1、利用基本插利用基本插值多多项式容易得出式容易得出满足插足插值条件条件的的n次插次插值多多项式式插插值多多项式式称称为拉格朗日插拉格朗日插值多多项式，式，记作作拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值多项式）插值多项式当当n=2=2时,由由式可得三点插式可得三点插值公式公式这是一个二次函数。用二次函数是一个二次函数。用二次函数代替函数代替函数，在几何上就是用通，在几何上就是用通过三点三点的抛物的抛物线曲线曲线y=f(x)，故三点插值，故三点插值又称又称为抛物线插值。抛物线插值。近似近似近似代替近似代替如图如图通通过n+1+1个个节点的点的n次插值多项式，在节点处有次插值多项式，在节点处有在其它
2、点上均是在其它点上均是f(x)的近似值。记的近似值。记称称为插插值多多项式的余式的余项。就是用就是用近似替代近似替代的截断的截断误差。差。1 插值余项插值余项定理定理1 若若 f(x)在区在区间a,b上有直到上有直到n+1阶导数，阶导数，为 f(x)在在n+1个节点个节点上的上的n次插次插值多多项式，式，则对任何任何有有其中其中且依且依赖于于x。证明明 当当给定的定的x恰是某个恰是某个节点点 时，两两边都都为0 0，定理的，定理的结论显然成立。然成立。今今设给定的定的节点点x异于所有的异于所有的节点，点，构造构造辅助函数助函数因因都在都在 a,b 上上n+1+1次可微，次可微，故函数故函数g
3、g(t t)也如此。也如此。显然，函数然，函数g g(t)有有n+2+2个互异的零点个互异的零点由由RolleRolle(罗尔尔)定理可知定理可知,在区在区间 a,b 内至少有内至少有n+1+1个互异的零点。个互异的零点。再再对函数函数使用使用Rolle(罗尔罗尔)定理，定理，可知在可知在a,b内至少有内至少有n个互异的点使个互异的点使如此反复使用如此反复使用Rolle(罗尔罗尔)定理，最后可知至少定理，最后可知至少存在一点存在一点，使得，使得显然与所给的显然与所给的x有关。有关。由于由于因而有因而有其中其中且依且依赖于于x。证毕。因而因而 特特别当当 时，几点说明几点说明10 0 当当 f(
4、x)本身是一个次数不超过本身是一个次数不超过n次的多项式次的多项式时，时，有有20 0 余余项的表达式的表达式只有在只有在 f(x)的的n+1阶导数存在数存在时才能使用，由于才能使用，由于不能具体求出，不能具体求出，即有即有因此一般常利用因此一般常利用求出误差限，求出误差限，例例1 1 已知特殊角已知特殊角的正弦函数的正弦函数值用一次插用一次插值多多项式，二次式，二次插值多项式近似插值多项式近似解：若取解：若取和和为节点作一次插点作一次插值，得，得，并用此求出，并用此求出则 为节点插点插值，得，得则 若取若取为节点，作二次插点，作二次插值，得，得则取取现在在应用用式来估式来估计误差。差。并把度
5、化并把度化为弧度，得弧度，得所以所以先求线性插值的误差先求线性插值的误差同理，由同理，由得得 由由 有有 可以看出用可以看出用和和两点作两点作线性插性插值要比用要比用和和作作线性插性插值精确。精确。这是因是因为点点一般来一般来说，内插比外推精度要高。，内插比外推精度要高。的内部，这种插值称为内插。的内部，这种插值称为内插。其次，二次插值要比一次插值精度要高。其次，二次插值要比一次插值精度要高。事事实上，上，在区间在区间否则，称为外推。否则，称为外推。例例2 给定函数表如下定函数表如下 0.10.20.30.40.5 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 试用用线
6、性插性插值与抛物与抛物线插插值求求题目中目中介于介于0.2和和0.3之之间，解：为了减少插值计的截断误差，应用内插法解：为了减少插值计的截断误差，应用内插法的近似值，并估计截断误差。的近似值，并估计截断误差。相相应地地因此做线性内插时取因此做线性内插时取由由线性插性插值公式，得公式，得所得近似所得近似值为由由线性插性插值余余项公式公式这里里，所以，所以将将代入，得代入，得类似地，在抛物似地，在抛物线插插值时，取，取所得所得的近似的近似值和截断和截断误差差为实际上，上，的准确的准确值为1.329762。练习 已知下列已知下列对数函数表数函数表x0.50.60.7lnx -0.693147-0.510826-0.356675分分别用用线性插性插值和抛物和抛物线插插值计算算ln0.54的近似的近似值。
