浙江专用2018版高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.12.1.1平面学案新人教A版必修220.doc

2.1.1平面目标定位1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2.了解平面的基本性质，即公理1，2，3.3.会进行“文字语言”“符号语言”“图形语言”之间的转化.4.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类与表示.自 主 预 习1.平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.(2)平面的画法水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图.(3)平面的表示法图的平面可表示为平面，平面ABCD，平面AC或平面BD.2.点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l.(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点A在直线l上Al点A在直线l外Al点A在平面内A点A在平面外A直线l在平面内l直线l在平面外l直线l，m相交于点AlmA平面、相交于直线ll3.平面的基本性质及作用公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据即 时 自 测1.判断题(1)A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线与重合.()(2)梯形一定是平面图形.()(3)三个平面可以将空间分为4部分或6部分或8部分.(×)(4)空间中有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么过其中三个点的平面有四个.(×)提示(3)三个平面可以将空间分为4部分或6部分或7部分或8部分.(4)当这四个点共面时，只有一个平面；当这四个点不共面时，有四个平面.2.下列图形中，不一定是平面图形的是()A.三角形 B.菱形C.梯形 D.四条边相等的四边形解析三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形.答案D3.用符号表示“点A在直线l上，直线l在平面外”，正确的表示是()A.Al，l B.Al，lC.Al，l D.Al，l解析点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合之间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合之间的关系，故选B.答案B4.两两平行的三条直线最多可以确定_个平面.解析如图此时确定的平面个数最多.答案3类型一三种语言的转换【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示如图.(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示如图.规律方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.【训练1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图.(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图.(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图.类型二点线共面问题(互动探究)【例2】 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.思路探究探究点一确定平面的基本条件有哪些？提示确定平面的基本条件有4个：不在同一直线上的三点、两条相交直线、两条平行直线、直线及直线外一点.探究点二纳入法证明点、线共面的思路是什么？提示先由公理2确定一个平面，再由公理1证明有关点、线在此平面内.证明法一(纳入法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1、l2、l3在同一平面内.法二(重合法)l1l2A，l1、l2确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内.平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.【训练2】 已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.证明如图所示.由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，l有且只有一个平面.类型三点共线与线共点问题【例3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明MNEFQ，Q直线MN，Q直线EF，又M直线CD，N直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD.M、N平面ABCD，MN平面ABCD.Q平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.Q平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1AD，Q直线AD，即D、A、Q三点共线.规律方法点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.【训练3】 如图所示，已知四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点.证明E，F分别是AB，AD的中点，EFBD且EFBD.又2，GHBD且GHBD，EFGH且EF>GH，四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，EG平面ABC，FH平面ACD，P平面ABC，P平面ACD，又平面ABC平面ACDAC，PAC，故直线EG，FH，AC相交于同一点.课堂小结1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.1.下列命题中正确的个数是()一个平面长4米，宽2米；2个平面重叠在一起比一个平面厚；一个平面的面积是25平方米；将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面.A.0 B.1 C.2 D.3解析几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对.答案A2.若点Q在直线b上，b在平面内，则Q，b，之间的关系可记作()A.Qb B.QbC.Qb D.Qb解析点Q(元素)在直线b(集合)上，Qb.又直线b(集合)在平面(集合)内，b，Qb.答案B3.设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_.解析l，ABlC，C，CAB，ABC.答案C4.用文字语言和符号语言表示如图.解文字语言：平面内的两直线m和n相交于点A.符号语言：m，n，且mnA.基 础 过 关1.已知点A，直线a，平面，以下命题表述正确的个数是()Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.A.0 B.1 C.2 D.3解析不正确，如aA；不正确，“a”表述错误；不正确，如图所示，Aa，a，但A；不正确，“A”表述错误.答案A2.在下列命题中，不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析A.不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B、C、D都是平面的基本性质公理.答案A3.已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.Aa，A，Ba，BaB.M，M，N，NMNC.A，AAD.A、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合解析A，A，A.由公理可知为经过A的一条直线而不是A.故A的写法错误.答案C4.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定_个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_个平面.解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.答案(1)4(2)75.设平面与平面相交于l，直线a，直线b，abM，则M_l.解析因为abM，a，b，所以M，M.又因为l，所以Ml.答案6.(1)用数学符号表示图中的点、直线、平面之间的位置关系.(2)画出满足下列条件的图形(其中，为平面，a，b，l为直线)：l，a，b，al，blA，Ba.解(1)l，a，alA，bB，bC.(2)如图所示7.如图，直角梯形ABDC中，ABCD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，EAC，AC平面SAC，E平面SAC.同理，可证E平面SBD.点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.能 力 提 升8.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A.必有三点共线 B.必有三点不共线C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线解析如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线.答案B9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面C.C1，O，A，M四点共面D.D1，D，O，M四点共面解析在题图中，连接A1C1，AC，则ACBDO，A1C平面C1BDM.三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，选项A，B，C均正确，D不正确.答案D10.若直线l与平面相交于点O，A，Bl，C，D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是_.解析ACBD，AC与BD确定一个平面，记作平面，则直线CD.lO，O.又OAB，O直线CD，O，C，D三点共线.答案共线11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图，分别连接EF，A1B，D1C.E，F分别是AB和AA1的中点，EF綉A1B.又A1D1綉B1C1綉BC，四边形A1D1CB为平行四边形.A1BCD1，EFCD1.EF与CD1确定一个平面，E，F，D1，C四点共面.(2)EF綉CD1，直线D1F和CE必相交.设D1FCEP.D1F平面AA1D1D，PD1F，P平面AA1D1D.又CE平面ABCD，PEC，P平面ABCD.P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点.又平面ABCD平面AA1D1DAD，PAD，CE，D1F，DA三线共点.探 究 创 新12.在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1、D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出交线l；(2)设lA1B1P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离.解(1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN，则直线QN就是两平面的交线l.(2)M是AA1的中点，MA1DD1，A1是QD1的中点，又A1PD1N，A1PD1N.N是D1C1的中点，A1PD1C1，PB1A1B1A1Pa.(3)过点D1作D1HPN于点H，则D1H的长度就是点D1到l的距离.QD12A1D12a，D1N，D1Ha.即点D1到l的距离是a.11