2019版高考数学一轮总复习第六章数列题组训练39专题研究3数列的综合应用理20180515487.doc

题组训练39 专题研究3 数列的综合应用1设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A2B2C. D答案D解析S1a1，S2a1a22a11，S44a16.S22S1S4，(2a11)2a1(4a16)4a124a114a126a1a1.2(2017·山西四校联考)已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则()A1 B1C32 D32答案C解析因为a1，a3，2a2成等差数列，所以a3×2a12a2，即a1q2a12a1q，所以q212q，解得q1或q1(舍)，所以q2(1)232.3已知an是等差数列，a115，S555，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为()A4 B.C4 D答案C解析S55a1d，所以5×1510d55，即d2.所以kPQ2d4.4(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)()A2018年 B2019年C2020年 D2021年答案B解析根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列an，其中，首项a1130，公比q112%1.12，所以an130×1.12n1.由130×1.12n1>200，两边同时取对数，得n1>，又3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.5已知各项均不为0的等差数列an，满足2a3a722a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8()A2 B4C8 D16答案D解析因为an为等差数列，所以a3a112a7，所以已知等式可化为4a7a720，解得a74或a70(舍去)，又bn为等比数列，所以b6b8b72a7216.6已知an，bn均为等差数列，且a28，a616，b24，b6a6，则由an，bn的公共项组成的新数列cn的通项公式cn()A3n4 B6n2C6n4 D2n2答案C解析设an的公差为d1，bn的公差为d2，则d12，d23.ana2(n2)×22n4，bnb2(n2)×33n2.数列an为6，8，10，12，14，16，18，20，22，数列bn为1，4，7，10，13，16，19，22，.cn是以10为首项，以6为公差的等差数列cn10(n1)×66n4.7(2017·重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著九章算术中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为()A200 B300C. D400答案B解析由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a1，a2，a3，a4，a5，则a1a2a3a4a5500.由等差数列的性质可得5a3500，即a3100，所以a2a3a43a3300.8(2017·河南洛阳期末)已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则()A2B3C5 D6答案B解析a2，a4，a8成等比数列，a42a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，a1d，3.故选B.9(2017·衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n与形如3n(nN*)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg20.301 0)()A1 631 B6 542C15 340 D17 424答案B解析由2n<104，得n<13.29，故数列2n在1到104之间的项共有13项，它们的和S116 382；同理，数列3n在1到104之间的项共有8项，它们的和S29 840，|S1S2|6 542.10(2018·温州十校联考)设数列an和bn分别是等差数列与等比数列，且a1b14，a4b41，则以下结论正确的是()Aa2>b2 Ba3<b3Ca5>b5 Da6>b6答案A解析设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d，q，则由题意得解得则a2b23>30；故选A.11数列an是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列bn中的连续三项，则数列bn的公比为_答案或1解析设数列an的公差为d，由题可知，a32a1·a4，可得(a12d)2a1(a13d)，整理得(a14d)d0，解得d0或a14d.当d0时，等比数列bn的公比为1；当a14d时，a1，a3，a4分别为4d，2d，d，所以等比数列bn的公比为.12(2017·广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.答案4解析设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1，设操作n次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为an，则an1an·，ana1qn1()n，()n<，解得n4.13(2015·浙江)已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.答案(1)an2n，bnn(2)Tn(n1)2n12解析(1)由a12，an12an，得an2n(nN*)由题意知：当n1时，b1b21，故b22.n2时，b1b2bn1bn1和原递推式作差得bnbn1bn，整理得，所以bnn(nN*)(2)由知anbnn·2n，因此Tn22·223·23n·2n，2Tn222·233·24n·2n1，所以Tn2Tn222232nn·2n1.