结合自动控制理论的现代控制理论教学研究.doc

结合自动控制理论的现代控制理论教学研究 根据现代控制理论课程的特点，以提高课堂教学质量为目的，提出一种结合自动控制理论相关知识的现代控制理论教学方法。本文结合两门课程的特点，从数学模型的建立、系统响应与系统运动分析的关系以及系统的稳定性三个方面进行了阐述，并通过对例题的讲解进行具体分析。实践结果表明，该教学改革降低了学生对新知识的理解难度，激发了学生的学习兴趣，取得了良好的教学效果。 现代控制理论是高等学校自动化专业重要的专业必修课程，是控制类硕士研究生学习线性系统理论、非线性系统、最优控制等课程的基础1-2，同时也是电气工程及其自动化、检测与控制技术等本科专业的选修课程。现代控制理论的教学内容广泛，包括数学模型的建立，系统的运动分析，系统能控性、能观性以及稳定性的研究，系统极点的配置、状态观测器的设计以及最优控制等。现代控制理论所涉及的内容较为抽象，对线性代数、高等数学、信号与系统等知识有较高的要求3-5，导致学生在学习过程中感觉枯燥乏味、深奥难懂，且难以和实际情况进行结合。如何通过教学改革提高该课程的教学质量是上课教师共同面临的课题。 自动控制理论是控制类学科最重要的专业基础课，是学习现代控制理论的前期必修课程6。相对而言，自动控制理论对数学基础的要求相对较低，且和实际情况的结合较为紧密，学生对自动控制理论的理解相对容易，掌握也相对熟练。 本文结合现代控制理论和自动控制理论的特点，提出一种通过自动控制理论的知识引导出现代控制理论相关知识的教学方法，从数学模型的建立、系统响应与系统运动分析的关系以及系统的稳定性三个方面进行阐述。 1 现代控制理论的教学改革思路 自动控制理论是学习现代控制理论的基础，两门课程从不同的角度对控制系统的数学模型、系统的运行状态以及稳定性等问题进行了研究。在现代控制理论的课堂教学中，教师可先让学生利用已掌握的自动控制理论的相关知识对问题进行分析和解答；然后引导其从新的角度对问题进行思考并讲授现代控制理论中的新知识；最后将两种解决问题的思路和结果进行比较，加深学生对问题的理解和新知识的掌握。 1.1 数学模型的建立 为了从理论上对控制系统进行定性的分析和定量的计算，数学模型的建立是第一步。自动控制理论侧重于分析系统输出和输入之间的关系，并不关心系统内部状态的变化情况，故采用微分方程和传递函数对系统进行描述。现代控制理论则以系统的内部状态为基础进行研究，重点分析系统内部状态与输入和输出之间的关系，采用状态空间表达式对系统进行描述。在教学时，学生首次接触状态的概念，对其物理意义并不了解。若此时便基于状态的概念建立状态空间表达式，学生难以了解此类数学模型的本质。此时教师在讲授该部分内容时，应先建立学生所熟知的微分方程或传递函数，再逐步过渡到建立状态空间表达式。 例1 建立图1中所示RCL电路的状态空间表达式。 图1 RCL电路 在确定了系统输入和输出量之后，首先建立系统各环节的微分方程，构成微分方程组，如式（1）所示。这是建立系统微分方程或状态空间表达式共同的第一步。 （1） 在建立系统微分方程时，应该将作为中间变量的环路电流i消去，得到只有输入和输出量的微分方程，并将其化为标准型，得到式（2）。 （2） 和建立微分方程不同，在建立系统状态空间表达式时，不会消去中间变量，而是确定状态变量，如令x1=uo（t），x2=i（t），建立系统的状态方程和输出方程并最终写成矩阵形式，如式（3）。 （3） 通过比较，学生能够认识到虽然式（2）和式（3）的形式大相径庭，表达的却是相同的RCL电路。