2018届高考数学一轮复习配餐作业59最值范围问题含解析理20170919143.doc

配餐作业(五十九)最值、范围问题(时间：40分钟)1如图，椭圆E：1(a>b>0)经过点A(0，1)，且离心率为。(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2。解析(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a。所以椭圆的方程为y21。(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0。由已知得(1,1)在椭圆外，则>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2。从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)·2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2。故直线AP与AQ的斜率之和为2。答案(1)y21(2)见解析2已知圆E：x22经过椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线。直线l交椭圆C于M，N两点，且(0)。(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程。解析(1)F1，E，A三点共线，F1A为圆E的直径，AF2F1F2。由x22，得x±，c，|AF2|2|AF1|2|F1F2|2981，2a|AF1|AF2|4，a2。a2b2c2，b，椭圆C的方程为1。(2)由题意知，点A的坐标为(，1)，(0)，直线l的斜率为，故设直线l的方程为yxm，联立消去y并整理得x2mxm220，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2m，x1x2m22，2m24m28>0，2<m<2。又|MN|x2x1|，点A到直线l的距离d，SAMN|MN|·d×|m|×，当且仅当4m2m2，即m±时等号成立，此时直线l的方程为yx±。答案(1)1(2)yx±3(2017·太原模拟)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e，点P为椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值为4。(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，·0，求|的取值范围。解析(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，PF1F2面积取最大值，此时SPF1F2·|F1F2|·|OP|bc，bc4，e，b2，a4，椭圆的方程为1。(2)由(1)得椭圆的方程为1，则F1的坐标为(2,0)，·0，ACBD。当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|6814。当直线AC的斜率k存在且k0时，则其方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(34k2)x216k2x16k2480，|x1x2|，此时直线BD的方程为y(x2)，同理，由可得|，|，令tk21(k0)，则t>1，|，t>1，0<，|。由可知，|的取值范围是。答案(1)1(2)4(2016·贵阳监测)设点F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：y21(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0。(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：ykxm与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1Ml，F2Nl分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值。解析(1)设P(x，y)，则(cx，y)，(cx，y)，·x2y2c2x21c2，xa，a，由题意得，1c20，c1，则a22，椭圆C的方程为y21。(2)将直线l的方程l：ykxm代入椭圆C的方程y21中，得(2k21)x24kmx2m220，则16k2m24(2k21)(2m22)0，化简得：m22k21。设d1|F1M|，d2|F2N|。当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|MN|·|tan|，|MN|·|d1d2|，S··|d1d2|·(d1d2)，m22k21，当k0时，|m|>1，|m|>2，即S<2。当k0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S2。四边形F1MNF2面积S的最大值为2。答案(1)y21(2)2(时间：20分钟)1已知椭圆C1：1(a>b>0)的离心率为e，直线l：yx2与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。(1)求椭圆C1的方程；(2)抛物线C2：y22px(p>0)与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上(R，S与Q不重合)，且满足·0，求|的取值范围。解析(1)由直线l：yx2与圆x2y2b2相切，得b，即b。由e，得1e2，所以a。所以椭圆C1的方程是1。(2)由1，可得p2。故抛物线C2的方程为y24x。易知Q(0,0)，设R，S，则Q，。由·0得·y1(y2y1)0。y1y2，y2，yy3223264。当且仅当y，即y1±4时等号成立。又|，y64，当y64，即y2±8时，|min8。故|的取值范围是8，)。答案(1)1(2)8，)2(2016·山东高考)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点。(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D。直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M。()求证：点M在定直线上；()直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标。解析(1)由题意知，可得：a24b2，因为抛物线E的焦点F，所以b，a1，所以椭圆C的方程为x24y21。(2)()设P(m>0)。由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m。因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立方程得(4m21)x24m3xm410。由>0，得0<m<(或0<m2<2)，(*)且x1x2，因此x0，将其代入ymx，得y0，因为，所以直线OD的方程为yx。联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上。()由()知直线l的方程为ymx。令x0，得y，所以G。又P，F，D，所以S1·|GF|·m，S2·|PM|·|mx0|××。所以。设t2m21。则2，当，即t2时，取得最大值，此时m，满足(*)式，所以P点的坐标为，因此的最大值为，此时点P的坐标为。答案(1)x24y21(2)()见解析()的最大值为，P8