“牛顿问题”的归纳及推广初探.doc

“牛顿问题”的归纳及推广初探DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.17.019 一、发现并提出问题 现在环境保护已经成为世界性的问题，人们在日益关注环境的同时，也在关注着如何进行土地保护和提高土地的利用效率。 畜牧业作为用地较多的行业，在与圈地运动高潮同时期的英国伟大的科学家牛顿在其著的普通算式中曾编过这样一道题：12头牛4周吃草3格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少头牛18周能吃完（格尔为牧场面积单位）？（以后人们称这类“牛吃草”的问题叫做“牛顿问题”）。这道题从经济角度上讲，初步提出了人地矛盾的关系，而在数学上，也不失为一道经典题目。 二、建立数学模型 我先从几道基础经典题型来寻找解决方法。 例1. 牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供24头牛吃6周，18头牛吃10周，问可供19头牛吃几周？ 分析与解答：解题关键是先求出原有的草量和每周新长出的草量。 从题意可知，18头牛吃10周的总草量比24头牛吃六周的总草量多，多出的部分就是1016=4（周）新长出的草量。为了求出每周新长出的草量，我先假设1头牛1周吃的草量为1份，那么24头牛吃6周的草量为24×6=144（份），18头牛吃10周的草量为18×10=180（份），则4周新长出来的草量为1801144=36（份），每周新长出来的草量即为36÷4=9（份），因此可以用14419×6或18019×10求出原有草量为90份。有了原有草量和每周新长出的草量，就可以很快解答。 解答过程如下： 假设每一头牛一周的吃草量为1份。所以24头牛共吃草24×6=144（份），18头牛18×10=180（份），每周新长出长草量为：（180-144）÷（10-6）=9（份），原有的草量为：144-9×6=90或 180-9×10=90。每周新长草9份可以安排9头牛吃一周，因此其作10头牛吃原来的草，所以19头牛吃完的周数为90÷（1919）=9（周）。 答：可供19头牛吃9周。 例2. 一块草地，可供12头牛吃12天，15头牛吃8天。如果草能匀速生长，那么这块草地可供多少头牛吃6天？ 分析与解答：因为已经有第一题铺垫，所以草地每天生长量为：（12×12-15×8）÷（12-8）=6（份）原有草量?椋?12×12-6×12（或15×8-8×6）=72（份），现在缺失条件，所以改变思路，原有草量6天可以供牛72÷6=12（头），每天新长出的草6份相当于可供6头牛，所以一共可以养牛12+6=18（头）。 答：这块草地可供18头牛吃6天。 例3. 12头牛4周吃草3格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少头牛18周能吃完（格尔为牧场面积单位）？ 这就是所谓的“牛顿问题”。 分析与解答：前两道题都只有1块草地，而此题的这一条件被打破，出现了3块草地，我们需要把3块草地的面积统一起来。 已知3块草地面积的最小公倍数为3，10，24=120，所以可以做出如下转换： 第一块3格尔的牧草，12头牛在四周内吃掉，因为120÷3=36，所以即120格尔的牧草可供12×36=432（头）牛吃四周。 同理可得，第二块10格尔的牧草，即为120格尔的牧草可供21×12=252（头）牛吃9周。第三块24格尔的牧草，即为求120格尔的牧草可供多少头牛吃18周。至此，此题与例2基本相同，计算可知为180头，因为120÷24=5，所以24格尔的牧草可供180÷5=36（头）牛吃18周。 例4. 有一块牧场长满了牧草，每天牧草匀速生长。这块牧场的草可供17头牛吃30天，也可供19头牛吃24天，现在有一些牛在这块牧场上吃草，6天后，其中4头牛被卖了，余下的牛用2天时间将牧场上的草吃完。问：开始有多少头牛在吃草？ 分析与解答：前三道题在最后需要解答的情况中，牛数都是不变化的，在第3题中解决了初始值不同的问题，而在此题中，牛数却发生了变化，我们先求可牧草每天新长出的数量（17×30-19×24）÷（30-24）=9（份），牧场原有草量17×30-9×30（或19×24-9×24）=240（份），最后我们可以采用假设法：假设4头牛没有被卖掉，则共吃了240+9×8+4×2=320（份），所以开始有牛320÷8=40（头）。 答：刚开始有40头牛在吃草。 三、反思 通过上述分析，理论上可以用来解决如下问题：刚开始有一个消耗原量，这个量会以一定的速度匀速增加或减少，有多个主体，以一个恒定的消耗速度消耗，独立作用于消耗原量，直至在一定时间内消耗完毕。基本的运算步骤如下： 第一步，从题目中提取第一次主体量a和消耗时间A， 第二次主体量b和消耗时间B。第三次主体量c，消耗时间为C。 第二步，判断题目中所给定情况中的消耗品初始值Q是否一致，如果是，令P=Q，进行第四步；否则，计算给定初始值Q1，Q2，Q3的最小公倍数P后进行第三步。 第三步，计算a1= P÷Q1×a， b1=P÷Q2×b。 第四步，得出消耗品单位时间增加（减少）量D=?OAa-Bb?O÷?OA-B?O或D=?OAa1-Bb1?O÷?OA-B?O。 得出消耗品原来数量M=Aa1AD或M=Bb1BD。 若初始值不同，则用a1，b1计算。 第五步，计算第三次消耗时间C=M÷（c1-D）或第三次主体量c=M÷C+D。 第六步，考虑倍数关系，回归原题，结束运算。 四、实用价值 在“牛顿问题”的计算中，通过计算消耗原量、消耗品单位时间增加（减少）的数量、第三次主体量、第三次消耗时间四者之间的关系，使土地利用率尽可能最大化。也可以用于其它资源或时间、空间的运算使其价值最大化。 不过，以上的结论都是在一个理想化的环境中运行的结果，在实际中的运用要考虑更多方面的因素。