2018届高考数学一轮复习配餐作业54椭圆的概念及其性质含解析理20170919148.doc

配餐作业(五十四)椭圆的概念及其性质(时间：40分钟)一、选择题1已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6C4 D12解析如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则ABC的周长为|AB|AC|BC|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4a4。故选C。 答案C2(2016·广东适应性测试)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则b()A8 B6C5 D4解析由题意得2a12，e，解得a6，c2，所以b4，故选D。答案D3(2016·湖北八校二联)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A. B.C. D.解析由题意知a3，b。由椭圆定义知|PF1|PF2|6。在PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线性质可推得PF2x轴，所以|PF2|，所以|PF1|6|PF2|，所以，故选B。答案B4(2016·呼和浩特调研)设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于()A. B±C± D.解析由题意可得，c1，a2，b，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k±。故选B。答案B5设椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1F2是直角三角形，则PF1F2的面积为()A3 B3或C. D6或3解析a2，b，c1，则点P为短轴顶点(0，)时，F1PF2，PF1F2是正三角形，若PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|，SPF1F2··2c。故选C。答案C6(2017·郑州模拟)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A. B2C.2 D.解析设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|m。由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a2mm，即m(42)a，则|AF2|2am(22)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(2)2a24(1)2a2，即有c2(96)a2，即c()a，即e，故选D。答案D二、填空题7直线x2y20过椭圆1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为_。解析直线x2y20与x轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故c2。直线x2y20与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b1。故a2b2c25，椭圆方程为y21。答案y218点P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_。解析由题意知，|PF1|PF2|10，|F1F2|6，SPF1F2(|PF1|PF2|F1F2|)·1|F1F2|·yP3yP8，所以yP。答案9(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(a>b>0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_。解析由题意可得B，C，F(c,0)，则由BFC90°得··c2a2b20，化简得ca，则离心率e。答案三、解答题10已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2。(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点。当|PM|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围。解析(1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)。由题意知解得所以椭圆方程为1。(2)设P(x0，y0)，且1，所以|PM|2(x0m)2yx2mx0m212x2mx0m212(x04m)23m212(4x04)。所以|PM|2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为x04m。由题意知，当x04时，|PM|2最小，所以4m4，所以m1。又点M(m,0)在椭圆长轴上，所以1m4。答案(1)1(2)1,411如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C。(1)若点C的坐标为，且|BF2|，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值。解析(1)由题意，F2(c,0)，B(0，b)，|BF2|a，又C，所以1，解得b1。所以椭圆方程为y21。(2)直线BF2的方程为1，与椭圆方程1联立组成方程组，解得A点坐标为，则C点坐标为，kF1C。又kAB，由F1CAB得·1，即b43a2c2c4，所以(a2c2)23a2c2c4，化简得e。答案(1)y21(2)(时间：20分钟)1(2017·深圳模拟)过椭圆1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A14 B16C18 D20解析F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|PF2|，|OP|OQ|，所以PQF1的周长为|PF1|F1Q|PQ|PF1|PF2|2|PO|2a2|PO|102|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，PQF1即PQF的周长取得最小值为102×418。故选C。答案C2(2016·浙江高考)已知椭圆C1：y21(m>1)与双曲线C2：y21(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Am>n且e1e2>1Bm>n且e1e2<1Cm<n且e1e2>1Dm<n且e1e2<1解析由于m21c2，n21c2，则m2n22，故m>n，又(e1e2)2··1>1，所以e1e2>1。故选A。答案A3(2016·湖南东部六校联考)已知椭圆C的方程为1，A，B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不同于A，B的动点，直线x4与直线PA，PB分别交于M，N两点，若D(7,0)，则过D，M，N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为_。解析设点P(x0，y0)，M(4，yM)，N(4，yN)，则直线PA，PB所在的直线方程分别为y(x2)，y(x2)，依题意，可求得yM，yN。(3，yM)，(3，yN)，·9，又1，123x4y，即9，·0，MN为过D，M，N三点的圆的直径。设定点为E(t,0)，则MN为线段DE的垂直平分线，又线段MN为圆的直径，令圆心为F(4，a)，可得|EF|FD|，即，解得t1或7(舍)，所以定点坐标为(1,0)。答案(1,0)4(2016·浙江高考)如图，设椭圆y21(a>1)。(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围。解析(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AP，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2。因此|AP|x1x2|·。(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|。记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1k2。由(1)知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0。由于k1k2，k1，k2>0得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)>1，所以a>。因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a，由e得，所求离心率的取值范围为0<e。答案(1)·(2)7