1、三角形三角形“四心的向量表四心的向量表示示一、一、外心外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明外心定理明外心定理证明明:设AB、BC的中垂的中垂线交于点交于点O，那么有那么有OA=OB=OC，故故O也在也在AC的中垂的中垂线上，上，由于由于O到三到三顶点的点的间隔相等，隔相等，故点故点O是是ABC外接外接圆的的圆心心因此称因此称为外心外心OO点点评：此：此题将平面向量模的定将平面向量模的定义与三角形外心与三角形外心 的定的定义及性及性质等相关知等相关知识巧妙
2、巧妙结合。合。到到的三的三顶顶点点间间隔相等。隔相等。故故是是解析：由向量模的定义知解析：由向量模的定义知的外心的外心，选B。O是是的外心的外心假假设设 为为内一点，内一点，那么那么 是是 的的 A A内心内心BB外心外心 C C垂心垂心 D D重心重心B二、垂心二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。DEF证明明:AD、BE、CF为ABC三条高，三条高，过点点A、B、C分分别作作对边的平行的平行线相交成相交成ABC，AD为BC的中垂的中垂线；同理；同理BE、CF也分也分别为AC、AB的中垂的中垂线，由外心定理，
3、它由外心定理，它们交于一点，交于一点，命命题得得证证明垂心定理明垂心定理ABC例例1如如图，AD、BE、CF是是ABC的三条高，的三条高，求求证：AD、BE、CF相交于一点。相交于一点。ABCDEFH又又点点D在在AH的延伸的延伸线上，上，AD、BE、CF相交于一点相交于一点 证：设证：设BE、CF交于一点交于一点H，垂心垂心ABCO证证：设设例例2知知O为ABC所在平面内一点，且所在平面内一点，且满足足:求求证证：化简：化简：同理：同理：从而从而垂心垂心1.O是是的垂心的垂心是是ABC的的边BC的高的高AD上的恣意向量，上的恣意向量，过垂心垂心.例例3O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B
4、C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，动点动点P满足满足那么那么P的的轨迹一定迹一定经过ABC的的 _ 在在ABC的的边BC的高的高AD上上.P的的轨轨迹一定迹一定经过经过ABC的垂心的垂心.所以，所以，时，解解:解解:例例4.2019全国全国点点O是是ABC所在平面上一点，所在平面上一点，假假设 ，那么点那么点O是是ABC的的 A三个内角的角平分三个内角的角平分线的交点的交点B三条三条边的垂直平分的垂直平分线的交点的交点C三条中三条中线的交点的交点D三条高三条高线的交点的交点那么那么O在在CA边的高的高线上上,同理可得同理可得O在在CB边的高的高线上上.D垂心垂心5.(2019
5、湖南湖南)P是是 ABC所在平面上一点，假所在平面上一点，假设设那么那么P是是 ABC的的 A外心外心B内心内心C重心重心D垂心垂心D三、重心三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明重心定理明重心定理 E F D G3.O是是的重心的重心为为的重心的重心.是是BC边边上的中上的中线线AD上的恣意向量，上的恣意向量，过过重心重心.2.在在中，中，给给出出等于知等于知AD是是中中BC边边的中的中线线;例例1 P是是ABC所在平面内任一点所在平面内任一点.G是是ABC的重心的重心证证明明:G是是ABC的重心的重心即即由
6、此可得由此可得反之亦然反之亦然证证略略思索：思索：假假设O为ABC外心，外心，G是是ABC的重心，那么的重心，那么O为为 ABC的内心、垂心呢？的内心、垂心呢？例例2证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点间隔的两倍证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点间隔的两倍 A B C E F D G证证：设设A,G,D共共线线，B,G,E共共线线可可设即：即：AG=2GD同理可得：同理可得：AG=2GD,CG=2GF重心重心例例2证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点间隔的两倍证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点间隔的两倍另证另证:A B C E F D G重心重心想想看？想想
7、看？四、内心四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理明内心定理证明明:设AA、CC的平分的平分线相交于相交于I,I,过I I作作IDBCIDBC，IEACIEAC，IFAB IFAB，那么有，那么有IE=IF=IDIE=IF=ID 因此因此I I也在也在CC的平分的平分线上，上，即三角形三内角平分即三角形三内角平分线 交于一点交于一点I II I E F D1.设设a,b,c是三角形的三条边长，是三角形的三条边长，O是三角形是三角形ABC内心的内心的 充要条
8、件是充要条件是ACBO Oa ab bc c2019天津文科高考题 2.O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不共是平面上不共线线的三个点，的三个点，动动点点P满满足足 那么那么P的的轨轨迹一定迹一定经过经过ABC的的 A外心外心 B内心内心 C重心重心 D垂心垂心B内心内心是是BAC的角平分的角平分线上的恣意向量，上的恣意向量，过内心；内心；3.2019陕西知非零向量西知非零向量与与满足足那么那么ABC为A三三边均不相等的三角形均不相等的三角形B直角三角形直角三角形C等腰非等等腰非等边三角形三角形D等等边三角形三角形解法一：根据四个解法一：根据四个选择项的特点，此的特点，此题可
9、采用可采用验证法来法来处置置.无妨先无妨先验证等等边三角形，三角形，刚好适宜好适宜题意，那么可同意，那么可同时排除其他三个排除其他三个选择项，故答案必，故答案必选D.D 解法二：由于解法二：由于 所在直所在直线穿穿过ABCABC的内心，那么的内心，那么由由 (等腰三角形的三等腰三角形的三线合一定理合一定理)；又；又 ，所以所以 ,即即ABCABC为等等边三角形，故答案三角形，故答案选D.D.注注:等等边三角形三角形(即正三角形即正三角形)的的“外心、垂心、外心、垂心、重心、内心、中心重心、内心、中心五心合一！五心合一！法一抓住了法一抓住了该题选择项的特点而采用了的特点而采用了验证法法,是是处置
10、此置此题的巧妙方法；法二要求学生能的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向会一些向量表达式与三角形某个量表达式与三角形某个“心的关系，如心的关系，如所在所在直直线一定一定经过ABC的内心的内心;所在所在直直线过BC边的中点，从而一定的中点，从而一定经过ABC的重心；的重心；所在直所在直线一定一定经过ABC的垂心等的垂心等.【总结总结】(1).是用数量是用数量积给积给出的三角形面出的三角形面积积公式公式;(2).那么是用向量坐那么是用向量坐标给标给出的三角形面出的三角形面积积公式公式.4.在在ABC中中:(1)假假设设CAa，CBb，求，求证证ABC的面的面积积 (2)假假设设CA(a1，a2)，C
11、B(b1，b2)，求求证证：ABC的面的面积积 解解:ABC P思索思索:如如图图，设设点点O在在内部，且有内部，且有那么那么 的面的面积积与与的面的面积积的比的比为为_(2019年全国奥赛题年全国奥赛题)3作作AC、BC边上的中点边上的中点E、D，解解1:DEABC O作作AC边上的中点上的中点E，解解2:思索思索:如如图图，设设点点O在在内部，且有内部，且有那么那么 的面的面积积与与的面的面积积的比的比为为_(2019年全国奥赛题年全国奥赛题)3E如如图，延伸，延伸OB至至D，使，使OB=BD；解解3:思索思索:如如图图，设设点点O在在内部，且有内部，且有那么那么 的面的面积积与与的面的面积积的比的比为为_(2019年全国奥赛题年全国奥赛题)3ED延伸延伸OC至至E，使，使CE=2OC.那么那么:2OB=OD,3OC=OE.
