杨辉三角的兄弟 Rascal Triangle.doc

杨辉三角的兄弟 Rascal Triangle如果给出下面三角形，问下一行应该填什么？想必很多人都会填写“14641”，因为规律很明显，不就是杨辉三角么？而有三个外国中学生给出了不同的答案，他们的文章TheRascalTriangle发表在2018年的THECOLLEGEMATHEMATICSJOURNAL。文章先是设计了一个教学场景（三个作者不是一个学校的），老师很不满意他们给出的答案“14541”，告诉他们3+3应该等于6，而不是等于5。学生解释：我们定义的规则有所不同，除了每行两端都为1之外，其余每个数都等于肩上两数相乘，加1，除以头顶上（即再上一行对应位置上）的数，譬如第5行的4=(1×3+1)/1，5=(3×3+1)/2。老师提出疑问，所给规则最后用到除法，那能否保证生成的数阵，每一个数都是整数？如果是杨辉三角，那就简单，整数相加总是整数。而若所得不是整数，则这样的定义规则显然是不完美的。学生给出了巧妙的证明。将数阵旋转45°，得死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。这样一来，数阵中的每一个位置对应哪个数就更好表述了。行数列数都从0开始，则第m行第n列的数是mn+1，第m行为：1，m+1，2m+1，.，nm+1。上式除以mn+1，所得(m+1)(n+1)+1正好是第m+1行第n+1列的数。根据数学归纳法可知所有数都是整数。非常难得的是，这三个中学生完成文章之后，还在OEIS搜索，结果发现这个结论是之前没有的。（第 2 页