故Tn(n1)2n12(nN*)14(2016·四川)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q>0，nN*.(1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e22，求e12e22en2.答案(1)an2n1(nN*)(2)n(3n1)解析(1)由已知Sn1qSn1，得Sn2qSn11，两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1.由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2，所以an2n1(nN*)(2)由(1)可知，anqn1.所以双曲线x21的离心率en.由e22解得q.所以e12e22en2(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)15(2018·衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式(注：2016年为第一年)；(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.9910(10.01)100.9)答案(1)(2)不需要解析(1)由题意知，当n10时，数列an是以45.5为首项，0.5为公差的等差数列，所以an45.5(n1)×0.50.5n45.当11n20时，数列an是公比为0.99的等比数列，而a1150×0.99，所以an50×0.99n10.所以新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万)的表达式为an(2)设Sn为数列an的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20S10(a11a12a20)477.54 950×(10.9910)972.5(万)，所以新政策实施到2035年人口均值为48.63<49.所以到2035年后不需要调整政策16(2018·云、贵、川三省联考)设数列an是公差大于0的等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S39，且2a1，a31，a41构成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足2n1(nN*)，设Tn是数列bn的前n项和，证明：Tn<6.答案(1)2n1(2)略解析(1)设数列an的公差为d，则d>0.因为S39，所以a1a2a33a29，即a23.因为2a1，a31，a41构成等比数列，所以(2d)22(3d)(42d)，所以d2.所以ana2(n2)d2n1.(2)证明：因为2n1(nN*)，所以bn(2n1)()n1，所以Tn1×()03×()1(2n1)×()n1，所以Tn1×()13×()2(2n3)×()n1(2n1)×()n，由两式相减得Tn12×()12×()22×()n1(2n1)×()n13，整理化简得Tn6.又因为nN*，所以Tn6<6.(第二次作业)1若方程x25xm0与x210xn0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn的值为()A.B.C2 D4答案A解析设等比数列的公比为q，由根与系数的关系，得1qq2q315，即(q2)(q23q7)0，因此q2，此时mq2，nq4，故mn14，故选A.2某林厂年初有森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是()A. B.C. D.答案C解析(1)Sx(1)x(1)S，x.3在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则abc的值为()121abcA.1 B2C3 D4答案A解析由题意知，a，b，c.故abc1，故选A.4今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是()A21147 B21257C21368 D21480答案B解析由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an4×2n1，bnn，故上午11时30分公园内的人数为S221257.5(2017·河北唐山一中调研)定义：F(x，y)yx(x>0，y>0)，已知数列an满足：an(nN*)，若对任意正整数n，都有anak(kN*)成立，则ak的值为()A. B2C. D.答案C解析由题意得an且ak(an)min，由指数函数y2x与二次函数yx2图像的对比可得当x>0时，先减后增，故有最小值因此a12，a21，a3，a41，所以a2>a3且a3<a4，所以(an)mina3，则ak，故选C.6(2017·保定模拟)如图所示，矩形AnBnCnDn的一个边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)x(x>0)的图像上若点Bn的坐标为(n，0)(n2，nN*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2a3a10等于()A208 B216C212 D220答案B解析由Bn(n，0)，得Cn(n，n)，令xn，即x2(n)x10，得xn或x，所以Dn(，n)，所以矩形AnBnCnDn的周长an2(n)2(n)4n.所以a2a3a104(2310)216.故选B.7(2018·江西九江一中月考)在等比数列an中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：OAB(O为原点)中，(1，1)，(2，q)，A为锐角，则公比q_答案2解析由a7是a8，a9的等差中项，知2a7a8a9a7qa7q2，得q1或q2.