2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练69直线与圆锥曲线的位置关系理2018051547.doc

题组训练69 直线与圆锥曲线的位置关系1若过原点的直线l与双曲线1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B(，)C. D.答案B解析1，其两条渐近线的斜率分别为k1，k2，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是.2已知椭圆x22y24，则以(1，1)为中点的弦的长度为()A3B2C. D.答案C解析设y1k(x1)，ykx1k.代入椭圆方程，得x22(kx1k)24.(2k21)x24k(1k)x2(1k)240.由x1x22，得k，x1x2.(x1x2)2(x1x2)24x1x24.|AB|·.3(2018·辽宁师大附中期中)过点M(2，0)的直线n与椭圆y21交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A2 B2C. D答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则两式相减，得(y1y2)(y1y2)0.即2y(y1y2)0.k1，又k2.k1·k2.4(2017·山东师大附中模拟)已知两定点A(0，2)，B(0，2)，点P在椭圆1上，且满足|2，则·为()A12 B12C9 D9答案D解析易知A(0，2)，B(0，2)为椭圆1的两焦点，|2×48，又|2，|5，|3.|4，ABP为直角三角形，·|29.5(2018·福建厦门中学期中)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B.C2 D3答案B解析不妨设双曲线C：1(a>0，b>0)，焦点F(c，0)，对称轴为直线y0.由题意知1，y±，4a，b22a2，c2a22a2，c23a2，e.故选B.6(2018·德州一中期末)已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l.若射线y2(x1)(x1)与C，l分别交于P，Q两点，则()A. B2C. D5答案C解析抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，设准线l：x1与x轴的交点为F1，过点P作直线l的垂线，垂足为P1，由得点Q的坐标为(1，4)，所以|FQ|2.根据抛物线的定义可得，|PF|PP1|，所以，故选C.7已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y2x1交于P、Q两点，若|PQ|，则抛物线的方程为()Ay24x By212xCy24x或y212x D以上都不对答案C解析由题意设抛物线的方程为y22px，联立方程得消去y，得4x2(2p4)x10，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|PQ|x1x2|··，所以，p24p120，p2或6，所以y24x或y212x.8(2018·衡水中学调研)过抛物线x24y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则()A2 B4C. D.答案D解析根据题意，抛物线的焦点为(0，1)，设直线AB的方程为ykx1(k0)，直线CD的方程为yx1，由得y2(24k2)y10，由根与系数的关系得yAyB24k2，所以|AB|yAyB244k2，同理|CD|yCyD24，所以，故选D.9(2018·福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的焦距为2，抛物线yx2与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.1 B.1Cx21 D.y21答案D解析由题意可得c，即a2b25，双曲线的渐近线方程为y±x.将渐近线方程和抛物线方程yx2联立，可得x2±x0，由渐近线和抛物线相切可得4××0，即有a24b2，又a2b25，解得a2，b1，可得双曲线的方程为y21.故选D.10(2018·天津红桥区期末)已知双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y22px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B.C2 D3答案C解析因为双曲线方程为1，所以双曲线的渐近线方程是y±x.又抛物线y22px(p>0)的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是y±.因为双曲线的离心率为2，所以2，所以3，则，A，B两点的纵坐标分别是y±±.又AOB的面积为，x轴是AOB的平分线，所以×p×，解得p2.故选C.11设F为抛物线C：y22px(p>0)的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点(B在第一象限，A在第四象限)，O为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比值为()A. B2C3 D4答案C解析抛物线C：y22px(p>0)的焦点F(，0)，准线x，直线AB：y(x)，与抛物线方程联立，消去x得，y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1p，y2p，故M(，p)，则|OM|p，将y2p代入直线AB的方程得x2p，故B(p，p)，则|OB|p，所以|OB|3|OM|.故选C.12(2018·河南郑州二测)过点P(1，0)作直线与抛物线y28x相交于A，B两点，且2|PA|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为_答案5解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由相似三角形知识可知.设直线的斜率为k，则其方程为y0k(x1)，即ykxk，由可得ky28y8k0，则yA·yB8.由可得yB2248xB，所以xB3，由抛物线的定义可知点B到焦点的距离为35.13(2018·湖北部分重点高中联考)已知双曲线C2与椭圆C1：1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为_答案解析设双曲线的方程为1(a>0，b>0)，由题意知a2b2431，由解得交点的坐标满足由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S4|xy|4·8··8·4，当且仅当a21a2，即a2时，取等号，此时双曲线的方程为1，离心率e.14(2018·淮南一模)过椭圆1(a>b>0)上的动点P作圆x2y2b2的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB与x轴，y轴分别交于M，N，则MON(O为坐标原点)面积的最小值为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线PA：x1xy1yb2，直线PB：x2xy2yb2.因为P(x0，y0)在直线PA，PB上，所以可得直线AB的方程为x0xy0yb2，得M(，0)，N(0，)，则MON的面积SMON··，当且仅当|时等号成立15(2018·湖南永州一模)已知椭圆C：1(a>b>0)的焦距为2，离心率为，y轴上一点Q的坐标为(0，3)(1)求该椭圆的方程；(2)若对于直线l：yxm，椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3·<32，求实数m的取值范围答案(1)y21(2)(，)解析(1)由题意知c1，所以a，b1.