课标通用2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1变化率与导数导数的计算学案理2017101.doc

§3.1变化率与导数、导数的计算考纲展示1.了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数考点1导数的概念及运算法则1.导数的概念函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) _.函数f(x)的导函数：称函数f(x) 为f(x)的导函数答案：2基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_f(x)x(Q*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)exf(x)_f(x)ax(a0，a1)f(x)_续表基本初等函数导函数f(x)ln xf(x)_f(x)logax(a0，a1)f(x)_答案：0x1cos xsin xexaxln a3导数的运算法则(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)(g(x)0)答案：(1)f(x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积答案：yu·uxy对uu对x(1)教材习题改编在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10.则运动员的速度v_，加速度a_.答案：9.8t6.5，9.8(2)教材习题改编f(x)cos x在点处的切线的倾斜角为_答案：导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错(1)若函数f(x)2x3a2，则f(x)_.答案：6x2解析：本题易出现一种求导错解：f(x)6x22a，没弄清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.(2)函数y的导函数为_答案：y解析：y，易用错商的求导法则典题1分别求出下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)yln.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex·ex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y··(12x).点石成金导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导考点2导数运算的应用典题2(1)2017·吉林实验中学高三函数f(x)的导函数f(x)，对xR，都有f(x)>f(x)成立，若f(ln 2)2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是()A(1，)B(0,1)C(ln 2，)D(0，ln 2)答案C解析设F(x)，F(x)>0，F(x)在定义域R上单调递增，不等式f(x)>ex即F(x)>1，f(ln 2)2，F(ln 2)1，即F(x)>F(ln 2)，x>ln 2，故选C.(2)已知f(x)x22xf(2 016)2 016ln x，则f(2 016)_.答案2 017解析由题意得f(x)x2f(2 016)，所以f(2 016)2 0162f(2 016)，即f(2 016)(2 0161)2 017.(3)在等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)·(xa2)··(xa8)，则f(0)的值为_答案212解析因为f(x)x·(xa1)(xa2)··(xa8)(xa1)(xa2)··(xa8)·x(xa1)(xa2)··(xa8)(xa1)(xa2)··(xa8)·x，所以f(0)(0a1)(0a2)··(0a8)0a1a2··a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.点石成金在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误1.若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)()A1B2 C2D0答案：B解析：f(x)ax4bx2c，f(x)4ax32bx.又f(1)2，4a2b2，f(1)4a2b2.2设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn(x)fn1(x)，nN*，则f2 017(x)()Asin xBsin x Ccos xDcos x答案：C解析：f1(x)f0(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 017(x)cos x.考点3导数的几何意义导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为_答案：P(x0，y0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)曲线y2x33x5在点(2,15)处的切线的斜率为_答案：21解析：因为y6x23，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k6×22321.求曲线的切线方程：确定切点；求导数；得出斜率；写出切线方程(1) 曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为_答案：3xy10解析：依题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率k(01)e023，故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即3xy10.(2)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.答案：解析：易知点(1，a)在曲线yax2ln x上，y2ax，y|x12a10，a.考情聚焦导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题主要有以下几个命题角度：角度一求切线方程典题3(1)2017·河北唐山模拟曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10答案C解析由于ye，所以yx1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.(2)2017·四川雅安模拟设曲线yexax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则实数a()A3B1C2D0答案C解析与直线x2y10垂直的直线斜率为2，f(0)e0a2，解得a2.(3)过点A(2,1)作曲线f(x)x33x的切线最多有()A3条B2条C1条D0条答案A解析由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x3x0)，那么切线的斜率为k3x3，利用点斜式方程可知切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x6x70.令y2x6x7，则y6x12x0.由y0得x00或x02.当x00时，y70；当x02时，y10.结合函数y2x6x7的单调性可得方程2x6x70有3个解故过点A(2,1)作曲线f(x)x33x的切线最多有3条，故选A.角度二求切点坐标典题4若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_答案(e，e)解析由题意得yln xx·1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)角度三求参数的值典题5(1)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1B0 C1D2答案C解析两曲线的交点为(0，m)，即a1，f(x)cos x，f(x)sin x，则f(0)0，f(0)1.又g(x)2xb，g(0)b，b0，ab1.(2)若函数f(x)x2axln x上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xa0有解，ax2(x0)点石成金1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解2已知斜率k，求切点A(x0，f(x0)，即解方程f(x0)k.3(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解(2)当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.方法技巧1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数易错防范1.曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点2利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点4曲线未必在其切线的同侧，如曲线yx3在其过点(0,0)的切线y0的两侧 真题演练集训 12014·大纲全国卷曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D1答案：C解析：yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x12.22014·新课标全国卷设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3答案：D解析：ya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.32016·新课标全国卷已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_答案：y2x1解析：由题意可得，当x>0时，f(x)ln x3x，则f(x)3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.42016·新课标全国卷若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.答案：1ln 2解析：设ykxb与yln x2和yln(x1)的切点分别为(x1，ln x12)和(x2，ln(x21)，则切线分别为yln x12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxln x11，yxln(x21)，依题意，得解得x1，从而bln x111ln 2.52015·陕西卷设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_答案：(1,1)解析：yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x>0)的导数为y(x>0)，曲线y(x>0)在点P处的切线斜率k2(m>0)因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1) 课外拓展阅读 求解导数问题最有效的两种解题方法方法一公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导；第二步，得结论；第三步，解后反思典例1改编题求函数ysin2的导数思路分析解解法一：y2sin2sincos·4sincos2sin.解法二：设yu2，usin v，v2x，则yyu·uv·vx2u·cos v·24sin vcos v4sincos2sin.温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏方法二构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导；第三步，得出结论典例2证明：当x1时，有ln2(x1)ln x·ln(x2)思路分析证明构造辅助函数f(x)(x1)，于是有f(x).因为1xx1，所以0ln xln(x1)，即xln x(x1)ln(x1)则在(1，)内恒有f(x)0，故f(x)在(1，)内单调递减又1xx1，则f(x)f(x1)，即，所以ln2(x1)ln x·ln(x2)技巧点拨要证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)内是增函数，同时F(a)0，则有x(a，b)时，F(x)0，即证明了f(x)g(x)同理可证明f(x)g(x)但要注意，此法中所构造的函数F(x)在给定区间内应是单调的混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误典例3若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a()A1或 B1或C或 D或7易错分析没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错解析因为yx3，所以y3x2，设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又点(1,0)在切线上，所以x00或x0.当x00时，切线方程为y0，由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，切线方程为yx，由yx与yax2x9相切，可得a1.综上，a的值为1或.答案A易错提醒1对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握2对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解- 13 -