1、定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价对矩阵实施有限次初等变换，可将矩阵等价的对矩阵实施有限次初等变换，可将矩阵等价的变
2、形成行阶梯矩阵和行最简形矩阵。若再实施变形成行阶梯矩阵和行最简形矩阵。若再实施有限次初等列变换，还可以等价的变形标准形有限次初等列变换，还可以等价的变形标准形矩阵。矩阵。(通过一个例子来看定义通过一个例子来看定义)对下列矩阵实施初等变换对下列矩阵实施初等变换特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵对矩阵实
3、施有限次初等行变换后得到满足对矩阵实施有限次初等行变换后得到满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵1）如果有零行，则零行都位于矩阵中非零）如果有零行，则零行都位于矩阵中非零行的下方。行的下方。2）各非零行中从左边数起第一个非零元的）各非零行中从左边数起第一个非零元的列标随着行标的增加而严格增加。列标随着行标的增加而严格增加。行最简形矩阵行最简形矩阵对于行阶梯形矩阵，再实施有限次初等行对于行阶梯形矩阵，再实施有限次初等行变换得到满足下列两个条件的矩阵称为变换得到满足下列两个条件的矩阵称为A的的行最简形矩阵行最简形矩阵1）所有第一个非零元全为）所有第一个非零元全为12）所有非零元所在的列其他元素全为）所有非零元所在的列其他元素全为0 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形例如，例如，特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.三、小结三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换