所以所求椭圆的方程为y21.(2)方法一：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为yxn.联立消去y并整理可得3x24nx2n220，由(4n)212(2n22)248n2>0，解得<n<.x1x2，x1x2，设直线AB的中点为P(x0，y0)，则x0，由点P在直线AB上得y0n，又点P在直线l上，m，所以m(，)又(x1，y13)，(x2，y23)，·(x1，y13)·(x2，y23)x1x2(y13)(y23)n22n39m26m33(3m1)(m1)<0，解得1<m<，综合式，得m的取值范围为(，)方法二：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的中点为P(x，y)，则2xx1x2，2yy1y2，将A，B两点分别代入椭圆方程，并联立两式相减得x12x222(y12y22)0，即(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0.又ABl，所以kAB1，所以，AB的中点P的轨迹方程为yx.由得即P(2m，m)又P在椭圆内，(m)2<1，即m2<，即<m<，另一方面，易知直线AB的方程为yx3m.联立消去y并整理得3x212mx18m220，x1x24m，x1x2.又(x1，y13)，(x2，y23)，·(x1，y13)·(x2，y23)x1x2(y13)(y23)2x1x2(3m3)(x1x2)9m218m99m26m33(3m1)(m1)<0，解得1<m<.综合式，得m的取值范围为(，)16(2016·课标全国，理)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围答案(1)(2)(，2)解析(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.当t4时，E的方程为1，A(2，0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1，得7y212y0.解得y0或y，y1>0，所以y1.因此AMN的面积SAMN2×××.(2)由题意知t>3，k>0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0.由x1·()，得x1，故|AM|x1|.由题设知，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.t>3等价于<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(，2)1(2017·北京大兴一中月考)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF1PF2，则C的离心率为()A. B.C2 D.答案D解析取双曲线C的渐近线为yx.因为F1(c，0)，F2(c，0)，所以过F2作平行于渐近线yx的直线PF2的方程为y(xc)因为PF1PF2，所以直线PF1的方程为y(xc)联立方程组得点P的坐标为(，)因为点P在双曲线C上，所以1，即1.因为c2a2b2，所以1，整理得c25a2.因为e>1，所以e.故选D.2已知双曲线x21，过点A(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A4 B3C2 D1答案A解析斜率不存在时，方程为x1符合设斜率为k，y1k(x1)，kxyk10.(4k2)x2(2k22k)xk22k50.当4k20，k±2时符合；当4k20，0，亦有一个答案，共4条3已知双曲线T：y21，过点B(2，0)的直线交双曲线于A点(A不是双曲线的顶点)，若AB的中点Q在直线yx上，点P为双曲线T上异于A，B的任意一点(不是双曲线的顶点)，直线AP，BP分别交直线yx于M，N两点，O为坐标原点，则·()A BC D8答案A解析因为AB的中点Q在直线yx上，B(2，0)，所以A(，)设P(x0，y0)，当直线AP的斜率不存在时，易知P(，)，M(，)，N(，)，此时·×()×().当直线AP的斜率存在时，则直线AP的方程是y(x)，与直线yx联立得xMyM.直线BP的方程为y(x2)，与直线yx联立得xNyN.因为y021，所以·xMxNyMyN2××.4(2017·福建福州质检)已知F1，F2是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线yx对称，则该双曲线的离心率为_答案解析由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y对称，则PF1PF2.又，联立|PF2|PF1|2a，|PF2|2|PF1|2(2c)2，可得b3a2b2c2a.所以b2a，e.5(2018·河北石家庄模拟)已知F1，F2分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为PF1F2的内心，满足SMPF1SMPF2SMF1F2.若该双曲线的离心率为3，则_(注：SMPF1，SMPF2，SMF1F2分别为MPF1，MPF2，MF1F2的面积)答案解析设PF1F2内切圆的半径为r，则由题意，得×|PF1|×r×|PF2|×r××|F1F2|×r，即|PF1|PF2|F1F2|·2c，又由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，所以2a·2c，即.6已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线相交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积答案(1)y28x(2)24解析(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p×8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8，0)故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.7抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值答案(1)±2(2)4解析(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2×·|OF|·|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.8(2018·河南洛阳第一次统考)已知抛物线C：x22py(y>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线C的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N，证明：直线AN与抛物线相切答案(1)x22y(2)略解析(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp21.p1.抛物线C的方程为x22y.(2)证明：设直线AB的方程为ykx，联立得x22kpxp20.设方程的两根分别为x1，x2，则x1x22kp，x1x2p2.设A(x1，)，B(x2，)设M(kp，k2p)，N(kp，)kAN.又x22py，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切13