2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练64椭圆二理20180515465.doc

题组训练64 椭圆（二）1已知椭圆E：1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，1)，则E的方程为()A.1B.1C.1 D.1答案D解析kAB，kOM1，由kAB·kOM，得，a22b2.c3，a218，b29，椭圆E的方程为1.2(2018·南昌二模)已知椭圆：x21，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆x21上，所以两式相减得x12x220，得(x1x2)(x1x2)0，又弦AB被点P(，)平分，所以x1x21，y1y21，将其代入上式得x1x20，得9，即直线AB的斜率为9，所以直线AB的方程为y9(x)，即9xy50.3椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离是()A3 B.C2 D.答案D解析设椭圆1上的点P(4cos，2sin)，则点P到直线x2y0的距离为d，dmax.4(2018·广东梅州阶段测评)已知椭圆E：1的一个顶点C(0，2)，直线l与椭圆E交于A，B两点，若E的左焦点F1为ABC的重心，则直线l的方程为()A6x5y140 B6x5y140C6x5y140 D6x5y140答案B解析由题意知F1(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设M为AB的中点，则M(，1)由作差得0，将代入上式得.即k，由点斜式得，直线方程为y1(x)，即6x5y140.5(2018·广西南宁、梧州摸底联考)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若SABC3SBCF2，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案A解析设椭圆的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，将xc代入椭圆方程得y±.设A(c，)，C(x，y)，由SABC3SBCF2，可得2，即有(2c，)2(xc，y)，即2c2x2c，2y，可得x2c，y，代入椭圆方程可得1.由e，b2a2c2，得4e2e21，解得e，故选A.6已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A，B两点若向量3，则k()A1 B.C. D2答案B解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)因为3，故y13y2.因为e，设a2t，ct，bt，故x24y24t20，直线AB的方程为xsyt.代入消去x，所以(s24)y22styt20，所以y1y2，y1y2，2y2，3y22，解得s2，又k，则k.故选B.7已知直线l：yk(x2)与椭圆x29y29交于A，B两点，若|AB|2，则k_答案±解析椭圆x29y29即椭圆y21，所以椭圆的焦点坐标为(±2，0)因为直线yk(x2)，所以直线过椭圆的左焦点F(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线yk(x2)代入椭圆x29y29，可得(19k2)x236k2x72k290，所以x1x2，x1x2，所以|AB|·，因为|AB|2，所以2，所以k±.8直线m与椭圆y21交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_答案解析由点差法可求出k1·，k1·，即k1k2.9(2018·河北唐山期末)设F1，F2为椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_答案1解析由F2AB是面积为4的等边三角形知AB垂直x轴，得×2c，×2c×4，a2b2c2，解得a29，b26，c23.所以的椭圆方程为1.10椭圆：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线y(xc)知其倾斜角为60°，由题意知MF1F260°，则MF2F130°，F1MF290°.故|MF1|c，|MF2|c.又|MF1|MF2|2a，(1)c2a.即e1.11已知椭圆1(0<m<9)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|BF2|的最大值为10，则m的值为_答案3解析已知在椭圆1(0<m<9)中，a29，b2m.|AF2|BF2|4×3|AB|10，|AB|2，|AB|min2，解得m3.12(2018·衡水中学调研卷)过椭圆y21的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G的横坐标的取值范围为_答案(，0)解析设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220，(4k2)24(12k2)×(2k22)k21>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，则x1x2，y1y2，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0.k0，<xG<0，点G的横坐标的取值范围为(，0)13(2018·江苏泰州中学月考)已知直线yx1与椭圆1(a>b>0)相交于A，B两点，且OAOB(O为坐标原点)，若椭圆的离心率e，则a的最大值为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(a2b2)x22a2xa2a2b20，4a44(a2b2)(a2a2b2)>0，可得a2b2>1且OAOB，·x1x2y1y20，即2x1x2(x1x2)10，10，整理得a2b22a2b2，a2a2c22a2(a2c2)，2a2a2e22a2(a2a2e2)，2a21，e，2a2，5，即amax.14已知椭圆C：1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，求直线AB的斜率答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为yk(x1)，代入椭圆方程化简得(k22)x22k(k)xk22k20，显然1和x1是这个方程的两解因此x1，y1，由k代替x1，y1中的k，得x2，y2，所以.15设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求实数b的值答案(1)(2)解析(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简，得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|.即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，解得b.16(2018·广东六校联盟二联)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(3，0)，F2(3，0)，直线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF1F2的周长为46，求椭圆的标准方程；(2)若|k|>，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围答案(1)1(2)<e<解析(1)由题意得解得a2.