[理学]微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学.doc

习题11解答1 设，求解；2 设，证明：3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）（2）（3）（4）解（1） （2）（3）（4）4求下列各极限：（1）=（2）（3）（4）5证明下列极限不存在：（1） （2）（1）证明 如果动点沿趋向则；如果动点沿趋向，则所以极限不存在。（2）证明： 如果动点沿趋向则；如果动点沿趋向，则所以极限不存在。6指出下列函数的间断点：（1）； （2）。解 （1）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需，所以在处，函数间断。习题121（1）；. (2) (3), lnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得 ;(4), (5);(6), , ;2.(1); (2) . 3 ,.4 .5.(1) , , ; (2) ,; (3) , ,; (4) ,.6. 设对角线为z,则, 当时, =-0.05(m).7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,则，, ,设x、y、z的绝对误差分别为、,当时, =0.124,z的绝对误差z的相对误差.8. 设内半径为r，内高为h，容积为V，则,当时,.习题131. =.2.=.3. (1) =, =.(2) =, =,=.(3) =,=,=.(4) =,=.4 .(1),(2) ,.5 ,.6 (1) 设, ,=, =,=,(3) 设, ,=,=.(4) 设,7.设,1. 8.设, .9. (1)方程两边同时对x求导得解之得(2) 方程两边同时对z求导得 解之得 (3) 方程两边同时对x求偏导得 解之得同理方程两边同时对y求偏导得 解之得习题141 求下列函数的方向导数（1）解： ，（2）解：， （3）与轴夹角为解： 由题意知则 （4） 2 求下列函数的梯度（1） 解： ,)(2)解：，）。3 一个登山者在山坡上点处，山坡的高度z由公式近似，其中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。解：按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。4 解：沿方向5 解：设路径为，在点处在点的切向量为 平行于切向量 因为过习题1-51、求曲线在对应于点处的切线及法平面方程。解：当时，故所求切线方程为：，即: 法平面方程为： 即: 2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程（1） 在点解 ：将方程两端对x求导，得 在处故所求的切线方程为：法平面方程：（2） 在点解法1：将方程两端对x求导，得Þ当时，有，故所求的切线方程为：法平面方程： 即：解法2：将方程组两端求微分：得曲线在点处的切向量为 3. （题略）解：（1）令 F（x，y，z）=arctg-z, = -1，曲面在点P的切平面方程为：-，即： x - y - 2z -=0；法线方程为：，即： ；（2）令则，曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：故所求的切平面方程为：即： 法线方程为： （3）令F（x，y，z）=2+2-8，=-16ln2，曲面在点P的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0， 即：x-y-4z=0，法线方程为：，即：4、解：， 又抛物线在(1,2)点处的切线斜率为：抛物线在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为故所求的方向导数为：习题1-61（题略）. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即P(2, -2)为 f(x,y) 的驻点,又 D（P）=4>0,=-2故P (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8. 2（题略）. 解：由 有 驻点：(5,6)和 ，而在点(5,6)取得极小值 又在点不取得极值3、求在闭区域上的最大值和最小值解：由，得唯一驻点(0,0)又在边界即椭圆上, 由，得驻点：所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1)相应的函数值为： 0 4 4 -1 -14、求抛物线和直线之间的最短距离。解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，它到直线的距离为，d最小当且仅当最小此问题即是求在条件下的最小值。解法1（用拉格朗日乘数法）设由，即得唯一驻点故由实际问题知抛物线和直线之间的最短距离在在，为：解法2（转化为无条件极值）设抛物线上点，它到直线的距离为d最小当且仅当最小设 Þ唯一驻点当时，有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（唯一驻点）=故抛物线和直线之间的最短距离为5、求抛物线被平面截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为此问题即是求在条件下的最大值和最小值。令由 由-得若代入，得，再代入，<0, 不合题意，有代入，由，解得， 驻点为：和，由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为和6（题略）.解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=, 故:3V-=0 (1)浮标表面积S(r,h,H)= 令L(r,h,H)=+ 由=0 （2） =0 (3) (4)有, 代入（3）有, 故, r=h,再由（2），有H=h, h=, ( r,)为S(r,h,H) 唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,时,材料最省。7（题略）解设BC=a, 则横截面积S=(BC+AD)h=,湿周由 (1) (2)由(2)有1-2cos, 由(1), h=, 即()为唯一驻点，故当, h= 时，湿周最小.