课标通用2018年高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10.3变量间的相关关系统计案例学案理2017.doc

§10.3变量间的相关关系、统计案例考纲展示1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系2了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程3了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用4了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用考点1变量间的相关关系1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是_；与函数关系不同，_是一种非确定性关系答案：相关关系相关关系2从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为_，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为_答案：正相关负相关对回归系数的理解：解释变量；预报变量某工厂工人月工资y(元)依劳动产值x(万元)变化的回归直线方程为900x600，下列判断正确的是_劳动产值为10 000元时，工资为500元；劳动产值提高10 000元时，工资提高1 500元；劳动产值提高10 000元时，工资提高900元；劳动产值为10 000元时，工资为900元答案：解析：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b个单位.典题1(1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()ABCD答案D解析观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且2.347x6.423；y与x负相关且3.476x5.648；y与x正相关且5.437x8.493；y与x正相关且4.326x4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A BC D答案D解析由回归方程x知，当0时，y与x正相关，当0时，y与x负相关，一定错误点石成金相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性考点2线性回归分析1.回归分析对具有_的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析其基本步骤是：()画散点图；()求_；()用回归直线方程作预报答案：相关关系回归直线方程2回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在_附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线答案：一条直线3回归直线方程的求法最小二乘法设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i1,2，n)，则回归直线方程x的系数为：其中i，yi，(，)称为样本点的_答案：中心4相关系数当r0时，表明两个变量_；当r0时，表明两个变量_r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性_r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性答案：正相关负相关越强教材习题改编已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为_答案：1.23x0.08解析：设回归直线方程为1.23x，因为回归直线必过样本点的中心(x，y)，将点(4,5)代入回归直线方程得0.08，所以所求方程为1.23x0.08.变量的相关关系：散点图；回归直线过(，)某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据.x3456y2.5344.5据相关性检验，y与x具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么当产量x10吨时，估计相应的生产能耗为_吨标准煤答案：7.35解析：先求得4.5，3.5，由0.7x过点(，)，得0.35，所以回归直线方程是0.7x0.35.当x10吨时，70.357.35(吨标准煤)典题2(1)已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为0.95x，则()x0134y2.24.34.86.7A.3.25 B2.6C2.2 D0答案B解析由已知得2，4.5，因为回归方程经过点(，)，所以4.50.95×22.6.(2)由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果，90，iyi112，i20，i25.求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程x；()判断变量x与y之间是正相关还是负相关；()当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少附：在线性回归方程x中，其中，为样本平均值解i20，i25，i4，i5，1.2，51.2×40.2.线性回归方程为1.2x0.2.()由知，1.2>0，变量x与y之间是正相关()由知，当x8时，9.8，即使用年限为8年时，支出维修费约是9.8万元点石成金1.正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键2回归直线方程x必过样本点的中心(，)3在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20062008201020122014需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程x；(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2016年的粮食需求量解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份2 01042024需求量257211101929对预处理后的数据，容易算得，0，3.2，6.5，3.2.由上述计算结果知，所求回归直线方程为257(x2 010)6.5(x2 010)3.2，即6.5×(x2 010)260.2.(2)利用(1)中所求回归直线方程，可预测2016年的粮食需求量为6.5×(2 0162 010)260.26.5×6260.2299.2(万吨)考点3独立性检验1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量2列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcdK2(其中n_为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”答案：abcd(1)教材习题改编为调查中学生的近视情况，测得某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是_(填序号)回归分析；期望与方差；独立性检验；概率答案：解析：“近视”与“性别”是两个分类变量，其是否有关，应该用独立性检验来判断(2)教材习题改编在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，有下列四种说法：100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌；在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有其中正确说法的序号是_答案：对独立性检验的理解：K2的计算；对P(K2k0)的解释2017·湖南张家界模拟某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表： 专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2的观测值k4.844.因为k>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为_附表：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828答案：5%解析：k>3.841，查临界值表，得P(K23.841)0.05，故这种判断出错的可能性为5%.典题3(1)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根据表中数据，得到K24.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为_答案5%解析由K24.8443.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.(2)2017·江西九江模拟某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如下所示的频数分布表.分数段40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100男39181569女64510132估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.优分非优分总计男生女生总计100附表及公式：P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2.解男45×0.0555×0.1565×0.375×0.2585×0.195×0.1571.5，女45×0.1555×0.165×0.12575×0.2585×0.32595×0.0571.5，从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关由频数分布表可知，在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：优分非优分总计男生154560女生152540总计3070100可得K21.79，因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”点石成金1.独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K2的值2弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答.2017·广西玉林、贵港联考某市地铁即将于2015年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；月收入(单位：百元)15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75赞成定价者人数123534认为价格偏高者人数4812521(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数总计认为价格偏高者赞成定价者总计附：K2.P(K2k0)0.050.01k03.8416.635 解：(1)“赞成定价者”的月平均收入为150.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为238.75，“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是1250.5638.7511.81(百元)(2)根据条件可得2×2列联表如下：月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数总计认为价格偏高者29332赞成定价者11718总计401050K26.27<6.635，没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.方法技巧1.求回归方程，关键在于正确求出系数，由于，的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误(注意线性回归方程中一次项系数为，常数项为，这与一次函数的习惯表示不同)2回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程易错防范1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值2独立性检验中统计量K2的观测值k的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错 真题演练集训 12015·福建卷为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程x，其中0.76，.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A11.4万元 B11.8万元C12.0万元 D12.2万元答案：B解析：由题意知，10，8， 80.76×100.4， 当x15时，0.76×150.411.8(万元)22016·新课标全国卷下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：i9.32，iyi40.17, 0.55，2.646.参考公式：相关系数r，回归方程t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据，得4，(ti)228，0.55，(ti)(yi)iyii40.174×9.322.89，r0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系(2)由1.331及(1)，得0.103，1.3310.103×40.92.所以，y关于t的回归方程为0.920.10t.将2016年对应的t9代入回归方程，得0.920.10×91.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨32015·新课标全国卷某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.解：(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于68，56368×6.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.6×0.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大42014·新课标全国卷某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解：(1)由所给数据计算得×(1234567)4，×(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，(ti)2941014928，(ti)(yi)(3)×(1.4)(2)×(1)(1)×(0.7)0×0.11×0.52×0.93×1.614，0.5，t4.30.5×42.3.所求回归方程为0.5t2.3.(2)由(1)知，0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2015年的年份代号t9代入(1)中的回归方程，得0.5×92.36.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元 课外拓展阅读 统计案例问题的规范答题 典例2013·福建卷某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2.审题视角由频率分布直方图列举基本事件，结合古典概型，求概率利用独立性检验公式计算K2.解(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.053(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.052(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)故所求的概率P.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.2515(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.37515(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手总计25周岁以上组15456025周岁以下组152540总计3070100所以K21.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”答题模板第1步：由分层抽样计算两组工人的数目；第2步：由频率分布直方图计算两组不足60件的人数；第3步：列举5人抽取2人的基本事件数；第4步，由古典概型计算概率；第5步：统计生产能手与非生产能手，列2×2列联表；第6步：由公式计算K2，确定答案归纳总结(1)分层抽样比为，故25周岁以上有300×60(人)，25周岁以下的200×40(人)，然后再根据频率计算“不足60件”的人数，并设定符号(2)列2×2列联表时，其中的数字应先由频率分布直方图算出后再列表- 17 -