+83,故选A.12. 92解析 设正方体的棱长为a,则6×a2=18,即a=3.正方体内接于球,球的半径 R=32a=32,球的体积V=43×323=92.13. 32解析 设球O的半径为R.因为该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面圆的半径为R,圆柱的高为2R.故圆柱O1O2的体积V1=2R3,球O的体积V2=43R3,所以V1V2=2R343R3=32.14. 12解析 由题意得球的半径为12×22×3=3,所以球的表面积是4×(3)2=12.15. 263解析 将正四面体放在棱长为a的正方体之内,使正四面体的棱为正方体的面对角线,则正四面体的棱长为2a,且由题意有a2+a2+a2=22,则a2=43,所以2a=263,即四面体ABCD的棱长为263.16. 36解析 如图所示,当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积最大.设球O的半径为R,此时V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-AOB=13×12×R2·R=922,解得R=3, 球O的表面积S=4R2=4×9=36.8