又因为A为锐角，所以··()(1，1)·(1，q1)q>0，可知q<0，故q2.8(2017·河北教学质量监测)已知函数yx2(x>0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1(kN*)，若a116，则a1a3a5_答案21解析由题意，得函数yx2(x>0)的图像在点(ak，ak2)处的切线方程是yak22ak(xak)令y0，得xak，即ak1ak，因此数列ak是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak16·()k125k，所以a1a3a5164121.9(2017·合肥质检)一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过_分钟，该病毒占据64MB内存(1MB210KB)答案45解析依题意可知a02，a122，a223，an2n1.64MB64×210216KB，令2n1216得n15.开机后45分钟该病毒占据64MB内存10一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是x，另一个是x3.设第n次生成的数的个数为an，则数列an的前n项和Sn_；若x1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为Tn，则T4_答案2n1，10解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn2n1.当x1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为1，4，第3次生成的数为1，2；4，7，第4次生成的数为1，4；2，5；4，1；7，10.故T410.11(2018·湖北武汉武昌实验中学模拟)已知数列an，bn中，a1a，bn是比公为的等比数列，记bn(nN*)，若不等式an>an1对一切nN*恒成立，则实数a的取值范围是_答案(2，)解析因为bn(nN*)，所以an，所以an1an<0，即>0，解得bn>或0<bn<1.若bn>，则b1()n1>对一切正整数n成立，显然不可能；若0<bn<1，则0<b1()n1<1对一切正整数n成立，只要0<b1<1即可，即0<<1，解得a1a>2.12(2018·上海虹口区模拟)某市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张为了节能减排和控制总量，从2017年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的水平不变(1)记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列bn，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a110a29.5a3_a4_b12b23b3_b4_(2)从2017年算起，求二十年发放的汽车牌照总量答案(1)a39，a48.5，b34.5，b46.75an bn(2)229.25万张解析(1)a110a29.5a39a48.5b12b23b34.5b46.75当1n20且nN*，an10(n1)×(0.5)；当n21且nN*，an0，ana4b415.25>15，bn(2)a1a2a2010×20×()105，b1b2b3b4b5b206.75×16124.25.从2017年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张13(2017·江西省宜春中学与新余一中联考)设函数f(x)sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn(1)求数列xn的通项公式；(2)令bn，设数列的前n项和为Sn，求证Sn<.答案(1)xn2n(nN*)(2)略解析(1)f(x)sinx，令f(x)cosx0，得x2k±(kZ)由f(x)>02k<x<2k(kZ)，由f(x)<02k<x<2k(kZ)，当x2k(kZ)时，f(x)取得极小值，所以xn2n(nN*)(2)因为bnn，所以·3()，所以Sn3()3()，所以Sn<.14(2017·山东，理)是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.答案(1)2n1(2)解析(1)设数列xn的公比为q，则q>0.由题意得所以3q25q20.因为q>0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公比为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn×2n1(2n1)×2n2，所以Tnb1b2bn3×215×207×21(2n1)×2n3(2n1)×2n2，又2Tn3×205×217×22(2n1)×2n2(2n1)×2n1.得Tn3×21(2222n1)(2n1)×2n1(2n1)×2n1.所以Tn.15(2018·浙江镇海中学模拟)已知数列an是各项均为正数的等差数列，其中a11，且a2，a4，a62成等比数列；数列bn的前n项和为Sn，满足2Snbn1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)如果cnanbn，设数列cn的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn>Sn成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，说明理由答案(1)an1bn(2)存在2解析(1)设等差数列an的公差为d，依条件有a42a2(a62)，即(a13d)2(a1d)(a15d2)，解得d(因数列各项均为正数，故舍去)或d1，所以ana1(n1)d1(n1)n.