习题2-1 1、解：在任意一个面积微元上的压力微元，所以，该平面薄片一侧所受的水压力2、解：在任意一个面积微元上的电荷微元，所以，该平面薄片的电荷总量3、解：因为，所以，又为单调递增函数，所以，由二重积分的保序性得4、解：积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以（2）积分区域如图2-1-3所示，所以（3）积分区域如图2-1-4所示，所以（4）积分区域如图2-1-5所示，所以6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以（2）积分区域如图2-1-7所示，所以（3）积分区域如图2-1-8所示，所以（4）积分区域如图2-1-9所示，所以7、解：（1）积分区域如图2-1-10所示，令，所以，故 （2）积分区域如图2-1-11所示，令，所以，故 8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令，所以，故 （2）积分区域如图2-1-13所示，令，所以，故 9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故（2）积分区域如图2-1-15所示，令，所以，故（3）积分区域如图2-1-16所示， 故（4）积分区域如图2-1-17所示，令，所以，故10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：，所以图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8 图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16 图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域的上曲面为开口向上的旋转抛物面，下曲面为，积分区域在坐标面上的投影区域，所以（2）因为积分区域的上曲面为开口向下的抛物柱面与下曲面为开口向上的旋转抛物面围成，二曲面的交线在平面上的投影为圆，即，所以（3）因为积分区域的上曲面为开口向上的旋转抛物面，下曲面为，积分区域在坐标面上的投影区域，所以3、解：积分区域如图2-2-1所示另解：因为积分区域关于坐标面对称，又关于第一坐标是奇函数，所以。4、解：积分区域如图2-2-2所示，当时，过作平行与面的平面，与立体的截面为圆，因而的半径为，面积为，故5、求下列立体的体积解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3 （2）因为积分区域的上曲面为平面，下曲面为，积分区域在坐标面上的投影区域，所以6、利用柱面坐标计算下列三重积分解：（1）因为积分区域的上曲面为开口向上的上半球面，下曲面为开口向上的旋转抛物面，将代入得，解此方程得积分区域在坐标面上的投影区域，由柱坐标公式得：。（2）因为积分区域的上曲面为平面，下曲面为开口向上的旋转抛物面，将代入得，所以积分区域在坐标面上的投影区域，由柱坐标公式得：。7、利用球面坐标计算下列三重积分解：（1）用球面坐标计算（2）用球面坐标计算8、选用适当的坐标计算下列三重积分解：（1）积分区域为球，故用球面坐标计算：，所以（2）将代入得到平面上的一个圆，用直角坐标公式计算，由于计算量较大，请同学一试。用柱坐标计算（3）用柱坐标计算（4）用直角坐标计算习题2-31、 解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直线段的方程为，所以（2）（3）（4）因为星形线的参数方程为，所以（5）因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，在线的BC上，而在线段CD上，且（6）2、解：因为曲线L的极坐标方程为，所以，又 所以 3、解： 习题2-41、（1）解：将曲面向xoy平面投影，得投影区域Dxy：x2+y2R2,从而有(2) 解：将平面向XOY平面投影，得投影区域，,从而有积分（3）解：由 （）得 由 得 所以， 2、解：将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，设所求的面积为A，则有3、解：将曲面向XOY平面投影，得投影区域，设所求的面积为A，则有4、解：以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为：，设薄片的质量为M，则有5、，而习题2-51、 解：2、 解：设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为。重心：3、 解：（1）由对称性知道重心一定在z轴上。而圆锥的体积为：。所以重心为：。（2）容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z轴上。而重心：。4、 解：以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z轴建立坐标系，设P(x，y，z)为圆柱体上一点，则此点到转动轴的距离为，因此5、 解：设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P到Z轴的距离为，因此有6、 解：有对称性知道Fy=0。7、 解：由对称性知道Fx=Fy=0。习题3-11、计算下列第二类曲线积分：（1）L为抛物线上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；（2）L为按逆时针方向饶行的圆；（3）L为螺旋线上由t=0到t=2的有向弧段;（4）L为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；（5）其中L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针方向；（6）其中，L按逆时针方向饶行的圆.解（1）化为对x的定积分，L: ，x从0到2，所以=（2）圆周的参数方程为：=（3）L的参数方程为：，t从0到2，所以= =（4）直线的参数方程为： 代入 = =（5）三条直线段的方程分别为 y=0,x从0到1； x=1,y从0到1； y=x,x从1到0.