2018届高考数学一轮复习配餐作业60定点定值探索性问题含解析理20170919141.doc

配餐作业(六十)定点、定值、探索性问题(时间：40分钟)1. (2016·山西联考)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1。(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得·0。若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。解析(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1。(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2。设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P。M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，··(4t)·(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1。存在点M(1,0)符合题意。答案(1)1(2)存在点M(1,0)2(2017·赤峰模拟)已知E(2,2)是抛物线C：y22px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x2于点M，N。(1)求抛物线方程及其焦点坐标；(2)已知O为原点，求证：MON为定值。解析(1)将E(2,2)代入y22px，得p1，所以抛物线方程为y22x，焦点坐标为。(2)证明：设A，B，M(xM，yM)，N(xN，yN)，设直线l的方程为xmy2与抛物线方程联立得到消去x，得：y22my40，则由根与系数的关系得：y1y24，y1y22m，直线AE的方程为：y2(x2)，即y(x2)2，令x2，得yM，同理可得：yN。又(2，yM)，(2，yN)，·4yMyN4440，所以OMON，即MON为定值。答案(1)y22x，焦点坐标(2)见解析3(2016·湖南六校联考)如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：1上的任一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)22作两条切线，分别交椭圆于点P，Q。(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。解析(1)证明：因为直线OP：yk1x与圆M相切，所以，化简得(x2)k2x0y0k1y20，同理(x2)k2x0y0k2y20，所以k1，k2是方程(x2)k22x0y0ky20的两个不相等的实数根，所以k1·k2。因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y3x，所以k1k2，为定值。(2)|OP|2|OQ|2是定值，定值为9。理由如下：()当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立解得所以xy，同理，得xy，由k1k2，得|OP|2|OQ|2xyxy9。()当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2|OQ|29，综上：|OP|2|OQ|29。答案(1)见解析(2)是定值9(时间：20分钟)1(2016·山西四校联考)已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2xy60相切。(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由。解析(1)由e，得，即ca，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且该圆与直线2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22，所以椭圆C的标准方程为1。(2)由，得(13k2)x212k2x12k260。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2。根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2·()··为定值，则·(x1m，y1)·(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式为定值，即与k无关，只需3m212m103(m26)，解得m，此时，2·m26，所以在x轴上存在定点E使得2·为定值，且定值为。答案(1)1(2)存在定点E，定值2如图，已知椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B、C。(1)求证：直线BO平分线段AC；(2)设点P(m，n)(m，n为常数)在直线BO上且在椭圆外，过点P的动直线l与椭圆交于两个不同的点M、N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q恒在一定直线上。解析(1)证明：由题意，则ac，b2a2c22c2，故椭圆方程为1，即2x23y26c20，其中A(0，c)，F1(c,0)，故直线AF1的斜率为，此时直线AF1的方程为y(xc)，联立得2x23cx0，解得x10(舍去)和x2，即B，由对称性知C。直线BO的方程为yx，线段AC的中点坐标为，线段AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC。(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)、Q(x0，y0)，则2x3y6c2,2x3y6c2。由题意可设，则，求得m，x0，n，y0，故mx0，ny0，所以2mx03ny06c2，由于m，n，c为常数，所以点Q恒在直线2mx3ny6c20上。答案(1)证明见解析(2)点Q恒在直线2mx3ny6c20上，证明见解析6