高中数学2.2直线的方程2.2.4点到直线的距离课堂探究新人教B版必修220171030284.doc

2.2.4 点到直线的距离课堂探究探究一 点到直线的距离1求点P(x1，y1)到直线AxByC0的距离的计算步骤：(1)给点的坐标赋值：x1？，y1？；(2)给A，B，C赋值：A？，B？，C？；(3)计算d；(4)给出d的值2P(x1，y1)到几种特殊形式的直线方程的距离可以用公式求，也可以直接写出【典型例题1】 求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)3x4y10；(2)y6；(3)y轴思路分析：直接利用点到直线的距离公式求解即可解：由点到直线的距离公式d，得(1)点P(3，2)到直线3x4y10的距离d；(2)点P(3，2)到直线y60的距离d8；(3)点P(3，2)到y轴的距离等于点P(3，2)到直线x0的距离，d3.点评 直线方程先化为一般式AxByC0，再使用点到直线的距离公式d不易出错，当直线与坐标轴平行或重合时，不必使用点到直线的距离公式，如点P(3,2)到直线x5与直线y1的距离分别为2与3.【典型例题2】 求过点A(2,1)且原点到该直线的距离为2的直线方程思路分析：对于过一点A(2,1)的直线，应先考虑直线的斜率不存在时是否适合，再设斜率存在时，直线的斜率为k，利用直线的点斜式方程写出直线方程，并化为一般式方程，最后用点到直线的距离公式求解解：(1)当过点A(2,1)的直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，直线到原点的距离为d|x0|20|2，所以x2适合要求(2)当过点A(2,1)的直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y1k(x2)，化为一般式方程为kxy2k10.所以原点到直线的距离为d2，即2，整理得4k24k14k24，所以k，所以直线方程为y1(x2)，即3x4y100.综上可知，所求直线的方程为x2或3x4y100.点评 过一定点求直线方程多用待定系数法，且注意验证过该点且斜率不存在的直线是否满足题意探究二 两条平行线之间的距离对于两平行直线间的距离公式，应注意以下几点：(1)直线的方程必须是一般式，而且方程中x，y项的系数分别对应相等，对于不同系数的应先化为相同后再求距离(2)两条平行直线间的距离，也可以转化为在一条直线上的一个点到另一条直线的距离来求，即转化为点到直线的距离(3)两条平行线间的距离是这两条直线上的点之间的最小距离，也就是它们的垂线段的长【典型例题3】 求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程思路分析：根据两条直线平行可设出所求直线方程5x12yc0，再根据两直线间的距离求c.解法一：设所求直线的方程为5x12yc0(c6)在直线5x12y60上取一点P0，点P0到直线5x12yc0的距离为，由题意得2.所以c32或c20.故所求直线的方程为5x12y320和5x12y200.解法二：设所求直线的方程为5x12yc0，由两平行直线间的距离公式得2，解得c32或c20.故所求直线的方程为5x12y320和5x12y200.探究三 易错辨析易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题4】 求经过点P(3,5)，且与原点距离等于3的直线l的方程错解：设所求直线方程为y5k(x3)，整理，得kxy3k50.所以原点到该直线的距离d3.所以15k80.所以k.故直线l的方程为xy3×50，即8x15y510.错因分析：没有考虑斜率不存在的情况，用点斜式设直线方程时，必须先弄清斜率是否存在，否则可能丢解正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y5k(x3)，整理，得kxy3k50.所以原点到该直线的距离d3.所以15k80.所以k.故所求直线方程为y5(x3)，即8x15y510.当直线的斜率不存在时，直线方程为x3也满足题意故满足题意的直线l的方程为8x15y510或x3.3