所以 = =02、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.解：由题意知，场力所作的功为L: ,x从R变到0，于是，w=3、有一平面力场F，大小等于点（x,y）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P沿椭圆逆时针方向绕行一周，力F所作的功.解： 椭圆的参数方程为：，t从0到2所以， 4、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线从点移动到时，该场力所作的功.解： 直线的参数方程为：，t从1到2所以，习题3-2答案1、 解：记S在x>0一侧为，在x<0一侧为，在z=h上的部分为，在z=0上的部分为，在y>0一侧为，在y<0一侧为，则由题有 同理可得：2、解：（1）由题在xoy面上的投影区域，（2）（3）将S分成和，其中：z=h，取上侧，：，x>0取下侧则(4)记S在z=0上的部分为，在x=0上的部分为,在y=0上的部分为,在上的部分为,在上的部分为.有3、 解：（1）原式=.（2）原式= §3-3格林公式及其应用1(1) ， (2) , , （3），（4），而在以为起点为终点的直线上所以原式2，因为积分与路径无关，所以,得3.(1) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(2) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(3) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(4) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故4（1）,故为全微分方程。，故通解为（2）,故为全微分方程。，故通解为（3）,故为全微分方程。，故通解为（4）,故不是全微分方程。§3-4高斯公式和斯托克斯公式1（1）原式= = = =（2）原式= = = =（3）原式= = = = = （4）原式= = = （5）原式= = = = 2.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆,取为圆域的上侧,(2) 取为平面被L所围成的部分的上侧, 的面积为的单位法向量为,3.解: 其中为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为在yoz面上的投影区域为线段,所以,又在xoy面上的投影区域为,所以,习题351 解：（1）， ， （2）， ， （3）， ， 。2 证明：场力沿路径L所作的功为，要证明场力所作的功与所取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。 在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以上面的积分与路径无关，因而结论正确。3解：（1） （2） （3） （4）4证明：（1） 所以A为有势场 （2） 所以A为有势场 习题411（1）记一般项为，则 =，=，=，=，故= （2）记一般项为，则 =(-1)·，=(-1)·，=(-1)·，故=(-1)· （3）记一般项为，则 =，= ，=，=， 故= （4）记一般项为，则=(-1)，=(-1)，=(-1)， 故=(-1)2（1） （2） （3） （4）3（1）该级数为几何级数，由于，故该级数收敛。 （2）该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散。 （3）该级数为几何级数，由于，故该级数发散。 （4）设 因为为的几何级数，为的几何级数，故，均为收敛级数，故原级数收敛。习题421 （1）因为，而级数发散，故该级数发散。（2） 因为，而发散，故原级数发散。（3）因为，而且收敛，故原级数收敛。（4）因为，而且收敛，故原级数收敛。2（1），因为，故级数发散。 （2）因为,故级数收敛。（3）因为,故级数收敛。 （4）因为，故级数收敛。3.（1）因为，故级数收敛。（2）因为，故级数收敛。（3）因为，故级数收敛。（4）因为，故当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，无法判断。4（1），而，故级数收敛（2），而，故级数收敛。（3）因为，而级数发散，故级数发散。(4）因为,故级数收敛。（5）因为，故级数发散。（6），而级数发散，从而发散，故原级数发散。5（1），显然为一交错级数，且满足， 因而该级数收敛。又是的级数，所以发散，即原级数是条件收敛。 （2）对于，故收敛，从而原级数绝对收敛。 （3），显然收敛，故原级数绝对收敛。 （4），为一交错级数，又， 且，故由莱布尼兹定理可知，原级数收敛。但由于，发散，故原级数是条件收敛。 （5）因为，故级数发散。6（1）因为为几何级数，且，其和为。 （2）因为 而由知，其和为由知，其和为故7设排球每一次下落后的高度依次为: ,反弹的总距离8由已知可得： L=|CD|+|DE|+|EF|+|FG|+ =习题4-31 （1）当时，级数收敛，所以该级数的收敛域为（2）当时，级数收敛，当时，级数发散，所以该级数的收敛域为（3）该幂级数只含有奇次幂项，记，则有当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径当时，级数发散，所以该级数的收敛域为（4）该幂级数只含有偶次幂项，记，则有当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径当时，级数发散，所以收敛域为2 （1）设 故 （2）设（3）设则令故（4）设习题4-41 (1)（2）（3）设（4）（5）设（6）2 注：收敛域：3 （1）（2） 4 设则5 由于很小，则习题4-51、解：（1）因为所以的傅氏展开式为。（2）因为 （奇函数在以零为对称中心的区间上的定积分等于零）。所以的傅氏展开式为。（3）因为是奇函数，所以。所以的傅氏展开式为。2、解：（1）因为为偶函数，所以，而，由于在内连续，所以。（2）因为为奇函数，所以3解：因为为偶函数，所以； 令得，且在上连续，4解：作奇延拓，得,使有计算系数： 5解：作偶延拓：，计算系数：6解：用正弦级数逼近：作奇延拓，由题知周期为，由系数公式：用余弦级数逼近：作偶延拓，由系数公式：57