结合a2b2c2，解得a212，b23.所以椭圆的标准方程为1.(2)由消去y，得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，易知，AF2BF2.因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以·(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290，即90，将其整理为k21.因为|k|>，所以12<a2<18，即2<a<3.所以离心率<e<.17(2018·杭州市二中模拟)已知椭圆E的两个焦点分别为F1(1，0)和F2(1，0)，离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：yxm(m0)与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求TAB面积的最大值答案(1)y21(2)解析(1)根据题意得解得所以椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得3x24mx2m220.直线与椭圆有两个不同的交点，(4m)212(2m22)>0，即<m<且m0.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.设AB的中点为C，xC，yCxCm.线段AB的垂直平分线的方程为y(x)点T的坐标为(，0)T到直线AB的距离d|m|，由弦长公式得|AB|.STAB×|m|×，当m2，即m±(，)时等号成立STABmax.1由椭圆b2x2a2y2a2b2(a>b>0)的顶点B(0，b)引一条弦BP，当ab时，|BP|的最大值为()A. B.C. D.答案B解析设P(x，y)，因为x2a2y2(b<yb)，所以|BP|，因为ab，所以当y时，|BP|取得最大值，且|BP|max.2(2018·广西来宾高中模拟)已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1的斜率的取值范围是()A， B，C，1 D，2答案A解析由题易知A1(2，0)，A2(2，0)，设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，则k1k2·，所以k1×.因为k22，1，所以k1，故选A.3已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：1(a>b>0)，其焦距为2，且过点(1，)，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则OCD面积的最小值为()A. B.C. D2答案B解析由题意可得2c2，即c1，a2b21，将点(1，)代入椭圆方程，可得1，解得a，b1，即椭圆的方程为y21，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为xy2y1，令x0，得yD，令y0，可得xC，所以SOCD··，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2>0，y2>0，y221，即有2，即SOCD，当且仅当y22，即点B的坐标为(1，)时，OCD面积取得最小值，故选B.4已知椭圆C：1(a>b>0)的一个顶点A(2，0)，离心率为，直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求实数k的值答案(1)1(2)k±1解析(1)a2，e，c，b.椭圆C：1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由消y，得(12k2)x24k2x2k240.直线yk(x1)恒过椭圆内一点(1，0)，>0恒成立由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.SAMN×1×|y1y2|×|kx1kx2|.即7k42k250，解得k±1.5(2018·河北保定期末)已知椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为(1，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0，3)的直线m与C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的方程答案(1)1(2)yx3或yx3解析(1)椭圆C：1(a>b>0)的焦点在x轴上，右焦点为(1，0)，则c1，由椭圆的离心率e，得b2a2c23，椭圆C的标准方程为1.(2)若直线m的斜率不存在，可得点A的坐标为(0，)，点B的坐标为(0，)，显然不满足条件，故此时方程不存在若直线m的斜率存在，设其方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A是PB的中点，x1，y1，1，1，联立，解得或即点B的坐标为(2，0)或(2，0)，直线m的斜率为或，则直线m的方程为yx3或yx3.6已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点是F1(0，1)，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求SABF2的取值范围答案(1)1(2)(0，解析(1)由条件可设椭圆方程为1(a>b>0)，则有c1，e，b，所求椭圆的方程是1.(2)由条件设直线AB的方程为y1kx.将ykx1代入椭圆方程，得(2k23)x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，16k216(2k23)48(k21)>0，x1x2，x1x2.SABF2|F1F2|x1x2|x1x2|.(x1x2)2(x1x2)24x1x2.令tk21，则t1，设g(t)4t4.g(t)4，当t1时，g(t)0，g(t)在1，)上单调递增，g(t)g(1)9，0<，0<SABF2.7(2018·山东济宁期末)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率是，过坐标原点O的任一直线交椭圆C于M，N两点，且|NF2|MF2|4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于不同的两点A，B，且与圆x2y21相切()求证：m2k21；()求·的最小值答案(1)1(2)()略()解析(1)设M(x，y)是椭圆上任一点，则N(x，y)，|NF2|MF2|4，4，即4，M(x，y)到点(c，0)，(c，0)的距离和为4，2a4，a2.又椭圆C的离心率是，c1，b，椭圆C的标准方程是1.(2)()证明：直线l：ykxm与圆x2y21相切，圆心(0，0)到直线l的距离等于半径1，即1m2k21.()设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28kmx4m2120，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.·x1x2y1y2.m2k21，·x1x2y1y2()当k20时，·有最小值.12