2018年高中数学第7课时球的体积和表面积综合刷题增分练新人教A版必修220180518228.wps

第 7 7 课时 球的体积和表面积 课时目标 1.了解球的表面积及体积公式的推导方法 2掌握球的表面积与体积公式的应用 识记强化 4 1半径为 R的球的体积为 R3. 3 2半径为 R的球的表面积为 4R2. 3 3若球的内接正方体的棱长为 a，则球的半径为 a，若球的外切正方体的棱长为 a，则 2 1 球的半径为 a. 2 课时作业 一、选择题(每个 5 分，共 30分) 1若将气球的半径扩大到原来的 2 倍，则它的体积扩大到原来的( ) A2 倍 B4 倍 C8 倍 D16倍 答案：C 4 解 析：设气球原来的半径为 r，体积为 V，则 V r3.当气球的半径扩大到原来的 2 倍后， 3 4 4 其体积变为 (2r)38× r38 V. 3 3 2一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A8 B6 C4 D 答案：C 解析：设正方体的棱长为 a，则 a38，即 a2.故该正方体的内切球的半径 r1，所以 该正方体的内切球的表面积 S4r24. 3一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都同时等于某一个球的直径，则圆柱、圆锥和球 的体积之比为( ) A4：1：2 B2：1：1 C3：2：1 D3：1：2 答案：D 1 2 4 解析： 球的直径为 2R，V圆柱R2·2R2R3，V锥 R2·2R R3，V球 R3， 3 3 3 故 V圆柱：V圆锥：V球3：1：2. 4一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( ) 6 A. B. 6 2 1 2 3 C. D. 2 2 答案：A 解析：设正方体的边长为 a，球的半径为 r，6a24r2 6 a r 3 V 正 a3 6 V 球 4 6 r3 3 5一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的 3 倍，则圆锥的高与底 面半径之比为( ) 4 9 A. B. 9 4 4 27 C. D. 27 4 答案：C 解析：设球半径为 r，圆锥的高为 h， 1 4 则 ×·(3r)2·h r3， 3 3 4 h 4 h r， . 9 3r 27 6设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为( ) 7 Aa2 B. a2 3 11 C. a2 D5a2 3 答案：B 解析：由题意，知该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.如图，点 P 为 2 3 3 1 三棱柱上底面的中心，点 O 为三棱柱外接球的球心，易知 AP × a a，OP a，所以球 3 2 3 2 3 1 7 7 的半径 R 满足 R 2( a ) 2( a ) 2 a2，故 S 球4R2 a2， 3 2 12 3 二、填空题(每个 5 分，共 15分) 7若一个球的体积为 4 3，则它的表面积为_ 答案：12 4 解析：设球的半径为 R，则 R34 3，R 3，球的表面积 S4R24×3 3 12. 8已知一个球与高为 2 的圆柱的上、下底面及侧面都相切，那么球的表面积为_， 体积为_ 4 答案：4， 3 4 解 析：由题意可知，球的直径为 2R2，R1，故球的表面积 S4R24，体积 V R3 3 2 4 . 3 9已知半径为 5 的球的两个平行截面圆的周长分别为 6 和 8，则这两个截面间的距 离为_ 答案：1 或 7 解析：若两个平行截面在球心的同侧，则两个截面间的距离为 5232 52421 ；若两个 平行截面在球心的异侧，则两个截面间的距离为 5232 52427. 三、解答题 10(12分)若正四面体(四个面都是正三角形的三棱锥)的棱长为 6，求它的内切球的表面 积 解： 内切球的球心是正四面体的中心， 设球与侧面和底面的切点分别为 E、F， 过两切点以及球心 O作截面如图， 又切点为各面正三角形中心， 3 1 则 AB ×63 3，BF AB 3. 2 3 由 RtAOERtABF， EO AO r AO 得 ，即 . BF AB 3 3 3 AO3r，AF4r. 又 AF 2AB2BF 2 ， (4r)2(3 3)2( 3)2. 6 r . 2 S球4r26. 11(13分) 如图，半径为 R的球 O中有一内接圆柱，当圆柱的高与底面直径相等时，求球的表面积与 该圆柱的侧面积之差 解：由球的半径为 R，可知球的表面积为 4R2.设内接圆柱的底面半径为 r，则高 h2r， h 2 由图可知 r 2(2 )2R2，即 2r2R2，r R，从而 h R，故圆柱的侧面积为 2rh2× 2 2 2 R× 2R2R2. 2 所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 4R22R22R2. 能力提升 12(5分)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ 3 16 答案： 12 3 解析：该几何体上部是半径为 2 的半球，下部为长方体，长方体的高为 3，底面是边长为 1 4 16 2 的正方形，故 V × ×2322×3 12. 2 3 3 13(15分)如图，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积 解：由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面， 1 S 半球 ×4×228， 2 S 圆台侧(25)× 4252235 ，S 圆台底 ×5225. 故所求几何体的表面积为 835 2568. 1 又 V 圆台 ×(×22 × 22 × × 52×52)×452， 3 4 1 16 V 半 球 ×2 3× ， 3 2 3 16 140 所 以所求几何体的体积为 V 圆台V 半球52 . 3 3 4