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提高思维素质 培养数学能力 21世纪各国之间的竞争主要取决于人才的竞争，而人才的竞争实质上是思维能力的竞争。因此，提高公民的思维能力就成了教育的一个重要目标。数学是训练思维的体操，对培养学生的思维能力具有独特的作用，因此，数学教学不仅要传授一定的基础知识，更需要开拓和培养学生的思维能力，使学生具有良好的数学素质和学习潜力，适应新时代的要求。要做好数学思维能力的培养，应采取以下七个方面的措施： 一、在观察联想中培养思维的积极性 思维的积极性是发展思维能力的前提。培养学生善于观察数学问题的能力，经常引导学生进行积极而广泛的联想，有助于发现和沟通知识间的联系，活跃思维，养成探索问题的习惯，培养思维的积极性，从而找到解决问题的途径。 例如，证明三角形内角和定理是学生刚接触的几何证明题。课本的分析较简单，教师就应发挥主导作用， 通过拼图实验（图一），诱导学生进 行观察、发现、联想、积极思维。 在实验过程中要让学生观察到：要证 ABC180°，只需作出一个平角，使ABC等于这个平角，学生就能马上得出延长BC，再推导出平角BCD，然后引导学生去联想平行线的有关知识，便得出在ABC的外部画ECAB，推出ACEA，再证明ECDB就能解决问题了。 二、在推理运算中培养思维的严密性 数学运算是运用概念、定理、性质、公式，从已知条件推导出结果的过程，它不仅是一种计算过程，更是一种推理过程。因此，要善于引导学生在解题过程中紧扣有关的概念、定理、法则，做到步步有据，要求课堂口答和作业回答都应具有严密的逻辑性。教学过程中多提“为什么”、“根据是什么”，以此来培养学生思维的严密性。 例：已知a、b、c是三角形的三条边长，求证方程ax2（a2b2c2）xb20没有实根。 先引导学生进行推理分析：要证明根的问题，必须用根的判别式，即（a2b2c2）4a2b20。这要作出严密的推理运算： （a2b2c2）4a2b2(abc)(abc)(abc)(abc) ，又a、b、c是三角形的边，a0，b0，c0，且任何两边之和大于第三边，abc0，abc0，abc0，abc0，0，即所求证方程ax2（a2b2c2）xb20没有实根。 三、在深入钻研中培养思维的深刻性 爱因斯坦说过：“提出一个问题比解决一个问题更为重要。”实践告诉我们，凡是勤于思索，努力钻研的人都是能不断发现问题和提出问题的人，其思维会深刻些。数学学科逻辑性强，思考的内容较多，识记性的内容较少。因此勤于思考、深入钻研的习惯是学好数学的根本条件。为了培养学生思维的深刻性，在课堂教学中，引导学生不断发现问题、思考问题、提出问题是很重要的。例如，在讲授等腰三角形“三线合一”这个问题时，教师可让学生剪一个等腰三角形，使它的两个底角重合再打开，然后让学生思考：从这个制作中能得出什么结论？学生们经过思考后，都能提出各自的见解，但有的学生往往只能停留在“等腰三角形两底角相等”，“折线是顶角的平分线”，“折线与底线的交点是底线的中点”这些表面的认识上，经过提示和点拔，学生们才进一步认识到：“折线也是底边上的高。” 四、在质疑中培养思维的批判性 治学必须有怀疑的精神。宋代学者程颐说过：“学者先要会疑。”张载也说过：“在可疑而不可疑者不曾学；学则须疑。”无论对哪一种学问都要经过自己的怀疑：因怀疑而思索，因思索而辨别是非、辨别真伪；经过“怀疑思索辨别”三个步骤，才能真正学到知识，掌握学问。因此，在教学中应努力培养学生的质疑精神，从而使他们的思维具有批判性。例如，在讲授“若ab，cd，则acbd是否成立这个例题时，有些学生认为成立。他们的理由是两个较小数的积一定小于两个较大数的积。在有理数的范围内，这个结论显然是错误的。教师可因势鼓励同学们大胆怀疑这个结论的正确性，通过讨论、引导，有的学生便起来质疑，认为这个结论是错误的，因为-4-3、-50，但（-4）×(-5)（-3）×0并不成立。 五、在多角度考虑问题中培养思维的发散性 在教学中要对学生已掌握的知识进行适当的拓展，引导学生从不同的角度去考虑和分析问题，扩大思维领域，培养思维的发散性。经常加强一题多解的训练，是培养分散思维的一条途径。同时，在教学中要多启发学生从不同角度去添设辅助线，让他们自己去发掘多种证明方法。 例：已知在ABC中，D为BC边上的中点，E为AC边上的一点，DE延长线与BA延长线交于F。求证：FAFBAEEC。 分析：此例的证法较多，在教师的分析引导下，学生可从如下几个方面添设辅助线：（1）过A作AGFD交BC于G；（2）过B作BGAC交FD的延长线于G；（3）过C作CGDF交BF的延长线于G。然后进行具体证明即可。如（图二）(证明步骤略） 六、在克服思维定势中培养思维的独创性 在教学中要培养学生强烈的好奇心和探索心理，使学生克服思维定势的消极作用。根据题设的特征，拓宽视野，标新立异，发掘有创造性的解题方法，积极培养思维的独创性。 例如，在讲解方式方程解题方法后，让学生思考方程： 的解法。如按先去分母的习惯思维，则会使问题难以解决。通过教师的提示、引导，学生进行探索新的思考方法。根据方程的特征，应将分子拆项后再解方程。原方程化为：，整理得： ， 移项得：，通分得：， 解得： ；经检验是原方程的根。 七、在突破惯常思维中培养学生的逆向思维 在数学教学中运用逆向思维，可以拓宽学生的思路，培养创新精神。 例如，已知：0和0相交于A、B，过点 B的任一割线CBD和0和0分别相交于C、D， 连接AC、AD。求证：AC：AD是定值。 逆向分析1：如（图三），要证AC：AD是定值，只要通过0和0分别作直径AE、AF，连接EF，证AC：ADAE：AF，即证ACDAEF，即证CE，即证0中，AB所对圆周角相等；DF，即证0中，AB所对圆周角相等。 逆向分析2：如（图四），连结0、0中线段AO、AO、00，则AB00，00分别相交0、0于E、F两点。 要证明AC：AD是定值，只需证明AC：ADAO：AO 即可。即证ACDA00，即证C0，D0， 即证DAB所对的圆周角，0=AE所对的圆心角，即证AB2AE，即证AEBE，即证00AB（已知）。 总之，在数学教学中，只有善于激发学生的思维活动，让学生主动思考、分析问题，才能有效地提高学生的思维素质和数学分析能力，才能使教学成效达到事半功倍，完成好适应新时代要求的素质教育。