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    2022全国初中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

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    2022全国初中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

    1、全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选用题(每题7分,共42分)1设实数a,b,c满足:,则( )A. 0B. 3C. 6D. 92若抛物线与x轴只有一种公共点,且过点A(m,n),B(m8,n),则n( )A. 8B. 12C. 16D. 24ABCDEF3矩形ABCD中,AD5,AB10,E、F分别为矩形外两点,BEDF4,AFCE3,则EF( )AB15CD4已知O为标原点,位于第一象限点A在反比例函数图象上,位于第二象限瀹B在反比例函数图象上且OAOB,则tanABO值为( )ABC1D25已知实数x(y满足关系式,则最小值为( )ABC1D6设n是不不小于100正整数且使是15倍

    2、数,则符合条件所有正整数n和是( )A285B350C540D635二、填空题(每题7分,共28分)ABCDFOE7设a,b是一元二次方程两根,则值为 .8从三边长均为整数且周长为24三角形中任取一种,它是直角三角形概率为 .9已知锐角ABC外心为O,AO交BC于D,E、F分别为ABD、ACD外心,若ABAC,EFBC,则CB .10将数字1,2,3,34,35,36填在66方格中,每个方格填一种数字,规定每行数字从左到右是从小到大顺序,则第三列所填6个数字和最小值为 .第一试(B)一、选用题(每题7分,共42分)1设实数a,b,c满足:,则( )A. 12B. 9C. 6D. 32若抛物线与

    3、x轴只有一种公共点,且过点A(m,n),B(m8,n),则n( )A. 8B. 12C. 16D. 243矩形ABCD中,AD5,AB10,E、F分别为矩形外两点,BEDF4,AFCE3,则EF( )AB15CD4已知实数x,y满足关系式,则最大值为( )A3B6C9D125已知O为坐标原点,位于第一象限点A在反比例函数图象上,位于第二象限点B在反比例函数图象上,且OAOB,则tanABO值为( )ABC1D26设n是不不小于100正整数且使是6倍数,则符合条件所有正整数n和是( )A784B850C1536D1634二、填空题(每题7分,共28分)AOBDC7设a,b是一元二次方程两根,则值

    4、为 .8三边长均为整数且周长为24三角形个数为 .9C、D两点在以AB为直径半圆周上,AD平分BAC,AB20,AD,则AC长为 .10在圆周上按序摆放和为15五个互不相等正整数a,b,c,d,e,使得abbccddeea最小,则这个最小值为 .第二试(A)1(20分)有关x方程有且仅有一种实数根,求实数m取值范畴.ABCDPFNEM2(25分)如图,圆内接四边形ABCD对角线AC、BD交于点E,且ACBD,ABAC. 过点D作DFBD,交BA延长线于点F,BFD平分线分别交AD、BD于点M、N.(1)证明:BAD3DAC;(2)如果,证明:MNMD.3(25分)设正整数m,n满足:有关x方程

    5、至少有一种正整数解,证明:.第二试(B)1(20分)若正数a,b满足ab1,求最小值.2(25分)如图,圆内接四边形ABCD对角线AC、BD交于点E,且ACBD,ABACBD. 过点D作DFBD,交BA延长线于点F,BFD平分线分别交AD、BD于点M、N.ABCDFMEN(1)证明:BAD3DAC;(2)如果MNMD,证明:BFCDDF.3(25分)若有关x方程至少有一种正整数根,求满足条件正整数k值.全国初中数学联合竞赛试题参照答案第一试(A)1. 解:D. 提示:,.2. 解:C. 提示:依题意,有,于是可得.抛物线与x轴只有一种公共点,.因而.ABCDEFG3. 解:C. 提示:易知AF

    6、DBEC90,BECDFA,DAFBCE.延长FA,EB交于点G.GAB90DAFADF,GBA90CBEBCEDAF,BGAAFD,且AGB90,AG8,BG6,GF11,GE10,.4. 解:A. 提示:过点A、B分别作ACx轴,BDx轴,垂足为C、D.由OAOB得AOB90,于是可得AOCOBD,.5. 解:B. 提示:设,则由题设条件可知,x,y是有关m一元二次方程两个实数根,于是有:,解得或.又,当(即)时,获得最小值,最小值为.6. 解:D. 提示:是15倍数,.设(m是正整数),则.是15倍数,是3倍数,或,其中k是非负整数.或,其中k是非负整数.符合条件所有正整数n和是.7.

    7、解:11. 提示:a,b是一元二次方程两根,.8. 解:. 提示:设三角形三边长为a,b,c(),则,故a也许取值为8,9,10或11,满足题意数组(a,b,c)可觉得:(8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6),(10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6).共12组,其中,只有一组是直角三角形三边长,所求概率为.9. 解:60. 提示:作EMBC于点M,FNBC于点N,FPEM于点P.ABCMNDFOEPE、F分别为ABD、ACD外心,M、N分别为BD、CD中点.又E

    8、FBC,PFMNBCEF,PEF30.又EFAD,EMBC,ADCPEF30.又ADCBBADB(1802C)90BC,CB90ADC60.10. 解:63. 提示:设第三列所填6个数字按从小到大顺序排列后依次为A,B,C,D,E,F.A所在行前面需要填两个比A小数字,A不不不小于3;B所在行前面需要填两个比B小数字,且A及A所在行前面两个数字都比B小,B不不不小于6.同理可知:C不不不小于9,D不不不小于12,E不不不小于15,F不不不小于18.因而,第三列所填6个数字之和ABCDEF36912151863.如图即为使得第三列所填6个数字之和获得最小值一种填法(后三列数字填法不唯一).123