式（2）中的变量只有输入和输出量，体现了自动控制理论中只关注输入和输出关系的特点；而式（3）中不仅有输入和输出量，还有内部变量i（t），能够反映输入量对内部变量的影响以及内部变量对输出量的影响，体现了现代控制理论基于控制系统内部状态进行研究的特点。通过这样的学习，学生能够较容易地理解基于内部状态所建立的状态空间表达式的意义。 1.2 系统响应与系统运动分析 在现代控制理论中，学生会对线性系统进行运动分析，即对状态方程求解。求到的结果是一个关于x（t）的矩阵表达式，其物理意义是描述状态变量在输入和初始状态影响下的变化规律。然而内部状态的变化情况往往无法直接进行观测，这导致很多学生不能准确理解求解结果的物理意义。学生在学习自动控制理论时域分析法时，对系统的响应，特别是针对二阶系统的单位阶跃响应进行了大量的研究。所谓系统的响应就是系统的外部输出，学生能够通过实验等方式直观感受并了解其物理意义。因此建立内部状态变化规律与系统外部响应的关系，能够有效帮助学生理解状态方程求解的意义。 例2 设系统的状态方程如式（4）所示，且x（0）=0 1T，试求在u（t）=1（t）作用下状态方程的解。 （4） 首先利用通过G（s）=C（sI-A）-1B+D求出系统的传递函数G（s）=，并通过Matlab进行单位阶跃响应实验，得到的响应曲线如图2所示。 然而自动控制理论中数学模型的建立都是基于零初始状态，但本题的初始状态并非为零。因而引入现代控制理论的知识，求解非齐次方程的解。利用公式x（t）=（t）x（0）+（t-）Bu（）d得到系统的解为x（t）=-e+ e，并根据输出方程求得系统的输出y（t）=-e。利用Matlab软件得到系统的输出曲线如图3所示。 图2 系统的单位阶跃响应 图3 系统的输出曲线 比较两根曲线，虽然都是单调上升的，但明显上升的速度有所不同，学生能直观体会到初始状态对系统输出的影响。而本题的求解过程，也能帮助学生理解系统输出和状态变量之间的关系。 为了进一步加深学生对状态方程求解的理解，验证初始状态对系统输出的影响，可令系统的初始状态x（0）=0 0T，求得系统的输出为y（t）=-e+e，其曲线与图2完全相同。 通过这样的讲解，学生能体会自动控制理论和现代控制理论之间的内在联系，直观感受初始状态对系统输出的影响，既能帮助学生掌握新知识，又能加深其对系统响应的理解，体会自动控制理论忽略初始状态进行研究的局限性。 1.3 系统的稳定性 稳定性是控制系统最基本的性质，是保证系统正常工作的先决条件。自动控制理论中的劳斯判据、奈奎斯特判据、伯德判据，以及现代控制理论中的李雅普诺夫第二法、克拉索夫斯基定理都是系统稳定性的判据，可见稳定性的重要性。然而自动控制理论中对稳定性的定义仅仅是现代控制理论中涉及到的大范围渐进稳定，除此之外，现代控制理论中还涉及到了一致稳定、渐进稳定、大范围稳定和李雅普诺夫稳定。为帮助学生理解各种稳定的不同，可以将自动控制理论中判断系统稳定性的方法引入到现代控制理论的教学中。 例1建立了RCL电路的状态空间表达式。根据劳斯判据判断系统稳定性的步骤，首先求出系统的传递函数为G（s）=，令L>0，C>0；然后利用特征多项式建立系统的劳斯表如式（5）所示；最后根据劳斯判据的定义当电阻R>0时，劳斯表第一列元素全为正，系统稳定；当电阻R=0时，劳斯表出现了全零行，系统临界稳定；当电阻R0，C>0，其一阶微分=2Lx11+2Cx22=-2Rx。根据李雅普诺夫第二法的定义，当电阻R>0时，负定，则系统是渐进稳定的，且系统只有一个平衡点，即xe=x1x2=0，系统为大范围渐进稳定；当电阻R=0时，=0，系统是李雅普诺夫意义下的稳定；当电阻R第 7 页