由2Snbn1，得Sn(1bn)当n1时，2S1b11，解得b1；当n2时，bnSnSn1(1bn)(1bn1)bnbn1，所以bnbn1，所以数列bn是首项为，公比为的等比数列，故bn.(2)由(1)知，cnanbn，所以Tn1×2×3×n×在式两边同乘，得Tn1×2×3×n×由两式相减得Tnn×，整理化简得Tn×××.又因为Sn，所以TnSn×.当n1时，T1S1，当n2时，×3n(2n1)>0，所以Tn>Sn，故所求的正整数n存在，其最小值是2.1设某商品一次性付款的金额为a元，若以分期付款的形式等额地分成n次付清，且每期利率r保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是()A.(1r)n元 B.元C.(1r)n1元 D.元答案B解析设每期期末所付款是x元，则各次付款的本利和为x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，即x·a(1r)n，整理得x.故选B.2在平面直角坐标系上，有一点列：P1，P2，Pn，(nN*)，设点Pn的坐标为(n，an)，其中an(nN*)，过点Pn，Pn1的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为bn，设Sn表示数列bn的前n项和，则S5_答案解析由题意得，过点Pn，Pn1的直线为，即2xn(n1)y2(2n1)0.令y0，得x2n1，令x0，得y，所以bn×(2n1)×44，所以S54×51.3设函数f(x)sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn，xn的前n项和为Sn，则sinSn不可能取的值是()A0 B.C D.答案B解析由f(x)sinx，得f(x)cosx，令f(x)0，得x2k±(kZ)，当f(x)>0时，2k<x<2k(kZ)，当f(x)<0时，2k<x<2k(kZ)f(x)取极小值，即xn2n，所以Snx1x2x3xn2(123n)n(n1)，当n3k(kN*)时，sinSnsin(2k)0；当n3k1(kN*)时，sinSnsin；当n3k2(kN*)时，sinSnsin.4一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b件当对产品做电视广告后，记每日播n次时的日销售量为an(nN*)件，调查发现：每日播1次则日销售量a1件在b件的基础上增加件，每日播2次则日销售量a2件在每日播1次时日销售量a1件的基础上增加件，每日播n次，该产品的日销售量an件在每日播n1次时的日销售量an1件的基础上增加件合同约定：每播一次企业需支付广告费2b元(1)试求出an与n的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次？答案(1)anb(2)(2)每日电视广告需播5次，日利润最大解析(1)由题意，电视广告每日播k次时，该产品的日销售量ak满足akak1(kN*，a0b)，anbb(2)(nN*)即该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为anb(2)(nN*)(2)该企业每日播放电视广告n次时的获利为cn100b(2)2bn100b(20.02n)(nN*)cncn1100b(0.02)0，即2n50，nN*，n5(nN*)cn1cn100b(0.02)0，2n25，n5.n5.要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5次5已知函数f(x)logkx(k为常数，k>0且k1)，且数列f(an)是首项为4，公差为2的等差数列(1)求证：数列an是等比数列；(2)若bnan·f(an)，当k时，求数列bn的前n项和Sn；(3)若cnanlgan，问是否存在实数k，使得cn中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由答案(1)略(2)Snn·2n3(3)(0，)(1，)解析(1)由题意知f(an)4(n1)×22n2，即logkan2n2，ank2n2，k2.常数k>0且k1，k2为非零常数数列an是以k4为首项，k2为公比的等比数列(2)由(1)知，bnanf(an)k2n2·(2n2)，当k时，bn(2n2)·2n1(n1)·2n2.Sn2·233·244·25(n1)·2n2，2Sn2·243·25n·2n2(n1)·2n3.，得Sn2·2324252n2(n1)·2n323(2324252n2)(n1)·2n3，Sn23(n1)·2n3n·2n3.(3)存在由(1)知，cnanlgan(2n2)·k2n2lgk，要使cn<cn1对一切nN*成立，即(n1)lgk<(n2)k2lgk对一切nN*成立当k>1时，lgk>0，n1<(n2)k2对一切nN*恒成立；当0<k<1时，lgk<0，n1>(n2)k2对一切nN*恒成立，只需k2<()min，1单调递增，当n1时，()min.k2<，且0<k<1，因此0<k<.综上所述，存在实数k(0，)(1，)满足条件6(2017·衡水中学调研卷)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足Sn2(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有<.答案(1)a12(2)an2n(3)略解析(1)令n1代入得a12(负值舍去)(2)由Sn2(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*，得Sn(n2n)(Sn3)0.又已知各项均为正数，故Snn2n.当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a12也满足上式，所以an2n，nN*.(3)证明：kN*，4k22k(3k2 3k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k.()()(1)<.不等式成立17