2018版高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修4_42018050318.wps

四 渐开线与摆线 一、基础达标 xcos sin ， 1.已知圆的渐开线的参数方程是ysin cos )( 为参数)，则此渐开线对应的 基圆的周长是( ) A. B.2 C.3 D.4 解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为 1，所以 基圆的周长为 2，故选 B. 答案 B x3cos ， 2.已知一个圆的参数方程为y3sin )( 为参数)，那么圆的摆线方程中与参数 2 3 对应的点 A与点 B( ，2)之间的距离为( ) 2 A. 1 B. 2 2 C. 10 D. 3 1 2 解 析 根 据 圆 的 参 数 方 程 可 知 ， 圆 的 半 径 为 3， 那 么 它 的 摆 线 的 参 数 方 程 为 x3（sin ）， x3( 1)， 2 y3（1cos ） )( 为参数)，把 代入参数方程中可得 2 y3， ) 3 3 3 2 即 A( 3，3)，|AB| ( 2 ) . 3 （32）2 10 2 2 答案 C x2（tsin t）， 3.摆线y2（1cos t） )(t为参数，0t2)与直线 y2 的交点的直角坐标是( ) A.(2，2)，(32，2) B.(3，2)，(33，2) C.(，2)，(，2) D.(22，2)，(22，2) 3 解析 由 22(1cost)得 cost0.t0，2)，t1 ，t2 .代入参数方程得 2 2 到对应的交点的坐标为(2，2)，(32，2). 答案 A xcos sin ， 4.已知圆的渐开线的参数方程是ysin cos )( 为参数)，则此渐开线对应的 基圆的直径是_，当参数 时对应的曲线上的点的坐标为_. 4 1 解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为 1，故直 2 2 2 2 径为 2.把 代入曲线的参数方程，得 x ，y ，由此可得对应 4 2 8 2 8 2 2 2 2 的坐标为( 8 ). ， 2 8 2 答案 2 ( 2 2 2 ， 8 2 2 2 8 ) 5.已知圆的方程为 x2y24，点 P为其渐开线上一点，对应的参数 ，则点 P的坐标 2 为_. x2（cos sin ） 解析 由题意，圆的半径 r2，其渐开线的参数方程为y2（sin cos ）)( 为 参数). 当 时，x，y2，故点 P的坐标为 P(，2). 2 答案 (，2) 6.给出直径为 6 的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程. 解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为 x轴，建立直角坐标系.又圆的直径为 6，所 x3cos 3sin ， 以半径为 3，所以圆的渐开线的参数方程是y3sin 3cos ) ( 为参数). 以圆周上的某一定点为原点，以定直线为 x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为 x33sin ， y33cos ) ( 为参数). 7.已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A、B对应的参数分别是 3 和 ，求 A、B两点的距离. 2 xcos sin ， 解 根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线参数方程是ysin cos ) ( 为参数)， 分别把 和 代入，可得 A、B两点的坐标分别为 3 2 3 3 3 3 A( 6 )，B( ，1). ， 6 2 那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B两点的距离为 3 3 3 3 2 2 |AB| ( 2)( 1) 6 6 2 1 （136 3）2636 372. 6 即 A、B 两点之间的距离为 1 6 （136 3）2636 372. 二、能力提升 8.如图，ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH叫做“正方形的渐开 线”，其中AE、EF、FG、GH的圆心依次按 B、C、D、A 循环，它们依次相连 接，则曲线 AEFGH 的长是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 1 解析 根据渐开线的定义可知，AE是半径为 1 的 圆周长，长度为 ，继续旋转可得EF是半 4 2 1 1 3 1 径为 2 的 圆周长，长度为；FG是半径为 3 的 圆周长，长度为 ；GH是半径为 4 的 圆周 4 4 2 4 长，长度为 2.所以曲线 AEFGH 的长是 5. 答案 C x22sin ， 9.已知一个圆的平摆线方程是y22cos )( 为参数)，求该圆的周长，并写出平 摆线上最高点的坐标. 解 由平摆线方程知，圆的半径为 2， 则圆的周长为 4.当 时，y 有最大值 4， 平摆线具有周期性，周期为 2. 平摆线上最高点的坐标为(2k，4)(kZ Z). x6（cos sin ）， 10.渐开线方程为y6（sin cos ） )( 为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆 的横坐标伸长为原来的 2 倍得到曲线 C，求曲线 C 的方程，及焦点坐标. 解 由渐开线方程可知基圆的半径为 6，则圆的方程为 x2y236. 把横坐标伸长到原来的 2 倍， x2 x2 y2 得到椭圆方程 y236，即 1， 4 114 36 对应的焦点坐标为(6 3，0)和(6 3，0). 11.如图，若点 Q 在半径 AP 上(或在半径 AP 的延长线上)，当车轮滚动 3 r 3r 时，点 Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ| 或|AQ| ，请推出 Q 的轨迹的参数方程. 2 2 解 设 Q(x，y)、P(x0，y0)，若 A(r，r)， x0r（sin ）， r 则y 0r（1cos ）. )当|AQ| 时， 2 x02xr， x0r（sin ）， 有y 02yr， )代入y0r（1cos ）. ) 1 xr( sin )， 2 点 Q 的轨迹的参数方程为cos )( 为参数). 1 yr(1 2 r2x x0 ， 3r 3 x0r（sin ）， 2，) 当 AQ 时，有 代入 y0r（1cos ）. ) y0 r2y 3 3 xr( sin )， 2 点 Q 的轨迹方程为cos )( 为参数). 3 yr(1 2 三、探究与创新 x2tcos ， 12.已知一个参数方程是y2tsin ，)如果把 t 当成参数，它表示的图形是直线 l(设斜 率存在)，如果把 当成参数(t0)，它表示半径为 t 的圆. (1)请写出直线和圆的普通方程； (2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程. 解 (1)如果把 t 看成参数，可得直线的普通方程为：y2tan (x2)，即 yxtan 2tan 2，如果把 看成参数且 t0 时，它表示半径为 t 的圆，其普通方程为(x2)2 (y2)2t2. (2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为 t，所以对应的摆线的参数方程为 xt（sin ）， yt（1cos ） )( 为参数). 4