高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3两个向量的数量积课后导练新人教B版选.doc

3.1.3 两个向量的数量积课后导练基础达标1.已知非零向量a,b不平行，并且模相等，则a+b与a-b之间的关系是( )A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能答案：A2.如右图,已知PA平面ABC，°，则PC等于( )A.62 B.6 C.12 D.144答案：C3.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a-b+2c|等于( )A. B.5 C.6 D.答案：A4.已知在平行六面体ABCDABCD中，°，°，则等于( )A.85 B. C.5 D.50答案：B5.已知|=5,|=2,=60°，=2+,=-2,则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为_.答案：6.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+b,a,b=135°，mn，则=_答案：7.已知空间四边形OABC中,AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.证明：如右图，连结ON，设AOB=BOC=AOC=，又设=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|，又=（）=+（）=（a+b+c），=c-b，·=（a+b+c）（c-b）=（a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c）=（|a|2cos-|a|2cos-|a|2+|a|2）=0.OGBC.8.如下图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离.解：ACD=90°,·=0.同理·=0.AB与CD成60°角,=60°或120°.又=+,|2=|2+|2+|2+2·+2·+2·=3+2×1×1×cos,=|=2或.即B、D间的距离为2或.9.如右图，空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积（1）；（2）；（3）；（4）.解析:在空间四边形ABCD中，|=|=a,=60°,(1)·=a·acos60°=.(2)|=a,|=a,=60°.·=a2cos60°=.(3)|=,|=a,又，,=.·=a2cos=.(4)|=a,|=a,EFBD，,=,=60°.·=a2cos60°=a2.综合运用10.若a,b为两个非零向量,a·b=0,则下列各式中成立的是（ ）A.|a|=|b| B.(a+b)·（a-b）=0C.(a+b)·（a-b）=|a|2-|b|2 D.|a+b|=|a|+|b|答案：C11.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，则a2是下列哪一数量积的结果（ ）A.2 B.2C.2 D.2答案：B12.若|a|=|b|，且非零向量a与b不平行，则a+b与a-b的夹角是_.答案：90°13.在四面体PABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，P在ABC内的射影为O.试用向量法证明O为ABC的垂心.证明：如右图,设=a,=b,=c.PA,PB,PC两两互相垂直,a·b=0，b·c=0，c·a=0.又PO平面ABC,POAB,·=0.又=-=b-a，·=（b-a）·c=b·c-a·c=0.又=,·=·（）=·-·=0，ABCO.同理可证AOBC,BOAC,O为ABC的垂心.拓展研究14.已知线段AB平面,BC,CDBC,且CD与平面成30°角，D与A在的同侧，若AB=BC=CD=2，求AD的长.解析:|2=·.要求AD的长只要把用、表示，再求其自身的数量积即可.解：=+,|2=·=（+）·（+）=|2+|2+|2+2·+2·+2· AB=BC=CD=2,|=|=|=2， 又AB,BC,ABBC,·=0, CDBC,·=0. 把代入可得：|2=4+4+4+2·=12+2·|·|cos,=12+8·cos, 如右图所示，过D作DF于F，连CF，则DCF为直线CD与所成的角.DCF=30°,从而CDF=60°,又AB.DF,ABDF.,=,=60°.,=120°代入式得到|2=12+8cos120°=12-4=8,|=.从而AD=.5