    9、192021456252729789222324101112262830131415313435161718323336第一试(B)1. 解:B. 提示:,.2. 解:C. 提示:依题意,有,于是可得.抛物线与x轴只有一种公共点,.因而.ABCDEFG3. 解:C. 提示:易知AFDBEC90,BECDFA,DAFBCE.延长FA,EB交于点G.GAB90DAFADF,GBA90CBEBCEDAF,BGAAFD,且AGB90,AG8,BG6,GF11,GE10,.4. 解:D. 提示:设,则,代入题设等式得,整顿得.由鉴别式得,故.5. 解:A. 提示:过点A、B分别作ACx轴,BDx轴,垂足

    10、为C、D.由OAOB得AOB90,于是可得AOCOBD,.6. 解:D. 提示:是6倍数,.设(m是正整数),则.是6倍数,是3倍数,或,其中k是非负整数.或,其中k是非负整数.符合条件所有正整数n和是.7. 解:11. 提示:a,b是一元二次方程两根,.8. 解:12. 提示:设三角形三边长为a,b,c(),则,故a也许取值为8,9,10或11,满足题意数组(a,b,c)可觉得:(8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6),(10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6).

    11、共12组,三边长均为整数且周长为24三角形个数为12.AOEBDCF9. 解:4. 提示:连接OD、OC,作DEAB于E,OFAC于F.AD平分BAC,DOB2BADOAC.又OAOD,AOFODE,OEAF,AC2OF2OE.设AC2x,则OEAFx.在RtODE中,由勾股定理得.在RtADE中,AD2DE2AE2,即,解得x2.AC2x4.10. 解:37. 提示:和为15五个互不相等正整数只能是1,2,3,4,5.注意到五个数在圆周上是按序摆放,且考虑是和式,不妨设a5.52e1daebcd5eb1d5eb1d52b1e图1图2图3图4图5如果1和5位置不相邻,不妨设c1(如图2),此时

    12、和式为;互换1和b位置后,得到如图3摆法,此时和式为.,.因而,互换1和b位置使得1和5相邻(如图3)后来,和式值会变小.如图3,如果d2,此时和式为;互换e和2位置后来,得到如图4摆法,此时和式为.,.因而,互换e和2位置使得2和5相邻后来和式值会变小.如果b2,此时和式为;互换e和2位置后来,得到如图5摆法,此时和式为.,.因而,互换e和2位置使得2和5相邻后来和式值会变小.综上可知:1和2摆在5两边(如图5)时,和式值会变小.当d3,e4时,和式值为;当d4,e3时,和式值为.因而,所求最小值为37.第二试(A)1. 解:将所给方程记为方程,显然有且.若,则,此时方程无解,不符合题意,故

    13、方程变形得,两边平方后整顿得,再平方,整顿得.显然,应当有,并且此时方程只也许有解.将代入方程,得,化简整顿得?,于是有,此时方程有唯一解.ABCDQPFNEM综上所述,所求实数m取值范畴为.2. 证明:(1)在BE上取一点P,使得BAPDAC,则BAPCAD,APAD.又AEPD,ADEAPE,PAEDAE,PAEBAPDAC,BAD3DAC.(2)设DAC,则BAC2,BAD3,NDM90.在FB上截取FQFD,连接QD,则BQBFFQBFFD.又,.又QBDDCA,QBDDCA,QDBDAC.又DBCDAC,QDBDBC,QDBC,FQDABC.又ABAC,BAC2,ABC90,FQD

    14、90.又FQFD,BFD2.FN平分BFD,AFM,NMDAMFBADAFM32,MND180NMDNDM90MDN,MNMD.3. 证明:方程即 ,方程鉴别式.不妨设,由题设可知,整系数方程至少有一种正整数解,应为完全平方数.注意到,若,即,则,从而有,故只也许,即,整顿得,这与m,n均为正整数矛盾.因而,从而可得,.又,有,整顿即得.第二试(B)1. 解:,.设,则,当时获得等号.,.因而,当,时,获得最小值.ABCDFQMPEN2. 证明:(1)在BE上取一点P,使得BAPDAC,则BAPCAD,APAD.又AEPD,ADEAPE,PAEDAE,PAEBAPDAC,BAD3DAC.(2)

    15、设DAC,则BAC2,BAD3.ACBD,NDM90.MNMD,MNDMDN90,NMD180MNDNDM2,AMF2,AFMBADAMF32.FN平分BFD,BFD2AFM2.在FB上截取FQFD,连接QD,则FQD90.又ABAC,BAC2,ABC90,FQDABC,QDBC,QDBDBC.又DBCDAC,QDBDAC.又DBAC,QBDDCA,QBDDCA,BQCD,BFBQFQCDDF.3. 解:设方程两个根为x1,x2,且x1为正整数,则,.由知, x2也是整数.由k为正整数及可知,x2是正整数.注意到,或.若,则由知:或.当时,此时,k无整数解;当时,此时,解得k1.若,同样可得k1.满足条件正整数k1.


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