课标通用2018年高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.2排列与组合学案理201.doc

§11.2排列与组合考纲展示1.理解排列与组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能利用排列组合知识解决简单的实际问题考点1排列问题1.排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素，_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列答案：按照一定的顺序排成一列2排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.答案：所有不同排列的个数3排列数公式及性质公式A_性质(1)A_；(2)0！_备注n，mN*，且mn答案：n(n1)(n2)(nm1)(1)n!(2)1对排列的概念理解是否正确？(1)当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列；元素完全不同或元素部分相同或元素相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列()(2)排列定义规定，给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了()答案：(1)(2)典题1(1)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()A60种 B48种 C30种 D24种答案B解析由题意知，不同的座次有AA48(种)(2)有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A，B两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”又对B说：“你是第三名”请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()A6 B18 C20 D24答案B解析由题意知，名次排列的种数为CA18.(3)3名女生和5名男生排成一排如果女生全排在一起，有多少种不同排法？如果女生都不相邻，有多少种排法？如果女生不站两端，有多少种排法？其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有多少种排法？其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？解(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有AA4 320(种)不同排法(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法解法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA14 400(种)不同排法8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，所以符合要求的排法种数为A20 160(种)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置解法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个位置中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有AAA种由分类加法计数原理，共有AAAA30 960(种)解法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，因此共有AAAA30 960(种)解法三(间接法)：8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种因此共有A2AA30 960(种)点石成金1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法2对相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法，定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法考点2组合问题1.组合从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个_答案：组合2组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的_，记作_答案：组合数C3组合数公式及性质公式C性质(1)C_；(2)C_；(3)CCC备注n，mN*，且mn答案：(1)1(2)C(1)教材习题改编从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有_种不同的选法答案：120解析：易知有CCCCCC120(种)不同的选法(2)教材习题改编将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有_种(用数字作答)答案：91解析：分类即可，共有CCC21353591(种)放法.组合问题：关键在于“无序”(1)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)答案：590解析：从12名医生中选出5名的选法有C792(种)，其中只不选骨科医生的选法有C1125(种)，只不选脑外科医生的选法有C155(种)，只不选内科医生的选法有C21(种)，同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数为792(12555211)590.(2)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种，其中某一种假货不能在内，不同的取法有_种答案：5 984解析：从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984(种)某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.典题2(1)2017·福建三明一中高三第一次月考从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56 C49 D28答案C解析分两种情况：第一种甲乙只有1人入选，则有CC42(种)，第二种甲乙都入选，有CC7(种)，所以共有42749(种)方法，故选C.(2)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解从余下的34种商品中，选取2种有C561(种)，某一种假货必须在内的不同的取法有561种从34种可选商品中，选取3种，有C5 984(种)某一种假货不能在内的不同的取法有5 984种选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种选取3件的总数有C种，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种点石成金组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.1.2017·湖北武汉二模若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种C65种 D66种答案：D解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，共有不同的取法有CCCC66(种)2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_答案：472解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有CC264(种)第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C3C22012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法共有264208472(种)考点3分组分配问题考情聚焦分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象主要有以下几个命题角度：角度一整体均分问题典题3国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A90(种)分派方法角度二部分均分问题典题42017·四川内江模拟某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考情况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为()A144 B72 C36 D48答案C解析分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A种，所以满足条件的分配方案有·A36(种)角度三不等分问题典题5若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法答案360解析将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法根据分步乘法计数原理，共有CCC60(种)取法再将这3组教师分配到3所中学，有A6(种)分法，故共有60×6360(种)不同的分法点石成金解决分组分配问题的三种策略(1)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数(2)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数(3)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数考点4排列组合的综合应用典题6(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216C180 D162答案C解析分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CCA72(个)没有重复数字的四位数；第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CC(AA)108(个)没有重复数字的四位数根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72108180(个)(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个(用数字作答)答案324解析当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC72；若选出的三个偶数不含0，此时千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC18.故这种情况下符合要求的四位数共有721890(个)当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是CCAC162.故这种情况下符合要求的四位数共有72162234(个)根据分类加法计数原理，符合要求的四位数共有90234324(个)点石成金利用先选后排法解答问题的三个步骤从1到9的9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A种情况所以符合题意的七位数有CCA100 800(个)(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400(个)(3)3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA5 760(个).方法技巧1.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直接处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化2对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数易错防范1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关2解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏3解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义4对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏 真题演练集训 12016·江苏卷(1)求7C4C的值；(2)设m，nN*，nm，求证：(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C.(1)解：7C4C7×4×0.(2)证明：当nm时，结论显然成立当n>m时，(k1)C(m1)·(m1)C，km1，m2，n.又CCC，所以(k1)C(m1)(CC)，km1，m2，n.因此，(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m1)(CC)(CC)(CC)(m1)C.22015·重庆卷端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P故E(X)0×1×2×. 课外拓展阅读 特殊元素(位置)优先安排法解排列组合问题典例3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为()A360 B288 C216 D96审题视角分两步计算：第一步，计算满足3位女生中有且只有两位相邻的排法，将3位女生分成两组，插空到排好的3位男生中；第二步，在第一步的结果中排除甲站两端的排法解析3位男生排成一排有A种排法，3名女生分成两组其中2名排好看成一个整体有CA种排法，这两组女生插空到3名男生中有A种插法，于是6位同学排成一排且3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有CAAA432(种)其中男生甲在排头或排尾时，其余两男生的排法有A种，两组女生插到2名男生中有A种插法于是男生甲在排头或排尾，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有2AACA144(种)所以满足条件的排法共有432144288(种)故选B.答案B方法点睛该题涉及两个特殊条件：“男生甲不站两端”与“3位女生中有且只有两位女生相邻”，显然对于“男生甲不站两端”这类问题可利用间接法求解，将其转化为“男生甲站两端”的问题，要优先安排男生甲，然后再安排其他元素；对于“三位女生中有且只有两位女生相邻”中的相邻问题利用捆绑法；而不相邻问题可以利用插空法求解- 11 -