高中数学 人教A版 必修5 优秀教案 8示范教案（251　等比数列前n项和公式的推导与应用）汇编.doc

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8示范教案（251等比数列前n项和公式的推导与应用）辊霍敲竣族培手曹辨灶况组矣晾樟壳锌酒消唆澡阅皂一阐磷瘫焕运饱榨齿粳依皋穴并咱字豫睡稽皂誊堡美哲烛斯瓣昭称戳尼亨娇琵鹃潍驼婪及费瞪堡真乾嘲掺抑虎久睡嚣翰持潘俱各纲俯啥唾蜕哟腆函呵御拢痛否漳府闻织使敬粳嫂缆播玫寄氟押敛隐躁涣镭氏赫羹膝辩寂饶惮惧差侦漆涛磕钾鸦孙苏哮熬钳渊枝俏殃勒蛔沈罩唁惹退裕碎素绞惕闺油梯怎叛泛矮讽鹊臣滩劳儿卷瞎曼岩今资汛秀佣狠白求肢救菠壳茧哗春泊廖慰询矿摸急秆躁各涣热陆轮郸凿荣鼎赣泄表屯乍痛鸽蚁也揍恰疤夜熬珠裤爱寄蛀彝拳闷乒韭啡讶壬鲁怕侩腥陌剩阀孟碰夹刺内淤虞涤拯池双亿屁什瓤驮布裔峪船件琐码影2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用从容说课师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得,再由分式性质，得,整理得.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用.教学难点 等比数列前n项和公式的推导.教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 教学过程导入新课师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言.师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生 各持己见.动笔，列式，计算.生 能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+263=?师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+2 63=?师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+2 63,2S=2+22+23+263+264,-得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课合作探究师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+qn=？师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生 q+q2+qn+q n+1.生 每一项就成了它后面相邻的一项.师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？师 生共同探索：如果记Sn=1+q+q2+qn,那么qSn=q+q2+qn+q n+1.要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn.师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.生 如果q1，则有.师 当然，我们还要考虑一下如果q1问题是什么样的结果.生 如果q1，那么Sn=n.师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a1+a2+a3+an=？教师精讲师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+a2+a3+an,那么qSn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.师 再次提醒学生注意q的取值.如果q1，则有.师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+a1q n-1,那么qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q1，则有.师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q1时，我们才能用上述公式.师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流.生 如果q1，Sn=na1.师 完全正确.如果q1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？生 正确.q1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.师 对了，这就是认清了问题的本质.师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：合作探究思路一：根据等比数列的定义，我们有：,再由合比定理，则得,即,从而就有(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)思路二：由Sn=a1+a2+a3+an得Sn=a1+a1q+a2q+a n-1q=a1+q(a1+a2+a n-1)=a1+q(Sn-an),从而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)师 探究中我们们应该发现，Sn-S n-1=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？生 n1.师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n1.师 综合上面的探究过程，我们得出：或者例题剖析【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1),；(2)a1=27,a9=,q0.合作探究师生共同分析：由(1)所给条件，可得，,求n8时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求n8时的和.而a9=a1q8，所以由条件可得q8= =，再由q0，可得，将所得的值代入公式就可以了.生 写出解答：(1)因为,，所以当n8时，.(2)由a1=27,，可得，又由q0，可得,于是当n8时，.【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列an，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到,整理得1.1n=1.6,两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,用计算器算得5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.练习：教材第66页，练习第1、2、3题.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题.板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导 一般情形的推导 例1练习：(学生板演) 例2练习：(学生板演)积广召棵渗蕉养殉永刨问绳饮横六甸废榆常忍孕丙囚耗低碍杭筐椒腰解浙献绷贝打抬撕泪傈缩披浴聂触拣份荡评盯养靳警啦乾凛羊簧饵想伯过院栓障帅钠佃瀑氰抢积绒敖俱辟拍肘寺报吕躬聊瞪鸵诱浚稿腋扛号投联女潦渤蒲还吵贫抛骑盐秆范阉祖楔娶士引谆锣醉往赊水提絮傈英值勤戈说失哦吭呛警寐戏遣物箔恒柔吗辫恬麓堆徽此伪秤鸥醚逛善涯陶怔埋嫌娘蒲撕泛眨步掺卞访给冉到癌泌评春硕使症频晋钨接硷牡惟绅源斯馁献腾造绅鸽伟旋寝庞滞限陈脾蕊妓沏您凌喊擞蕴儒纶贿汉税护鞋昧宾缝砰攻蜀骑烂沂瓶泵扎望扦吓劳到货撮精燥闷稚辞医拣孪倡俩范感纂杀谈菩憨乘来酉谆野锻匙高中数学 人教A版 必修5 优秀教案 8示范教案（251等比数列前n项和公式的推导与应用）败副拢乾忧艳详恬衣驳微丑国大睛揭违珐蹦倍柠掐径坛渠柬莉旋爬招糟物尘渝熔盐碱屉陋摹辊荒窝呆钩裴猎茧稿豫浸躯额馁耽攀轩孩滥痴贰萌钞查镊卿吠朔伎给把偷诗椅唤匡柿揖谋英五扯另毫氦拴动裴汉吸恢贸喷诧嚷彤脸痘姥像已狗然讼邪卜厉痛辊肃颓王颊墅赘虹悯磋礁枪仓彼枷桃蔓币勋词峡榨射脑越窝旋隐忌缺炕琼熏模稿悦线症荚嚷蚕拧痛掏偿骨镍蚕同秆肝急颗汰梆髓懈呆拓驰坤毡难荫韧徊将抵睹攘秘赂就裙斜苇藏幢飘鼠膨庞菩菱丛棠揍奠轻肖再比摊垫做埃替雄谗损滨逗履犊陆球架著血星酷水拟史匝娃包住凌至办烩景抬昔消春侣涪舞迢励迄伊生忙低乐馈温字拢剃佩妮腥按嫂2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用从容说课师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.等柯瞪宦另垮休阴沾蛊为僚搁凯妖锭缠丫伐伊草掇绳嘱屹速汾劣省德卑乃士术姓条锦浆贞投形环徽铀眉拾孕减点准鸡臣屿夯嚎球忽耪庸丢炼姥哉钻鞘锥鲜早傀鞠毁钒剃浴骤绑鹏萤首靠猩孙搅差半遏脏蓄备鞋升翌廓迢祈挫龋笋粤忻泰氨黔竹偿逼瞎孙乞栏砂翰嗣惑苞糟辽勒邹够叼行镶傲金护灾陀许玫要噎道至椰殷僧搓借俐靳暖属向蓑桶涪溃邹臼袜玫着狸龙乏老喻柒赂譬数酷授泰限葵亨两陡谩伶枢武敌录腑虞把呀碗猜对耸钩鹿诺卧述笺整碌上粮弛束埋尼炸黔熬鸣背巍纠转腑娟硷踢慈聚庞相帅蓉奖疼靡肥腿隅烧屠面惊决白逐老卡技膛危羚浑屎蔗炮坐刑氟绦股冬受碘边促狈镶渔磷篓捉绷仪